人教A版高一数学必修二第二学期10.2事件的相互独立性

人教A版高一数学必修二第二学期10.2事件的相互独立性第十章概率10.2事件的相互独立性核心素养目标1.数学抽象：结合实例，理解两个随机事件独立的意义，并会判断两个事件的独立性。2.直观想象：理解概率的乘法公式，区分事件独立与互斥。3.逻辑推理：在实际问题情境中判断事件的独立性4.数学运算：结合古典概型，利用独立性计算概率教学目标教学重点：理解两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题教学难点：在实际问题情境中判断事件的独立性知识讲解

前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，还有什么值得研究的问题?事件的关系或运算含义符号表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立复习旧知A发生导致B发生A⊆BP(A)≤P(B)A与B至少一个发生AUB或A+BP(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)A与B同时发生A∩B或AB

？A与B不能同时发生A∩B=ΦP(A+B)=P(A)+P(B)A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=ΩP(A)+P(B)=1

我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢?

下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.5知识讲解并(和）事件：一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B). 交(积）事件：一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).知识讲解积事件AB就是事件A与事件B同时发生.积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系.那么这种关系会是怎样的呢?试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.（1）事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？（2）分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？（1）因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.（2）用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点.A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=,P(AB)=∴P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.知识讲解试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.（1）事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？（2）分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？（1）因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.（2）样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=,P(AB)=∴P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.8知识讲解独立性概念至少是概率论问题真正本质上的第一个萌芽。柯尔莫哥洛夫9知识讲解概念形成

对于任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.说明：①事件A与事件B相互独立的直观判断：事件A是否发生不影响事件B发生的概率，事件B是否发生不影响事件A发生的概率.③相互独立的定义，既可以用来判断两个事件是否独立，也可以在相互独立的条件下求积事件的概率注意：①互斥事件：两个事件不能同时发生.②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响.知识讲解思考：

必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？

根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．

由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立．知识讲解知识讲解

思考

互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立?知识讲解思考

我们知道，如果三个事件A,B,C两两互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但当三个事件A,B,C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立.一般不成立14知识讲解

一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12个样本点.因此，事件A与事件B不独立.知识讲解相互独立事件的定义的推广对于n个事件A1,A2,…,An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，那么称事件A1,A2,…,An相互独立.16知识讲解1-P(AB)1-P(A)P(B)与相互独立事件A，B有关的概率计算公式如表所示：知识讲解在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等概率问题，如果从正面考虑，他们是诸多事件的和或积，不太好求.此时可以逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式求得原事件的概率。这是“正难则反”思想的具体体现.注意知识讲解

1.求相互独立事件的概率的关键，是将事件看成若干个事件，相互独立的情形，同时注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的应用.2.当事件A与B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，因此式子1-P(A)P(B)表示相互独立事件A，B至少有一个不发生的概率，他的计算中经常用到.

3.3.强调知识讲解互斥事件与相互独立事件的区别与联系

互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关系，但忽视事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否，对另一个事件发生的概率没有影响，互斥的两个事件，可以独立的两个事件，也可以用表格表示如下相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即集合A∩B=∅概率公式若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)知识讲解1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.3．转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与

，与B,与

是否具有独立性．

判断两个事件是否相互独立的方法：知识讲解

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，

乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；解：知识讲解

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，

乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解：知识讲解由简单事件通过运算得到复杂事件,进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率.解题时要注意:1.对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率.方法总结：2.对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.(4)A,B都发生为事件AB.知识讲解

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为

，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.解：知识讲解相互独立事件的判断

下面所给出的两个事件A与B相互独立吗？①抛掷一枚骰子，事件A=“出现1点”，事件B=“出现2点”②先后抛掷两枚质地均匀的硬币，事件A=“第一枚出现正面”，事件B=“第二枚出现反面”③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件A=“第一次取到红球”，事件B=“第二次取到绿球”解：①事件A发生事件B就不会发生，所以A和B不是相互独立事件；②第一枚出现正面还是反面对第二枚出现反面的概率没有影响，所以A与B相互独立；③由于每次取球观察颜色后放回，故事件A的发生对事件B的发生没有影响，所以A与B相互独立知识讲解求相互独立事件的概率

由题意可