2025届湖南省岳阳市高三下学期考情信息卷（一）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以．故选：B．2.设，为复数，且，则下列结论不正确的是（）A. B.C.若，则 D.【答案】C【解析】设，，对于A，因为，所以，且，所以，故A正确；对于B，因为，，，则，，所以，故B正确；对于C，若，例如，，满足，但，，即，故C错误；对于D，因为，所以，，所以，故D正确.故选：C.3.设向量，，则下列说法错误的是（）A.若，则与的夹角为钝角 B.若，则C.与共线的单位向量有且只有 D.若，则或【答案】C【解析】对于A，若与的夹角为钝角，则且与不共线，又，，则，解得且，所以当时，与的夹角为钝角，故A正确；对于B，因为，所以，得，故B正确；对于C，易得，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，故C错误；对于D，由，即，解得，故D正确．故选：C.4.已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是A.在区间上是减函数 B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数 D.在区间上是增函数【答案】B【解析】由于函数的最小正周期为，故，即，.所以.由，解得，故函数的递增区间是，令，则递增区间为，故B选项正确.所以本小题选B.5.数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得，，所以，所以，因为，所以当或8时，取得最大值为，故选：A.6.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，，因为，则，A对B错；若，则成立，但，C错；若，则成立，则不成立，D错.故选：A.7.已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，设，则，易知当时，，即是减函数，∴时，，又时，且，而时，是增函数，．有两个零点，即的图象与直线有两个交点，函数的图象如下所示：所以．故选:C．8.如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题：①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；⑤四棱锥的体积为定值.以上命题中真命题的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】因为平面与平面平行，截面与它们交于，BF，可得，同样可得，所以四边形是一个平行四边形，故①正确；如果四边形是正方形，则，因为，所以平面，又平面，E与A重合，此时不是正方形，故②错误；当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面，此时四边形垂直于平面，故③正确；由与DC的延长线交于M，可得，且，又因为平面，平面ABCD，所以平面，平面ABCD，又因为平面，平面ABCD，所以平面平面，同理平面平面，所以BM，BN都是平面与平面ABCD交线，所以B，M，N三点共线，故④正确；由于，平面，则E，F到平面的距离相等，且为正方体的棱长，三角形的面积为定值，所以四棱锥的体积为定值，故⑤正确.故选:C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（）A.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；B.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；C.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；D.若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.【答案】AC【解析】A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确.C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.B选项，样本方差为，所以B选项错误.D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误.故选：AC10.三次函数叙述正确的是（）A.当时，函数无极值点 B.函数的图象关于点中心对称C.过点的切线有两条 D.当时，函数有3个零点【答案】ABD【解析】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确；对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；对于D：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又有极大值为，所以若函数有3个零点，则有极小值为，得到，故D正确．故选：ABD．11.设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（）A.的值为4B.C.D.的面积与的面积之比为4【答案】ABD【解析】如图：设，，联立可得，所以，，故．对A：因为，，所以，则，解得或．因为，所以，故A正确；对B：因为，．又，所以，，则，故B成立；对C：因为，故C错误；对D：因为，故D正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知展开式中含项的系数为8，则实数___________.【答案】3【解析】因为的展开式的通项公式为，则展开式中含项的系数为解得故答案为:13.已知双曲线，双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】由曲线，整理可得，离心率.故答案为：.14.已知，，且，则________.【答案】【解析】因为，，且，则，即，于是，所以.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角大小；（2）如图，若为外一点，且，，，，求的面积．解：（1）由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，∴，又，∴，∴；又，∴；（2）连接BD，因为，，，所以，，所以，所以．又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以；综上，.16.一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）.（1）若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球次数，求的分布列和数学期望；（2）记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求.解：（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为012数学期望.（2）设第次抽到第一个白球，则第次抽到第二个白球的概率为：.所以.17.如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：正方形中，分别是、中点，则，均为锐角，所以，所以，所以，平面，平面，所以，又，平面，所以平面．（2）解：也是中点，，且，作出完整的截面，设，，如图，连接，由，平面，平面，所以平面，又截面平面，截面，所以，由（1）平面，所以在平面内的射影是，所以与平面所成的角，即为与的夹角，也即为与的夹角，设，易得，，．所以直线与平面所成角的正弦值．18.已知函数，函数的图像在处的切线方程为：（1）求的值；（2）若，成立，求的取值范围.解：（1）,由题意可得，解得.（2）(方法1)由得，∵x>0∴lnx+(1k)xk+3<0恒成立设g(x)=lnx+(1k)xk+3(x>0)当k≤1时，g´(x)≥0，y=g(x)在x(0,+∞)上单调递增，不符合题意，舍去当k>1时，y=g(x)在x(0,)上单调递增，在x(,+∞)上单调递减，∴g(x)≤g()=ln+2k<0设h(k)=2kln(k1),h´(k)=1<0,y=h(k)在k(1,+∞)上单调递减∵h(2)=0∴由h(k)<0解得k>2综上所述，k的取值范围是(2,+∞).（方法2）得，∵x>0∴lnx+(1k)xk+3<0恒成立，整理得：k>，令g(x)=,则令h(x)=-lnx-1,(x>0),h(x)=--<0在x>0时恒成立所以，h(x)单调递减，又h(1)=0，所以，x∈(0,1)，h(x)>0,即g(x)>0,g(x)单调递增x∈(1,+∞)，h(x)<0,即g(x)<0，g(x)单调递减g(x)在x=1处有最大值g(1)=2所以k>2,k的取值范围是(2,+∞)19.已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.（1）求C的方程；（2）若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值；（3）若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值.（1）解：由题设有，解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设，则直线的方程为，与的方程联立，消去得.因为，所以.因为是它的一根，所以，即.（*）若，经过3次操作后停止，即为.将代入（*）式得，，因为关于原点对称，，所以与关于原点对称，因为与关于轴对称，与关于轴对称，所以与关于原点对称，所以，解得，综上，当时，.（3）证明：当时，由（*）式得，同理，所以与关于原点对称.如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合，所以是以4为周期的周期点列，所以的面积等于的面积.因为直线的方程为，点到直线的距离，所以.湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以．故选：B．2.设，为复数，且，则下列结论不正确的是（）A. B.C.若，则 D.【答案】C【解析】设，，对于A，因为，所以，且，所以，故A正确；对于B，因为，，，则，，所以，故B正确；对于C，若，例如，，满足，但，，即，故C错误；对于D，因为，所以，，所以，故D正确.故选：C.3.设向量，，则下列说法错误的是（）A.若，则与的夹角为钝角 B.若，则C.与共线的单位向量有且只有 D.若，则或【答案】C【解析】对于A，若与的夹角为钝角，则且与不共线，又，，则，解得且，所以当时，与的夹角为钝角，故A正确；对于B，因为，所以，得，故B正确；对于C，易得，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，故C错误；对于D，由，即，解得，故D正确．故选：C.4.已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是A.在区间上是减函数 B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数 D.在区间上是增函数【答案】B【解析】由于函数的最小正周期为，故，即，.所以.由，解得，故函数的递增区间是，令，则递增区间为，故B选项正确.所以本小题选B.5.数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得，，所以，所以，因为，所以当或8时，取得最大值为，故选：A.6.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，，因为，则，A对B错；若，则成立，但，C错；若，则成立，则不成立，D错.故选：A.7.已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，设，则，易知当时，，即是减函数，∴时，，又时，且，而时，是增函数，．有两个零点，即的图象与直线有两个交点，函数的图象如下所示：所以．故选:C．8.如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题：①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；⑤四棱锥的体积为定值.以上命题中真命题的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】因为平面与平面平行，截面与它们交于，BF，可得，同样可得，所以四边形是一个平行四边形，故①正确；如果四边形是正方形，则，因为，所以平面，又平面，E与A重合，此时不是正方形，故②错误；当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面，此时四边形垂直于平面，故③正确；由与DC的延长线交于M，可得，且，又因为平面，平面ABCD，所以平面，平面ABCD，又因为平面，平面ABCD，所以平面平面，同理平面平面，所以BM，BN都是平面与平面ABCD交线，所以B，M，N三点共线，故④正确；由于，平面，则E，F到平面的距离相等，且为正方体的棱长，三角形的面积为定值，所以四棱锥的体积为定值，故⑤正确.故选:C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（）A.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；B.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；C.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；D.若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.【答案】AC【解析】A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确.C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.B选项，样本方差为，所以B选项错误.D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误.故选：AC10.三次函数叙述正确的是（）A.当时，函数无极值点 B.函数的图象关于点中心对称C.过点的切线有两条 D.当时，函数有3个零点【答案】ABD【解析】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确；对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；对于D：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又有极大值为，所以若函数有3个零点，则有极小值为，得到，故D正确．故选：ABD．11.设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（）A.的值为4B.C.D.的面积与的面积之比为4【答案】ABD【解析】如图：设，，联立可得，所以，，故．对A：因为，，所以，则，解得或．因为，所以，故A正确；对B：因为，．又，所以，，则，故B成立；对C：因为，故C错误；对D：因为，故D正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知展开式中含项的系数为8，则实数___________.【答案】3【解析】因为的展开式的通项公式为，则展开式中含项的系数为解得故答案为:13.已知双曲线，双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】由曲线，整理可得，离心率.故答案为：.14.已知，，且，则________.【答案】【解析】因为，，且，则，即，于是，所以.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角大小；（2）如图，若为外一点，且，，，，求的面积．解：（1）由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，∴，又，∴，∴；又，∴；（2）连接BD，因为，，，所以，，所以，所以．又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以；综上，.16.一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）.（1）若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球次数，求的分布列和数学期望；（2）记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求.解：（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为012数学期望.（2）设第次抽到第一个白球，则第次抽到第二个白球的概率为：.所以.17.如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：正方形中，分别是、中点，则，均为锐角，所以，所以，所以，平面，平面，所以，又，平面，所以平面．（2）解：也是中点，，且，作出完整的截面，设，，如图，连接，由，平面，平面，所以平面，又截面平面，截面，所以，由（1）平面，所以在平面内的射影是，所以与平面所成的角，即为与的夹角，也即为与的夹角，设，易得，，．所以直线与平面所成角的正弦值．18.已知函数，函数的图像在处的切线方程为：（1）求的值；（2）若，成立，求的取值范围.解：（1）,由题意可得，解得.（2）(方法1)由得，∵x>0∴lnx+(1k)xk+3<0恒成立设g