苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第06练矩形、菱形、正方形(暑假分层作业)(原卷版+解析)

/第06练矩形、菱形、正方形（一）矩形矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）2.矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。4.矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。5.矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。说明：要判定四边形是矩形的方法是：方法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）方法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）方法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）（二）菱形菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质1：菱形的四条边相等。3.菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。4.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。5.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。说明：要判定四边形是菱形的方法是：方法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。方法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）方法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）（三）正方形正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。1.正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。4.正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。5.正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。注意：要判定四边形是正方形的方法有方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理21．如图，在矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则的面积为（

）A．3 B．6 C．9 D．182．一组对边平行，且对角线相等的四边形是(

)A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形或矩形3．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分4．如图，在矩形中，对角线、交于点，，以下说法错误的是（

）A． B． C． D．5．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（

）A．128 B．64 C．32 D．1446．如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（）A．3 B． C．5 D．67．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（

）A．4 B．8 C． D．168．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（

）A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形平行四边形矩形C．平行四边形正方形菱形矩形 D．平行四边形菱形正方形矩形9．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．10．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是_____．11．如图，在矩形中，若，，则的长为________．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为______．13．如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．(1)若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长．(2)若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，，．(1)求证：四边形ABED是菱形；(2)过点E作于点F，若，，求EF的长．15．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线AC上，连BE并延长到F，使BE＝EF，连DF．(1)求证：DF∥AC(2)若BF＝2AB且CD与EF的交点G正好是CD的中点，请连接CF、DE，判断四边形CEDF的形状，并证明．16．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，BE∥AC交的延长线于点，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．17．如图1，点E是正方形ABCD的边BC上的任意一点（不与B、C重合），EF⊥AE与正方形的外角∠DCG的角平分线交于点F．(1)求证：AE＝EF(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF、BF，BF与AE交于点H，若正方形ABCD的边长为4，则四边形ABFD的面积是否随E点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD的面积．(3)在（2）的条件下，若S△BCF＝4，求四边形AHFD的面积．/

第06练矩形、菱形、正方形（一）矩形矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）2.矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。4.矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。5.矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。说明：要判定四边形是矩形的方法是：方法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）方法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）方法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）（二）菱形菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质1：菱形的四条边相等。3.菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。4.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。5.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。说明：要判定四边形是菱形的方法是：方法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。方法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）方法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）（三）正方形正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。1.正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。4.正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。5.正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。注意：要判定四边形是正方形的方法有方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理21．如图，在矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则的面积为（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】C【解析】解：令折叠后点C在BD上的对应点为点∵矩形ABCD折叠后CD边落在BD上，∴∠BC′E=∠DC′E=∠C=90°，∵CD=AB=6，BC=AD=8，∴C′D=6，BD===10，∴C′B=BD-C′D=10-6=4，设CE=C′E=x，则EB=8-x，由勾股定理得：C′B2+C′E2=EB2∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE=3，∴===9；故选：C．2．一组对边平行，且对角线相等的四边形是(

)A．等腰梯形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形或矩形【答案】D【解析】解：分为两种情况：①当，且时，四边形是矩形；②当，且时，四边形是等腰梯形．故选：D．3．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分【答案】D【解析】解：四边形中，、互相垂直，若四边形是菱形，需添加的条件是：、互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故选：D．4．如图，在矩形中，对角线、交于点，，以下说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵四边形是矩形，矩形对角线互相平分且相等∴，∴选项A和选项D正确；∵，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴选项C正确；∵，∴，∴不是等边三角形，∴，∴选项B错误，符合题意．故选B．5．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（

）A．128 B．64 C．32 D．144【答案】A【解析】解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE，∵，，∴小正方形的边长=13-5=8，∴．故选：A6．如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（）A．3 B． C．5 D．6【答案】C【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，又∵AC＝6，BD＝8，∴OC=3，OD=4，∴,在矩形OCED中，OE=CD=5，故选：C．7．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（

）A．4 B．8 C． D．16【答案】D【解析】解：∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC，∠AGB＝30°∴，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．四边形周长为16．故选D．8．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（

）A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形平行四边形矩形C．平行四边形正方形菱形矩形 D．平行四边形菱形正方形矩形【答案】A【解析】解：如图，连接AC，∵点为矩形的对称中心，∴OA=OC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∠OFC=∠OEA，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴当AE＜CE时，四边形AECF是平行四边形，当AE=CE时，四边形AECF是菱形，当AE＞CE时，四边形AECF是平行四边形，当点E到达点B时，四边形AECF是矩形；∴四边形形状的变化依次为故选：平行四边形菱形平行四边形矩形．故选：A9．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．【答案】8【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC=30°，又∵两条纸条的宽度均为2，∴AB=4，同理可得AD=4，又∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD=4，∴四边形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD=4×2=8，故答案为8．10．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是_____．【答案】【解析】解：∵正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2．∴．∴△ACE的面积＝＝．故答案为：．11．如图，在矩形中，若，，则的长为________．【答案】14【解析】解：四边形是矩形，，，在中，，，，故答案为：14．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为______．【答案】2.5【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴，∠BOC=90°，∠ABD=∠CBD，∴，∵，∴∠ABD=∠BOE，∴∠EBO=∠EOB，∴BE=OE，∵∠OBC+∠OCB=90°，∠EOB+∠EOC=90°，∴∠EOC=∠ECO，∴OE=CE，∴，故答案为：2.5．13．如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．(1)若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长．(2)若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．【答案】(1)；(2)正方形，理由见解析【分析】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAE＝30°∵PE⊥AB，∴AP＝2PE＝2，；(2)证明：四边形是正方形，理由如下：，，，四边形是矩形，，在和中，，，；四边形是正方形．14．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，，．(1)求证：四边形ABED是菱形；(2)过点E作于点F，若，，求EF的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)证明：∵，，∴四边形ABED是平行四边形，∵Rt△BCD中，E是斜边BC的中点，∴DE=BE，∴四边形ABED是菱形．(2)过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：在Rt△BCD中，，，∵DC=8，BC=12，∴DG=，又∵S菱形ABED=AB·EF=BE·DG，AB=BE，∴EF=DG=．15．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线AC上，连BE并延长到F，使BE＝EF，连DF．(1)求证：DF∥AC(2)若BF＝2AB且CD与EF的交点G正好是CD的中点，请连接CF、DE，判断四边形CEDF的形状，并证明．【答案】(1)见解析；(2)四边形CEDF是矩形，见解析【分析】(1)过点F作FH∥AB，交AC的延长线于点H，∴∠ABE=∠HFE，∠AEB=∠HEF，∵BE=EF，∴△ABE≌△HFE，∴AB=HF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，CD∥AB，∴HF=CD，CD∥FH，∴四边形CDFH是平行四边形，∴DF∥CH，∴DF∥AC．(2)根据（1），得DF∥AC，∴∠DGF=∠CGE，∠DFG=∠CEG，∵CG=GD，∴△DGF≌△CGE，∴EG=GF，∴四边形CEDF是平行四边形，∵BE=2EF，BF＝2AB，四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=EF，∴四边形CEDF是矩形．16．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，BE∥AC交的延长线于点，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)证明：如图，四边形是平行四边形，．又点在的延长线上，．又，四边形是平行四边形，．又，，平行四边形是矩形；(2)解：在矩形中，，，是等边三角形，，，又四边形是平行四边形，，，在中，，四边形的面积．17．如图1，点E是正方形ABCD的边BC上的任意一点（不与B、C重合），EF⊥AE与正方形的外角∠DCG的角平分线交于点F．(1)求证：AE＝EF(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF、BF，BF与AE交于点H，若正方形ABCD的边长为4，则四边形ABFD的面积是否随E点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD的面积．(3)在（2）的条件下，若S△BCF＝4，求四边形AHFD的面积．【答案】(