2025届安徽省卓越县中联盟高三下学期5月份检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省卓越县中联盟2025届高三下学期5月份检测数学试题一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）.A B. C. D.【答案】B【解析】因为，故．故选：B.2.已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，符合题意；当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意；当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意；综上所述，a的取值范围是．故选：A.3.已知函数的图象关于原点对称，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】易知的定义域为，且是奇函数，则对任意均成立，，即解得．故选：D.4.已知复数满足，则（）A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值 D.有最大值【答案】C【解析】设，由，则，所以，解得，所以，当且仅当时取等号，所以有最小值，无最大值．故选：C5.设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】设点，，则，因为在椭圆上，所以，则，将代入，得，当时，取得最小值，即取得最小值．故选：C.6.已知为第一象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得，又因为为第一象限角，所以，故．故选：D7.已知正三棱柱的表面积为，则其体积的最大值为（）.A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，则其表面积，整理得，则该正三棱柱的体积，将V看作关于a的函数，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故是的极大值点，则该正三棱柱的体积的最大值为．故选：A.8.记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记事件A为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为．当为奇数时，若，则仍然为奇数，当为偶数时，若或3，则为奇数，从而，即，即，整理可得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以．故是奇数的概率为．故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知由样本数据得到的回归直线方程为，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点后，得到的新回归直线经过点，则（）A变量x，y负相关B.剔除异常点后；样本相关系数的绝对值变大C.新回归直线经过点D.新回归直线的斜率是【答案】ABD【解析】对于A，由回归直线的斜率为，可知变量x，y负相关，故A正确；对于B，剔除异常点后，拟合精度变好，故样本相关系数的绝对值变大，故B正确；对于C，因为原回归直线方程为，且，所以，则剔除异常点后，，，故新回归直线经过点，故C错误；对于D，因为新回归直线经过点和，所以新回归直线的斜率为，故D正确．10.在中，，，，则（）A. B.C.的面积为 D.【答案】ACD【解析】对于A，设AC，BC的中点分别为E，F，的重心为G，由，，得，，由，得，则，，A正确；对于B，由，，得，，在中，由余弦定理得，解得，则，因此，B错误；对于C，，C正确；对于D，设AB的中点为M，则，而，则，D正确.故选：ACD11.波兰表达式（Polishnotation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符操作数1操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（）附：．A.波兰表达式“”的值为108B.若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是C.若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则D.若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4【答案】BD【解析】对于A，波兰表达式“”，即，故A错误；对于B，波兰表达式“”的值大于6，等价于，因为函数在上单调递增，且为其零点，所以所求x的取值范围是，故B正确；对于C，波兰表达式“”表示的函数为，则，又函数无极值，所以，则，所以，当且仅当时等号成立，又，故，则，，故C错误；对于D，波兰表达式“”的值为等价于，易知满足该等式，令，则，易知有唯一解，且在区间上单调递减，在上单调递增，又，，，由零点存在定理知，方程必存在另外一解，且，所以x的所有取值之和大于4，故D正确．故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为__________．【答案】【解析】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为，所以，即，故的方程为．故答案为：．13.已知等差数列的前n项和为，，若，，则__________．【答案】30【解析】由等差数列的性质可得，再由，，可得，所以，则，解得．故答案为：30.14.已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得，当时，不满足题意，当时，方程两边同乘，得，等价于，变形可得．设函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，当时，，且当趋向于时，趋向于0，由知，只需满足或，所以a的取值范围是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（，），圆:．（1）若图象的两条相邻的对称轴均与圆相切，求，的值；（2）若，且的图象与x轴的交点中恰有两个在圆的内部，求的取值范围．解：（1）由题可知，图象的两条相邻的对称轴间的距离为，由题可知圆的直径为3，所以，解得．因为圆心的坐标为，所以图象的其中一条对称轴的方程为，所以，解得，因为，所以．（2）由题可知，的零点满足，即．因为圆上的点的横坐标的取值范围是，所以原题等价于有且仅有2个不同的k值满足，整理得，故只能取0，1两个值，所以，解得的取值范围是．16.如图，在直四棱柱中，，，，，，M为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：由题可知，又，，平面，故平面，又平面，故．由题可知，，则，因，所以，所以．又，所以，即．又，平面MCD，故平面MCD．（2）解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的一个法向量为，则即取，则．易知平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为．17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：．（1）解：当时，，则，所以，又，故曲线在点处切线方程为．（2）证明：方法一：由题可得，设，则，令，则，令，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，于是，则，单调递增．故单调递增，而，故当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，故，综上，命题得证．方法二：由题可得，当时，，，，所以，即在上单调递减，当时，，，，所以，即在上单调递增，所以在处取得最小值，且．因为，所以，所以，故．18.某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2件不合格品．（1）若，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率；（2）若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值；（3）已知每件产品的检验费用为2m元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150元的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m应取何值？解：（1）设事件“检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品”为A，则．（2）设事件“检验一箱产品时至少抽到1件不合格品”为B，则，令，得，当时，单调递增，又当时，，当时，，所以m的最小值为6．（3）每箱产品随机抽出m件进行检验，设抽到的不合格品的件数为X，依题意，X服从超几何分布，则．设一箱产品的检验费用与赔偿费用之和为Y元，则，所以．函数的图象的对称轴方程为，要使的值最小，应取．19.记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为．（1）求点的坐标；（2）证明：是递减数列；（3）记的面积为，证明：．（1）解：如图所示，联立，解得或，故.又，所以，，故直线，联立，解得或，故.（2）证明：联立，解得点，所以，，所以.又因为，故，于是，即，故是递增数列.又由，可知是递减数列，于是是递减数列.（3）证明：由（2）得，当时，，，利用割补法，知.而，故.而，故；又，故，由累乘法可知，而，故.故.综上，.安徽省卓越县中联盟2025届高三下学期5月份检测数学试题一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）.A B. C. D.【答案】B【解析】因为，故．故选：B.2.已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，符合题意；当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意；当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意；综上所述，a的取值范围是．故选：A.3.已知函数的图象关于原点对称，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】易知的定义域为，且是奇函数，则对任意均成立，，即解得．故选：D.4.已知复数满足，则（）A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值 D.有最大值【答案】C【解析】设，由，则，所以，解得，所以，当且仅当时取等号，所以有最小值，无最大值．故选：C5.设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】设点，，则，因为在椭圆上，所以，则，将代入，得，当时，取得最小值，即取得最小值．故选：C.6.已知为第一象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得，又因为为第一象限角，所以，故．故选：D7.已知正三棱柱的表面积为，则其体积的最大值为（）.A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，则其表面积，整理得，则该正三棱柱的体积，将V看作关于a的函数，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故是的极大值点，则该正三棱柱的体积的最大值为．故选：A.8.记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记事件A为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为．当为奇数时，若，则仍然为奇数，当为偶数时，若或3，则为奇数，从而，即，即，整理可得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以．故是奇数的概率为．故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知由样本数据得到的回归直线方程为，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点后，得到的新回归直线经过点，则（）A变量x，y负相关B.剔除异常点后；样本相关系数的绝对值变大C.新回归直线经过点D.新回归直线的斜率是【答案】ABD【解析】对于A，由回归直线的斜率为，可知变量x，y负相关，故A正确；对于B，剔除异常点后，拟合精度变好，故样本相关系数的绝对值变大，故B正确；对于C，因为原回归直线方程为，且，所以，则剔除异常点后，，，故新回归直线经过点，故C错误；对于D，因为新回归直线经过点和，所以新回归直线的斜率为，故D正确．10.在中，，，，则（）A. B.C.的面积为 D.【答案】ACD【解析】对于A，设AC，BC的中点分别为E，F，的重心为G，由，，得，，由，得，则，，A正确；对于B，由，，得，，在中，由余弦定理得，解得，则，因此，B错误；对于C，，C正确；对于D，设AB的中点为M，则，而，则，D正确.故选：ACD11.波兰表达式（Polishnotation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符操作数1操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（）附：．A.波兰表达式“”的值为108B.若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是C.若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则D.若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4【答案】BD【解析】对于A，波兰表达式“”，即，故A错误；对于B，波兰表达式“”的值大于6，等价于，因为函数在上单调递增，且为其零点，所以所求x的取值范围是，故B正确；对于C，波兰表达式“”表示的函数为，则，又函数无极值，所以，则，所以，当且仅当时等号成立，又，故，则，，故C错误；对于D，波兰表达式“”的值为等价于，易知满足该等式，令，则，易知有唯一解，且在区间上单调递减，在上单调递增，又，，，由零点存在定理知，方程必存在另外一解，且，所以x的所有取值之和大于4，故D正确．故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为__________．【答案】【解析】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为，所以，即，故的方程为．故答案为：．13.已知等差数列的前n项和为，，若，，则__________．【答案】30【解析】由等差数列的性质可得，再由，，可得，所以，则，解得．故答案为：30.14.已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得，当时，不满足题意，当时，方程两边同乘，得，等价于，变形可得．设函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，当时，，且当趋向于时，趋向于0，由知，只需满足或，所以a的取值范围是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（，），圆:．（1）若图象的两条相邻的对称轴均与圆相切，求，的值；（2）若，且的图象与x轴的交点中恰有两个在圆的内部，求的取值范围．解：（1）由题可知，图象的两条相邻的对称轴间的距离为，由题可知圆的直径为3，所以，解得．因为圆心的坐标为，所以图象的其中一条对称轴的方程为，所以，解得，因为，所以．（2）由题可知，的零点满足，即．因为圆上的点的横坐标的取值范围是，所以原题等价于有且仅有2个不同的k值满足，整理得，故只能取0，1两个值，所以，解得的取值范围是．16.如图，在直四棱柱中，，，，，，M为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：由题可知，又，，平面，故平面，又平面，故．由题可知，，则，因，所以，所以．又，所以，即．又，平面MCD，故平面MCD．（2）解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的一个法向量为，则即取，则．易知平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为．17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：．（1）解：当时，，则，所以，又，故曲线在点处切线方程为．（2）证明：方法一：由题可得，设，则，令，则，令，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，于是，则，单调递增．故单调递增，而，故当时，，在单