2024-2025学年浙江省杭州市上城区杭二东河高一上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市上城区杭二东河2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即x+1x-6>0，解得或，所以B=x|x2又，所以.故选：C.2.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A.3.已知点是第四象限的点，则角的终边位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因为点是第四象限的点，所以且.所以角的终边位于第二象限.故选：B.4.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，即，所以，所以函数的定义域为.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，两边同时平方得，所以.故选：D.6.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，解得或（舍去），所以.故选：B.7.若，，并且均为锐角，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，又，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.故选：C.8.已知函数，若，，且，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对任意的，，即恒成立，所以，函数的定义域为，因为，所以，所以，故函数为奇函数，当时，函数、均增函数，所以，函数在上为增函数，因为外层函数为增函数，由复合函数法可知，函数在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，可得，又因为，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此的最小值为8.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（）A.且B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】AC【解析】由题意可知，则，对于A，所以且，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，不等式，故C正确；对于D，不等式，又，可得，所以或，故D错误.故选：AC.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.是函数的一条对称轴D.是函数的对称中心【答案】ACD【解析】由图知：，即，而，可得，A正确；可得，结合，可得，B错误；为对称轴，C正确；由是函数的一个对称中心，，则是函数的对称中心，D正确.故选：ACD.11.下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】BD【解析】对于A，无法通过平移由得到，故A错误，对于B，，，故可以将的图象向右平移个单位得到的图象，故B正确，对于C，要想由得到需要横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，故C错误，对于D，，，故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______.【答案】4【解析】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得．13.求值：_______．【答案】【解析】.14.若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是_______．【答案】【解析】因为且，所以，则，当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；当时，由可得，因为函数在区间上单调递减，所以，所以，解得，由可得，又由于，则，则，因为，则，此时，；当时，由可得，由于内层函数在上单调递减，函数在区间上单调递减，所以，函数在上单调递增，则，所以，解得，由得，由于，则，由于，则，可得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由.（2）.16.已知函数且.（1）求函数的定义域且判断奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）令，∵，解得，∴函数的定义域为，，∴为偶函数，即为偶函数.（2）∵，∴，当时，，解得，当时，，解得，综上所述，当时，解集为，当时，解集为．17.某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离；（2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；（3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值．解：（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为，号座舱（点）离地面的初始高度为米，又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米，所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米.（2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中），依题意可得，，则．又，，当时，，又，所以，所以．（3）令，即，，，，或，解得或，故或时，1号座舱与地面的距离为17米．18.已知函数．（1）求和的单调递增区间；（2）用五点法作出在区间内的图象；（3）在中，若，求的最大值．解：（1）因为，即，所以，令，解得，故的单调递增区间为.（2）依题意可得如下表格：故在区间内的图象如下所示：（3）由可得，由于，则，故，故，因此，由于，则，故当，即时，取最大值为.19.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若在上单调递增，求的取值范围．（3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．解：（1）当时，，对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为，因为内层函数的减区间为，增区间为，外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为，故.（2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增，则内层函数在上为增函数，且，即，解得.因此，实数的取值范围是.（3）对于任意，存在，使得不等式成立，则对任意的恒成立，因为，当时，，故当时，即当时，函数取最小值，即，所以对任意的恒成立，由可得，参变量分离得，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立，则，因此，实数的取值范围是.浙江省杭州市上城区杭二东河2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即x+1x-6>0，解得或，所以B=x|x2又，所以.故选：C.2.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A.3.已知点是第四象限的点，则角的终边位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因为点是第四象限的点，所以且.所以角的终边位于第二象限.故选：B.4.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，即，所以，所以函数的定义域为.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，两边同时平方得，所以.故选：D.6.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，解得或（舍去），所以.故选：B.7.若，，并且均为锐角，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，又，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.故选：C.8.已知函数，若，，且，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对任意的，，即恒成立，所以，函数的定义域为，因为，所以，所以，故函数为奇函数，当时，函数、均增函数，所以，函数在上为增函数，因为外层函数为增函数，由复合函数法可知，函数在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，可得，又因为，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此的最小值为8.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（）A.且B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】AC【解析】由题意可知，则，对于A，所以且，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，不等式，故C正确；对于D，不等式，又，可得，所以或，故D错误.故选：AC.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.是函数的一条对称轴D.是函数的对称中心【答案】ACD【解析】由图知：，即，而，可得，A正确；可得，结合，可得，B错误；为对称轴，C正确；由是函数的一个对称中心，，则是函数的对称中心，D正确.故选：ACD.11.下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】BD【解析】对于A，无法通过平移由得到，故A错误，对于B，，，故可以将的图象向右平移个单位得到的图象，故B正确，对于C，要想由得到需要横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，故C错误，对于D，，，故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______.【答案】4【解析】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得．13.求值：_______．【答案】【解析】.14.若函数满足且在区间上单调递减．则的取值范围是_______．【答案】【解析】因为且，所以，则，当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；当时，由可得，因为函数在区间上单调递减，所以，所以，解得，由可得，又由于，则，则，因为，则，此时，；当时，由可得，由于内层函数在上单调递减，函数在区间上单调递减，所以，函数在上单调递增，则，所以，解得，由得，由于，则，由于，则，可得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由.（2）.16.已知函数且.（1）求函数的定义域且判断奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）令，∵，解得，∴函数的定义域为，，∴为偶函数，即为偶函数.（2）∵，∴，当时，，解得，当时，，解得，综上所述，当时，解集为，当时，解集为．17.某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离；（2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；（3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值．解：（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为，号座舱（点）离地面的初始高度为米，又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米，所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米.（2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中），依题意可得，，则．又，，当时，，又，所以，所以．（3）令，即，，，，或，解得或，故或时，1号座舱与地面的距离为17米．18.已知函数．（1）求和的单调递增区间；（2）用五点法作出在区间内的图象；（3）在中，若，求的最大值．解：（1）因为，即，所以，令，解得，故的单调递增区间为.（2）依题意可得如下表格：故在区间内的图象如下所示：（3）由可得，由于，则，故，故，因此，由于，则，故当，即时，取最大值为.19.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若在上单调递增，求的取值范围．（3）设