专项复习：圆（知识梳理与考点分类讲解）

圆（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】圆的概念及性质（1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。（2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。过圆心的弦叫做这个圆的直径。（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。（5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。（6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。能够完全重合的两条弧叫做等弧。【知识点二】过三点的圆（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。（2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。【知识点三】圆心角和圆周角（1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。（3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。（4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。（5)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。同弧所对的圆周角相等。四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。【知识点四】垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。【知识点五】弧长和扇形面积的计算计算公式：设圆心角所对弧的长为，所对扇形的面积为，则，或圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高。将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长。反过来，扇形也可以围成一个圆锥。【考点一】圆的概念及性质【例1】（15·16下·海口·阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，，的延长线交于点，已知，．求的度数．

【答案】【分析】连接．由，可得，根据“等边对等角”得到，从而．又，得到，进而求得．解：连接．

，，，，．，，．【点拨】本题主要考查圆的直径与半径关系，等腰三角形的性质，三角形的外角，熟练运用等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．【举一反三】【变式1】（22·23下·全国·专题练习）如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】连接、，由，得到，所以①错误；由是直径，得到，利用勾股定理求出的长，进而可判断，，故②③正确，由得到，所以④正确．解：连接、，如图，，，，即，而，，，所以①错误；∵是直径，，，，，所以②正确；，所以③正确；，，所以④正确．故选：B．【点拨】本题主要考查同弧或等弧所对的弦相等，解题的关键是弧长与弦长的相互转化．【变式2】（23·24上·镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为．

【答案】【分析】取的中点，连接，可得的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，过作直线，当、、三点共线时，的值最小，此时的面积最小，可证，可求，即可求解．解：如图，取的中点，连接，，

，，点C为弦的中点，，的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，当时，，当时，，解得：，，；，，，，如图，过作直线，，

如图，当、、三点共线时，的值最小，此时的面积最小，，，，，，解得：，，；故答案：．【点拨】本题考查了动点轨迹为圆的问题，圆外一点到圆上距离最小，圆的基本性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，找出动点的运动轨迹是解题的关键．【考点二】过三点的圆【例2】（21·22下·宣城·自主招生）如图，锐角的外心为，直线交边于点，为的中点，在上的射影点为，为上的点，且，交于点，求证：

（1）；（2）．【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）连接，由点为的外心，且点为的中点，可得，再由得出，进一步证明，从而得出，最后可证得；（2）延长交于点Q，连接，由，可得，从而证得，得到，再由且，可得从而得出最后证得结果解：（1）证明：如图，连接，∵点为的外心，且点为的中点，∴，∵，∴，∵在上的射影点为，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，（2）证明：如图，延长交于点Q，连接，∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，，∵且，∴∴∴，即【点拨】本题考查了三角形的外心、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形的外心是解决问题的关键．【举一反三】【变式1】（21·22上·随州·期末）如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．解：只有的三个顶点都在圆上，故外心是点O的是．故选：C．【点拨】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键．【变式2】（23·24上·连云港·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于点E、F，交BA的延长线于G，若，则的度数为．【答案】/80度【分析】如图：连接，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数和平行四边形的性质可得，然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可求得．解：如图：连接，∵平行四边形，，∴，∴，∴的度数是，故答案为：．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．【考点三】圆心角和圆周角【例3】（22·23·滁州·一模）已知中，是直径，是弦，．

（1）如图1，连接，求的度数；（2）如图2，过点C作弦，H为垂足，求的度数．【答案】（1）；（2）解：（1）∵中，是直径，∴，∴，且，∴（2）∵中，是直径，，∴，∴，∵，∴【点拨】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．【举一反三】【变式1】（23·24上·朝阳·期中）如图，在中，是的中点，点是上一点．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，由是的中点可得，从而得到，由圆周角定理可得．解：如图，连接，

是的中点，，，，，故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧（或等弧）所对的圆心角相等和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．【变式2】（21·22上·渭南·期中）如图，在中，是的直径，，点是的中点，点在弦上，且，点在上，且，则的长为．

【答案】【分析】延长交于点，连接，根据等腰直角三角形的性质求出，进而得到的长，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．解：延长交于点，连接，∵是的直径，∴，∵点是的中点，∴，，，，，，，，，由勾股定理得：，，故答案为：．

【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质、圆的基本概念是解题的关键．【例4】（21·22上·渭南·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

（1）如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数；（2）在（1）的条件下，若的半径为4．①求的长；②连接，若平分，如图2，请判断、、之间有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）①；②，理由见分析【分析】（1）由题意得：，而即可求解；（2）①如图1，连接并延长交于点，连接，则，根据勾股定理即可求出的长；②理由如下：如图2，延长到，使得，连接，由圆的相关性质和已知条件可证，从而证出结论．解：（1）由题意得：，，，．（2）①如图1，连接并延长交于点，连接，

的半径为4，，，．②．理由如下：如图2，延长到，使得，连接，

，．平分，，．，，，，，为等边三角形，，，．【点拨】本题主要考查了圆的综合运用，以及全等三角形的判定与性质和勾股定理，结合条件，添加适当的辅助线是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（22·23下·宝鸡·模拟预测）已知如图，、是的弦，与坐标系、轴交于、A两点，点A的坐标为，的弦的长为，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先连接，由，可得是直径，又由点A的坐标为，弦的长为，可得中，，进而得到，最后根据圆周角定理可得答案．解：如图：连接，，是直径，又∵点A的坐标为，弦的长为，在中，，，，故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形的运用，解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【变式2】（23·24上·哈尔滨·期中）如图，为的内接三角形，连接OA、OC，若，则的度数是．

【答案】【分析】在优弧上取一点P，连接，，先由圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质：对角互补求解即可．解：在优弧上取一点P，连接，，

∵∴∵四边形内接于，∴∴，故答案为：125．【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，作辅助线构造圆内接四边形是解题的关键．【考点四】垂径定理【例5】（23·24上·长沙·阶段练习）如图，都是的半径，．

（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）利用圆周角定理可得，结合可证明结论；（2）过点作半径于点,可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得,即可求得,利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径.解：（1）证明:，∴；（2）过点作半径于点,连接，

∴,∵,∴.∴.，，在中,,，在中,,，,解得，即的半径是5.【点拨】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键.【举一反三】【变式1】（23·24上·黄石·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，的直径可得的半径为10，结合可求出，根据勾股定理和垂径定理求得的长度即可．解：如图所示，连接，∵的直径，则的半径为10，即，又∵，∴，∵，垂足为，∴，在中，，∴．故选：C．【点拨】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．【变式2】（23·24上·密云·期中）如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是．

【答案】①②④【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出，即可得出，进而根据得出，即可判断②，根据不一定相等即可判断③，根据圆周角定理，即可判断④．解：∵∴又∵,则∴∴，故①正确；连接，，

∵，∴，又，则，又∴∴∴垂直平分，故②正确；当且仅当时，，故③错误，∵∴∵∴，故④正确；故答案为：①②④．【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点五】弧长和扇形的面积计算【例6】（23·24上·南京·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D．

（1）若，求的度数；（2）若D是的中点，，求阴影部分的面积；【答案】（1）的度数为；（2）【分析】（1）连接，根据三角形的内角和定理求出，由得到，从而利用三角形的内角和定理可得；（2）由点D是斜边上的中线可得，又由，得到为等边三角形，从而，根据扇形面积公式求出阴影部分的面积即可．（1）解：连接CD，如图，

∵，，∴，∵∴，∴∴的度数为；（2）解：∵D是的中点，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴阴影部分的面积为：．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质等，综合运用相关知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（23·24上·邢台·期中）如图，是的外接圆，是的中点．若的半径为，则的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆心角和弧的关系，求出圆心角的大小，再利用弧长公式解答即可．解：连接，，

∵是的中点，，∴，∴，∴∴的弧长，故选：．【点拨】此题考查了弧长的