【信号处理的短时傅里叶变换分析1600字】

XII信号处理的短时傅里叶变换分析综述傅里叶变换可以把一个信号从时域变换到频域，它的形式为：（3-4）傅里叶变换还存在系数，为了保证经过一次正变换和反变换之后，得到的信号与原信号幅值相同，必须需要满足正变换系数乘上逆变换系数等于。根据欧拉公式：（3-5）也就是说傅里叶变换的本质就是将原始信号乘上一组三角函数，然后在整个时间域上进行积分。这里有一个信号：图3-1当我们将这个信号与他本身相乘时可以得到下图：图3-2我们可以发现，由于乘上了自己，任何时间内的幅值都大于等于0了，不再满足周期内积分值为0了，那么，当我们对这个新信号在整个负无穷到正无穷上进行积分，就会得到一个非常大的数字。所以这个数字就可以告诉我们哪些信号和你乘的这个信号是同频率的，这就可以知道信号中具有哪些频率成分了。我们已经知道将一个信号乘上一个特定频率的函数并且在整个负无穷到正无穷的区间上进行积分可以筛选出同频率的部分。那么原则上讲，只要乘上所有频率的函数并积分就可以知道所有频率成分，但是这样是算不出来的，所以将所乘的函数的频率作为变量来进行积分：（3-6）对这个式子进行计算后，想知道特定的频率代入就可以立马得到积分的值，也就能知道是否含有这一频率的部分了。傅里叶变换的式子代入欧拉公式就可以得到：（3-7）由此可得傅里叶变换的原理就是乘上带有符号变量的函数并且积分，就可以知道原始信号中的所有频率成分了。最后对进行傅里叶变换，使用的Matlab的FFT：图3-3可以看到在的时候出现的波峰，说明这个信号含有的频率成分。这里有两个信号：图3-4图3-5两个信号都包含相同的频率成分，只不过两种频率出现的先后不同，再对这两个信号同时做傅里叶变换，如下图： 图3-6图3-7可以很清楚的看到虽然这两个信号不同，但是得到的频谱图确是相同的，图中所表达的信息都为有和的频率部分，于是我们可以知道傅里叶变换的缺点就是只能提供频域信息而会完全丢失时域信息。不管某一频率的信号出现的时间是早还是晚，傅里叶变换都是一视同仁地将信号乘上傅里叶变换的基函数，然后在整个时间区间进行加和。因此它无法提供某一频率信号出现的时间，所以我们需要用到短时傅里叶变换，也就是对信号进行加窗分析。短时傅里叶变换的原理可以理解为一个窗子在这个信号上从左到右滑动，每次只能看到窗子里的那一部分，这个长度称为窗长width。可以定义一个窗长函数：，下图即是一个窗长为10的方窗函数：图3-8定义了方窗函数之后，我们只需要将方窗函数进行平移，再与原信号相乘，这种操作被称为分窗。那么，将方窗函数向右平移了，再与原信号相乘，因为方窗函数除了中心的width部分是1外，其他部分都是0，这就相当于提取出了原信号在处，宽度为width的部分，分窗的操作就可以写成：。接下来将与相乘，就相当于取出来了中的（20,30）的一段，如下图所示：图3-9那么就可以对这个信号中被提取出来的这一段进行傅里叶变换，可以写成：（3-8），变换后的代表原信号在处，宽度为width的部分的傅里叶变换，也就可以提取出来原信号在处，宽度为width部分包含各个频率部分的多少，代入不同的也就可以理解为随着窗子的滑动，就可以知道不同时间段内的频率的成分。于是我们采用width=10的方窗函数进行STFT，如下图：首先，方窗位于处，与原始信号相乘，选择出（0,10）的信号进行FT图3-10图3-11之后，方窗开始向右移动，当移动到时，选择时间区间为（20,30），这一部分包含了两种频率成分，如下图：图3-12图3-13总的来看，我们可以将方窗函数选择的不同时间区间信号的FT结果拼合起来组成一张三维图，大概如下：图3-14实际来讲，原则上是可以得到任一对应的频率成分，但是是连续的，并不意味着可以知道每个时刻的频率成分，我们所知道的还只是窗内的频率信息，所以一般不需要计算所有的，只用计算每个窗里的。STFT的本质就是将方窗函数并入基函