2024届内蒙古自治区包头市高三下学期二模数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区包头市2024届高三下学期二模数学试题（理）一、选择题1.已知全集，集合A满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，可得或则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的.故选：B.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A B. C. D.【答案】A【解析】因为复数，所以的虚部为.故选：A.3.设m，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能推出，如满足，但无意义，故“”不是“”的充分条件；再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.即“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】C【解析】法，最后利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详析】个和3个随机排成一行，即五个确定的位置中选择3个放字母，其他放字母，故不同排法有种，若再要求个不相邻，则需3个放好，有4个空，个插空摆放即可，即，所以个不相邻的概率为.故选：C.5.若实数x，y满足约束条件则的（）A.最小值为5 B.最大值为5C.最小值为6 D.最大值为6【答案】A【解析】由不等式组作出可行域如图：由，可得,由图可知，平移直线，当与重合时，取最小值5，故选：A.6.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设,,（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】因为，所以，所以，即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为.故选：B.8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于点对称 D.在区间上有2个零点【答案】D【解析】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，故两个函数同时取最大值时，的最大值为，此时需满足且，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；对于C，，则，故的图象不关于点对称，C错误；对于D,因为时，，又，所以或者；或者，此时，又，所以，综上可知，区间上有2个零点，故D正确，故选：D.9.在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.10.在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则直线与所成角的余弦值为，故选：D11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则，而，所以，所以点到的距离为，又，所以，解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.12.已知且，且，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】构造函数，，则，当时，；当时，，则在上单调递增；在上单调递减，又，则，则，，同理，，则，即，，所以，故选：D.二、填空题13.抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.【答案】【解析】依题可知，则，故答案为：.14.在中，A，B，C的对边分别为a，b,c,已知，，，则边______.【答案】【解析】因，由余弦定理，，化简得，因，，故.故答案为：.15.已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】【解析】设球半径为，圆柱的底面半径为，母线为，由题意可知，解得，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，.故答案为：.16.已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为______.【答案】【解析】令，则，不等式可化为：对任意的实数x恒成立，即对任意的实数x恒成立.设，则，当时，，在R上单调递增，，不合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则当时，.因对任意的实数x恒成立，故恒成立，即，则.令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减.故，即,故的最大值为.故答案为：.三、解答题（一）必考题17.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.解：（1）因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，则前3局甲都取胜的概率为.（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则；所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为.18.如图，在多面体DABCE中，是等边三角形,,.（1）求证：；（2）若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.（1）证明：取BC中点O，连接AO，EO.∵是等边三角形，O为BC中点，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：连接DO，则，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面ACD的法向量为，则即取，则.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，则，∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为.19.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）求函数的单调区间.解：（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.（2）.因为，所以，令得；令得；∴所以时，函数增区间为,时函数的单调减区间为，单调增区间为.20.已知椭圆E：过点，且焦距为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.①证明：直线MN必过定点；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.（1）解：依题意有，，解得，所以椭圆的方程为.（2）①证明：设：，，，则：，联立，故，，，故，由代替m，得，当，即时，：，过点.当，即时，，：，令，，直线MN恒过点.当，经验证直线MN过点.综上，直线MN恒过点.②解：，令，，∵在上单调递减，∴，当且仅当，时取等号.故面积的最大值为.21.已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.（1）写出所有4的1增数列；（2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；（3）若存在100的k增数列，求k的最大值.解：（1）由题意得，且对于，使得的正整数对有1个，由于或，故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.（2）当时，存在m的6增数列，即，且对于，使得的正整数对有6个，所以数列的各项中必有不同的项，所以且.若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以.若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，此时数列为，满足要求的正整数对分别为，符合m的6增数列，所以当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7.（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列中存在大于1的项，若首项，将拆分成个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以.当时，若，交换，的顺序后k变为，所以此时k不是最大值，所以.若，所以，所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，所以此时k不是最大值，所以.若数列中存在相邻的两项，，设此时中有x项为2，将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为，所以此时k不是最大值，所以数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式.设其中有x项为1，有y项为2，因为存在100的k增数列，所以，所以，所以，当且仅当，时，k取最大值为1250.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．解：（1）曲线C的参数方程为（为参数，），所以，所以即曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．[选修4-5：不等式选讲]23.已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，，满足,求证：．（1）解：即：①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，综上：不等式的解集为．（2）证明：方法1：，当且仅当时等号成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以,所以，即.∴，当且仅当，即时，等号成立．内蒙古自治区包头市2024届高三下学期二模数学试题（理）一、选择题1.已知全集，集合A满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，可得或则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的.故选：B.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A B. C. D.【答案】A【解析】因为复数，所以的虚部为.故选：A.3.设m，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能推出，如满足，但无意义，故“”不是“”的充分条件；再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.即“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】C【解析】法，最后利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详析】个和3个随机排成一行，即五个确定的位置中选择3个放字母，其他放字母，故不同排法有种，若再要求个不相邻，则需3个放好，有4个空，个插空摆放即可，即，所以个不相邻的概率为.故选：C.5.若实数x，y满足约束条件则的（）A.最小值为5 B.最大值为5C.最小值为6 D.最大值为6【答案】A【解析】由不等式组作出可行域如图：由，可得,由图可知，平移直线，当与重合时，取最小值5，故选：A.6.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设,,（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】因为，所以，所以，即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为.故选：B.8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于点对称 D.在区间上有2个零点【答案】D【解析】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，故两个函数同时取最大值时，的最大值为，此时需满足且，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；对于C，，则，故的图象不关于点对称，C错误；对于D,因为时，，又，所以或者；或者，此时，又，所以，综上可知，区间上有2个零点，故D正确，故选：D.9.在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.10.在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则直线与所成角的余弦值为，故选：D11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则，而，所以，所以点到的距离为，又，所以，解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.12.已知且，且，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】构造函数，，则，当时，；当时，，则在上单调递增；在上单调递减，又，则，则，，同理，，则，即，，所以，故选：D.二、填空题13.抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.【答案】【解析】依题可知，则，故答案为：.14.在中，A，B，C的对边分别为a，b,c,已知，，，则边______.【答案】【解析】因，由余弦定理，，化简得，因，，故.故答案为：.15.已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】【解析】设球半径为，圆柱的底面半径为，母线为，由题意可知，解得，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，.故答案为：.16.已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为______.【答案】【解析】令，则，不等式可化为：对任意的实数x恒成立，即对任意的实数x恒成立.设，则，当时，，在R上单调递增，，不合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则当时，.因对任意的实数x恒成立，故恒成立，即，则.令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减.故，即,故的最大值为.故答案为：.三、解答题（一）必考题17.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.解：（1）因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，则前3局甲都取胜的概率为.（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则；所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为.18.如图，在多面体DABCE中，是等边三角形,,.（1）求证：；（2）若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.（1）证明：取BC中点O，连接AO，EO.∵是等边三角形，O为BC中点，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：连接DO，则，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面ACD的法向量为，则即取，则.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，则，∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为.19.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）求函数的单调区间.解：（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.（2）.因为，所以，令得；令得；∴所以时，函数增区间为,时函数的单调减区间为，单调增区间为.20.已知椭圆E：过点，且焦距为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.①证明：直线MN必过定点；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.（1）解：依题意有，，解得，所以椭圆的方程为.（2）①证明：设：，，，则：，联立，故，，，故，由代替m，得，当，即时，：，过点.当，即时，，：，令，，直线MN恒过点.当，经验证直线MN过点.综上，直线MN恒过点.②解：，令，，∵在上单调递减，∴，当且仅当，时取等号.故面积的最大值为.21.已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.（1）写出所有4的1增数列；（2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；（3）若存在100的k增数列，求k的最大值.解：（1）由题意得，且对于，使得的正整数对有1个，由于或，故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.（2）