2025届湖北省黄冈市文海大联考高三下学期信息卷数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省黄冈市文海大联考2025届高三下学期信息卷数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，且，所以.故选：D.2.已知虚数单位，复数满足，则（）A. B.5 C. D.2【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A.3.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以在方向上的投影向量为故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，解得，故，故选：B5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点，因为正四棱锥侧面积为，则，解得，故，取的中点，连接，故，则正四棱锥的高，其中，则，其中，则，即，解得，则该四棱锥的外接球的表面积故选：B.6.设函数，对有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知在上单调递增，所以，解得，故选：A.7.不等式对任意恒成立，则的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．当时，若对任意恒成立，则；当时，对于恒成立，则当时，，与已知矛盾；当时，在上单调递增，则要使得在时恒成立，必有成立．所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B．8.二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，则，，以此类推，，则，又，则，，以此类推，，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.随机变量，且，则B.随机变量Y服从两点分布，且，则C.对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强D.在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32【答案】ABD【解析】对于A，由题意得，，，则，故A正确；对于B，因为两点分布的，所以，所以，故B正确；对于C，因为，且，所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误；对于D，由的展开式知，取，得，取，得，两式相减可得，，所以，所以的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确.故选：ABD．10.已知函数，则（）A.为其定义域上的增函数 B.为偶函数C.的图象与直线相切 D.有唯一的零点【答案】AD【解析】由题意，在中，定义域为，，∴为上的增函数，A正确；，∴为奇函数，B错误；∵当时，解得：，此时，∴斜率为0的切线为，不可能为直线，∴C错误；为上的增函数，，∴有唯一的零点，D正确.故选：AD.11.如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（）A.B.C.是双曲线的一部分D.若越大，则曲线的开口越大【答案】ABD【解析】因为均为球的切点，易得，A正确；设平面平面，直线交于，因为，所以，因为，所以，，所以，由平面，所以平面，平面，所以，又，所以，因为，所以正确；作垂直平面于H，又因为，所以，由等角定理可得，平面，得≌，，又均为球的切点，则易得，所以恒有，即，其中为定点，为到定直线距离，所以的轨迹为拋物线，C错误；圆锥过的轴截面，如图所示，取中点，易知为的中点，所以，所以，，在平面内，若以为坐标原点，为轴正向，可得方程为可得该抛物线的开口随着的增大而增大，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为______．【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，由题意可知，，即，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.13.设是定义域的子集，对，将的最大值称为在上的振幅，记作．若曲线在点处的切线斜率为3，且，则______．【答案】【解析】，当，时，单调递增，所以，则，又，则，两式联立得.故答案为：14.数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意构造，，则有，，，．因为，恒成立，又的概率为0.5，所以必有或者解得．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足（1）求∠A大小；（2）若D为BC上近C三等分点（即），且，求S最大值．解：（1）取的中点，连接，则，可得：由，可得，则，即，整理得，由余弦定理，可得，∵，故.（2）由题意可得：，则，可得：，则，当且仅当，即时等号成立，即，则.故S最大值为.16.已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．（1）求直线的斜率k的取值范围；（2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．解：（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点.（1）证明：；（2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.（1）证明：在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点，因为且，所以四边形CDBE为平行四边形，所以BD与CE的交点即为CE中点M.由已知可得，，，，由余弦定理得,所以三角形为直角三角形，所以，又，，所以,且,所以平面PBD，又平面PBD，所以.（2）解：由（1）知，平面PDM，如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，平面PDM的一个法向量为，设直线AN与平面PDM所成角为，则，化简得由，可得，求得，.故.18.已知函数.（1）若，求在点处的切线方程；（2）若，当时，，求b的取值范围；（3）若，求a的取值范围.解：（1）由得，则，所以切线斜率，又，则切线方程为，即（2）由，得，当时，，所以当时，转化为，令，则，因为，所以，当时，，所以递减，当时，，所以在递增，所以，得.综上，.（3）设，则，又，则，即，解得，所以，一方面，对任意，有，即另一方面，若方程存在除a以外的其他解，则方程需无解.求导得，由得或①当，时，，在R上递增，方程有唯一解a，满足题意.②当时，当时，，在区间递减；当时，，在区间和上递增，此时极大值，所以方程有唯一解a，满足题意.③当时，当时，，在区间递减；当时，在区间和上递增，此时极大值为，极小值为，（i）当时，则极小值，又时，，所以存在，满足，且方程有解，不满足题意.（ii）当时，则极小值，此时若方程有除a以外的其他解t，必有，而极小值，且当时，，所以无解，满足题意.综上，19.每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.（1）求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；（2）若正整数对应“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；（3）对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.（1）解：因为，故“阶乘表示”为；，故“阶乘表示”为；，故“阶乘表示”为；因为，故“阶乘表示”为；（2）证明：因为，因为，故，所以，由于，所以，即，依次化简可得，所以.（3）解：由于，，故，所以，即，累加可得，即.当，时取到最小值，此时，解得，即，所以.湖北省黄冈市文海大联考2025届高三下学期信息卷数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，且，所以.故选：D.2.已知虚数单位，复数满足，则（）A. B.5 C. D.2【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A.3.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以在方向上的投影向量为故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，解得，故，故选：B5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点，因为正四棱锥侧面积为，则，解得，故，取的中点，连接，故，则正四棱锥的高，其中，则，其中，则，即，解得，则该四棱锥的外接球的表面积故选：B.6.设函数，对有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知在上单调递增，所以，解得，故选：A.7.不等式对任意恒成立，则的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．当时，若对任意恒成立，则；当时，对于恒成立，则当时，，与已知矛盾；当时，在上单调递增，则要使得在时恒成立，必有成立．所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B．8.二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，则，，以此类推，，则，又，则，，以此类推，，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.随机变量，且，则B.随机变量Y服从两点分布，且，则C.对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强D.在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32【答案】ABD【解析】对于A，由题意得，，，则，故A正确；对于B，因为两点分布的，所以，所以，故B正确；对于C，因为，且，所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误；对于D，由的展开式知，取，得，取，得，两式相减可得，，所以，所以的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确.故选：ABD．10.已知函数，则（）A.为其定义域上的增函数 B.为偶函数C.的图象与直线相切 D.有唯一的零点【答案】AD【解析】由题意，在中，定义域为，，∴为上的增函数，A正确；，∴为奇函数，B错误；∵当时，解得：，此时，∴斜率为0的切线为，不可能为直线，∴C错误；为上的增函数，，∴有唯一的零点，D正确.故选：AD.11.如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（）A.B.C.是双曲线的一部分D.若越大，则曲线的开口越大【答案】ABD【解析】因为均为球的切点，易得，A正确；设平面平面，直线交于，因为，所以，因为，所以，，所以，由平面，所以平面，平面，所以，又，所以，因为，所以正确；作垂直平面于H，又因为，所以，由等角定理可得，平面，得≌，，又均为球的切点，则易得，所以恒有，即，其中为定点，为到定直线距离，所以的轨迹为拋物线，C错误；圆锥过的轴截面，如图所示，取中点，易知为的中点，所以，所以，，在平面内，若以为坐标原点，为轴正向，可得方程为可得该抛物线的开口随着的增大而增大，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为______．【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，由题意可知，，即，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.13.设是定义域的子集，对，将的最大值称为在上的振幅，记作．若曲线在点处的切线斜率为3，且，则______．【答案】【解析】，当，时，单调递增，所以，则，又，则，两式联立得.故答案为：14.数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意构造，，则有，，，．因为，恒成立，又的概率为0.5，所以必有或者解得．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足（1）求∠A大小；（2）若D为BC上近C三等分点（即），且，求S最大值．解：（1）取的中点，连接，则，可得：由，可得，则，即，整理得，由余弦定理，可得，∵，故.（2）由题意可得：，则，可得：，则，当且仅当，即时等号成立，即，则.故S最大值为.16.已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．（1）求直线的斜率k的取值范围；（2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．解：（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点.（1）证明：；（2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.（1）证明：在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点，因为且，所以四边形CDBE为平行四边形，所以BD与CE的交点即为CE中点M.由已知可得，，，，由余弦定理得,所以三角形为直角三角形，所以，又，，所以,且,所以平面PBD，又平面PBD，所以.（2）解：由（1）知，平面PDM，如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，平