2025届吉林省松原市高三下学期4月质量检测数学试卷（数学）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省松原市2025届高三下学期4月质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x∣x+2∈A}，则A∩B=（A．1 B．1,2 C．1,2,3 D．1,2,3,4【答案】C【解析】因为集合A={1,2,3,4,5}，所以由x+2∈{1,2,3,4,5}，可得B={-1,0,1,2,3}，所以A∩B=1,2,3故选：C.2．已知向量a=1,2，b=2,x，若a//A．5 B．25 C．5 D．【答案】B【解析】向量a=1,2，b=2,x，由a//所以|b故选：B3．已知z=21+i-iA．1+2i B．1-2i C．i D【答案】A【解析】z=21+i故选：A4．已知a∈R，若“∃x∈R，a=2x+1”A．-∞,1 B．1,+∞ C．-【答案】C【解析】命题“∃x∈R，a=2其否定为：∀x∈R，a≠2x+1，而函数由“∃x∈R，a=2x+1”为假命题，得“∀x∈R，所以a的取值范围是-∞故选：C5．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（

）A．76 B．77 C．78 D．79【答案】B【解析】从左到右前2个小组的频率分别为0.1，0.2，第3个小组的频率为0.3，又0.1+0.2<0.5，0.1+0.2+0.3>0.5，故50%分位数在70,80内，70+0.5-0.3故选：B.6．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DnG0（D为常数），其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中G0=20，当n=10时，学习率为0.25；当A．31 B．32 C．33 D．34【答案】D【解析】因为衰减学习率模型为L=L所以根据已知条件可得：0.25=L0.065=L用②式除以①式可得：L0D32将D=0.25代入①式中可得：L0所以衰减学习率模型为L=0.5·0.25当学习率衰减到0.05以下时，即L=0.5·0.25化简上述不等式得：n20lg0.25<因为n为正数，所以最小值取34.故选：D.7．已知A0,1，B2,1，F1,0，动点P满足PA⋅PB=0，若PM=A．1 B．43 C．32 D【答案】B【解析】设M(x,y)，由PM=12PF，F(1,0)，得点M为又A(0,1)，B(2,1)，则PA=(1-2x,1-2y)，PB因此PA⋅PB=(1-2x)(3-2x)+(1-2y)(1-2y)=4点M在以N(1,12)设直线OM（O为原点）斜率为k，由图知当直线OM与圆N相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时OM:kx-y=0，则圆心N(1,12)到直线OM的距离等于半径12，即k-1所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为43故选：B8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC，且AD=2BC，E是棱PD的中点，设PC∩平面ABE=F，则PFPCA．512 B．12 C．23【答案】B【解析】选择PA,AB,PF=PA+AF，由已知F点在平面ABE内，即AF与AB，又由E是PD的中点，可得AE=PF=(1-PF与PC共线，即PF=λPC，可得：λ=1-12n故选：B二、多选题9．将函数f(x)=sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数A．g(x)的最小正周期为4B．g(x)的零点为kπ2C．g(x)图象的对称轴方程为x=kπD．g(x)的单调递减区间为[4kπ+【答案】BC【解析】f(x)=sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12再将所有的点向左平移π4个单位长度得到g(x)=对于A，g(x)的最小正周期T=2π2对于B，令g(x)=0，得2x=π2+kπ,k∈Z，解得x=π对于C，令2x=kπ,k∈Z，得x=kπ2,k∈对于D，令2x∈2kπ,π+2kπ,k∈Z，得x∈[k故选：BC10．如图，圆台OO1的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为9π，四边形ABCD为其轴截面，四边形OO1DA绕OO

A．圆台OO1B．圆台OO1C．BD．圆台OO1【答案】ACD【解析】对于A，设圆台的母线长为l，则圆台的侧面积S=πr+r'l=过点D作DE⊥AO于点E，则AE=AO-OE=2-1=1，在Rt△ADE中，DE=DA2-AE2对于B，圆台OO1的体积V=1对于C，过点D1作D1F⊥A1O于点在△BOF中，OB=2,OF=1,∠BOF=120∘，根据余弦定理，在Rt△BD1F中，BD对于D，设圆台OO1的外接球的球心为点P，则点P在直线OO若球心P在线段OO1上，即在圆台内，设P到圆台上底面距离为x，则到下底面距离为则有R2=12+所以R2=1若球心P在线段OO1外，即在圆台外，设P到圆台下底面距离为y，则到上底面距离为则有R2=22所以，圆台OO1的外接球的表面积为153π8故选：ACD.11．已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（

）A．若A⊆B，P(B)>0，则P(A)≤P(AB．若P(A)=0.6，P(B)=0.8，则P(AB)的最小值可能为0.38C．若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互独立，则AB≠∅D．若AB=∅，则P(A【答案】ACD【解析】对于A，因为A⊆B，所以PA∣B=PABP对于B，因为P(A)=0.6，P(B)=0.8，所以PA∪B由于PA≤PA∪B≤1PB≤PA∪B≤1对于C，若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，则AB≠∅，故C正确；对于D，若AB=∅，则A⊆B，所以P(A∣B)=故选：ACD.三、填空题12．已知数列an中，a1=10，a10-a6=-8，若∀n∈N【答案】10【解析】若∀n∈N*，an+2则数列an为等差数列，设公差为d由a10-a6=-8所以an则an前10项的和为a故答案为：10.13．已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，O为原点，A【答案】53/【解析】取椭圆C的左焦点F1，连结A在△FAF1中，由OA=设FF1=2c，由AF由△F1AF为直角三角形，得4所以椭圆C的离心率是e=c故答案为：514．已知函数fx满足：①∀x∈R，f'x>0；②∀x,y∈R，fxf【答案】2【解析】由②及题设条件，得fln由①，知fx为增函数，得ln2x+2即ln2令gx=x+e又gx为增函数，所以ln2x2=1-x+故e1-k故答案为：2.四、解答题15．已知函数f(x)=e（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）证明：∀x≥1，f(x)≥x-ln（1）解：函数f(x)=ex-ex+1，求导得f所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=0.（2）证明：设g(x)=lnx+1-x,x≥1，求导得函数g(x)在[1,+∞)上单调递减，g(x)≤g(1)=0恒成立，即lnx+1-x≤0设h(x)=ex-x,x≥1，求导得h'(x)=则h(x)≥h(lnx+1)，则ex所以ex-e16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+tan（1）求A；（2）若△ABC的面积为1，a=2，求cosB解：（1）在△ABC中，由1+tanAtan即sinBcosA+由0<A<π，得sinC≠0,cos所以A=π（2）（2）由（1）求解知，S=12bc由正弦定理得2sinA=23又cosC+B∴cosC∴cosB17．某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答nn≥3次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为23，答对每个益智类题目的概率均为（1）记李明前两题累计获奖为X元，求X的分布列及数学期望；（2）记李明第i题回答正确的概率为Pi(i=1,2,⋯,n)证明：{P解：（1）依题意，随机变量X的可能取值为0,10,30，李明答对每个生活类题目的概率均为23，答对每个益智类题目的概率均为1当X=0时，两道生活类题目都答错，P(X=0)=(1-2当X=10时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对，即P(X=10)=2当X=30时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，P(X=30)=2所以随机变量X的分布列为：X01030P122所以EX（2）若李明第i道题目回答正确，则第i+1道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为13若李明第i道题目回答错误，则第i+1道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为23所以Pi+1则Pi+1-1因此数列{Pi-12}是首项为16Pi的通项公式是P18．在三棱锥P-BCD中，CB⊥CD，CD=2CB=2，PB与平面BCD所成的角为θ．（1）若θ=90°，∠BPC=30°，如图，过点B作平面BEF⊥PD，分别交PC，PD于点E，F．①求证：BE⊥平面PCD；②设BG=2GC，H为平面BEF内的动点，求（2）若θ=60°，PB=1，求二面角P-CD-B的取值范围．解：（1）（i）由PD⊥平面BEF，BE⊂平面BEF，得PD⊥BE，由θ=90°，得PB⊥平面BCD，而CD⊂平面BCD，则PB⊥CD，又CB⊥CD，CB∩PB=B，CB,PB⊂平面PBC，则CD⊥平面PBC，又BE⊂平面PBC，则CD⊥BE，而PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，所以BE⊥平面PCD；（ii）由CD=2CB=2，得CD=2,CB=1，BG=2GC，则过点C作CM//PB，以C为坐标原点，CB,CD,CM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由∠BPC=30°，得∠PCB=60°，PC=2BC=2,PB=3则G(13,0,0)，P(1,0,则平面BEF的一个法向量为DP=(1,-2,设C点关于平面BEF对称的点为C'(x,y,z)，则CH+GH=C'H+GH，要C此时C'H+GH的最小值为GC'的长，其中则(x,y,z)=λ(1,-2,3)且(x-1)2+y故C'(1所以△CGH周长的最小值为GC（2）PB与平面BCD所成的角θ=60°，以B为坐标原点，CB所在直线为x轴，平行CD的直线为y轴，垂直于BCD平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为CD=2,CB=1，故B(0,0,0),C(-1,0,0),D(-1,2,0)，PB与平面BCD所成的角θ=60°，PB=1，则点P在平面BCD的投影为以B为圆心，12设P(12cos设平面PCD的法向量为m=(x1令x1=1，得m=(1,0,-cos设二面角P-CD-B的大小为α，由图形知，二面角P-CD-B是锐二面角，α∈(0,π则cosα=|cos〈令cosβ+2=t∈[1,3]，则cos又y=cosα在(0,π所以二面角P-CD-B的取值范围为[π19．已知双曲线C:x2-y2b2=1b>0的两条渐近线分别为l1:y=3x，l2:y=-3x，若点A，B分别在l1，l2上（A，B不同于原点O（1）写出C的一个“渐切三角形”的顶点A，B的坐标及切线AB的方程，并求出其面积；（2）已知点Ax1,y1，Bx2,y2x1x2>0分别在l（3）若△OAB是C的“渐切三角形”，AB与C相切的切点M的横坐标大于0，F为C的左焦点，证明：∠AFB为定值．（1）解：由题意可得，双曲线的渐近线方程为y=±bx,b>0，故b=3则C:x2-y23=1不妨取切点为1,0，则切线方程为x=1，此时A1,则S△OAB（2）解：若直线AB斜率不存在，不妨设AB:x=m，则Am,则S△OAB=1此时直线AB:x=±1与曲线C相切，即△OAB是C的“渐切三角形”，若直线AB斜率存在，设AB:y=kx+m，联立y=kx+mx2-则k2≠3,x则AB=又点O到直线AB的距离d=m则S△OAB得k2联立y=kx+mx2-则Δ=4则直线AB与曲线C相切，即△OAB是C的“渐切三角形”，综上可得，若△OAB的面积为3，则△OAB是C的“渐切三角形”.（3）证明：若切点为1,0时，直线AB的方程为x=1，此时A1,因F-2,0，则tan∠AFO=3利用对称性可知∠AFB=π若切点不为1,0，可设切点为s,t,s>0,t≠0，则直线l联立sx-ty3=1则t2-3s2≠0,联立sx-ty3=1x2设点Ax1,y1则x1y1则k==3（说明：由图知，x1-x2与kAF则tan=k因0<∠AFB<π，则∠AFB=π3，故∠AFB吉林省松原市2025届高三下学期4月质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x∣x+2∈A}，则A∩B=（A．1 B．1,2 C．1,2,3 D．1,2,3,4【答案】C【解析】因为集合A={1,2,3,4,5}，所以由x+2∈{1,2,3,4,5}，可得B={-1,0,1,2,3}，所以A∩B=1,2,3故选：C.2．已知向量a=1,2，b=2,x，若a//A．5 B．25 C．5 D．【答案】B【解析】向量a=1,2，b=2,x，由a//所以|b故选：B3．已知z=21+i-iA．1+2i B．1-2i C．i D【答案】A【解析】z=21+i故选：A4．已知a∈R，若“∃x∈R，a=2x+1”A．-∞,1 B．1,+∞ C．-【答案】C【解析】命题“∃x∈R，a=2其否定为：∀x∈R，a≠2x+1，而函数由“∃x∈R，a=2x+1”为假命题，得“∀x∈R，所以a的取值范围是-∞故选：C5．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（

）A．76 B．77 C．78 D．79【答案】B【解析】从左到右前2个小组的频率分别为0.1，0.2，第3个小组的频率为0.3，又0.1+0.2<0.5，0.1+0.2+0.3>0.5，故50%分位数在70,80内，70+0.5-0.3故选：B.6．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DnG0（D为常数），其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中G0=20，当n=10时，学习率为0.25；当A．31 B．32 C．33 D．34【答案】D【解析】因为衰减学习率模型为L=L所以根据已知条件可得：0.25=L0.065=L用②式除以①式可得：L0D32将D=0.25代入①式中可得：L0所以衰减学习率模型为L=0.5·0.25当学习率衰减到0.05以下时，即L=0.5·0.25化简上述不等式得：n20lg0.25<因为n为正数，所以最小值取34.故选：D.7．已知A0,1，B2,1，F1,0，动点P满足PA⋅PB=0，若PM=A．1 B．43 C．32 D【答案】B【解析】设M(x,y)，由PM=12PF，F(1,0)，得点M为又A(0,1)，B(2,1)，则PA=(1-2x,1-2y)，PB因此PA⋅PB=(1-2x)(3-2x)+(1-2y)(1-2y)=4点M在以N(1,12)设直线OM（O为原点）斜率为k，由图知当直线OM与圆N相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时OM:kx-y=0，则圆心N(1,12)到直线OM的距离等于半径12，即k-1所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为43故选：B8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC，且AD=2BC，E是棱PD的中点，设PC∩平面ABE=F，则PFPCA．512 B．12 C．23【答案】B【解析】选择PA,AB,PF=PA+AF，由已知F点在平面ABE内，即AF与AB，又由E是PD的中点，可得AE=PF=(1-PF与PC共线，即PF=λPC，可得：λ=1-12n故选：B二、多选题9．将函数f(x)=sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数A．g(x)的最小正周期为4B．g(x)的零点为kπ2C．g(x)图象的对称轴方程为x=kπD．g(x)的单调递减区间为[4kπ+【答案】BC【解析】f(x)=sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12再将所有的点向左平移π4个单位长度得到g(x)=对于A，g(x)的最小正周期T=2π2对于B，令g(x)=0，得2x=π2+kπ,k∈Z，解得x=π对于C，令2x=kπ,k∈Z，得x=kπ2,k∈对于D，令2x∈2kπ,π+2kπ,k∈Z，得x∈[k故选：BC10．如图，圆台OO1的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为9π，四边形ABCD为其轴截面，四边形OO1DA绕OO

A．圆台OO1B．圆台OO1C．BD．圆台OO1【答案】ACD【解析】对于A，设圆台的母线长为l，则圆台的侧面积S=πr+r'l=过点D作DE⊥AO于点E，则AE=AO-OE=2-1=1，在Rt△ADE中，DE=DA2-AE2对于B，圆台OO1的体积V=1对于C，过点D1作D1F⊥A1O于点在△BOF中，OB=2,OF=1,∠BOF=120∘，根据余弦定理，在Rt△BD1F中，BD对于D，设圆台OO1的外接球的球心为点P，则点P在直线OO若球心P在线段OO1上，即在圆台内，设P到圆台上底面距离为x，则到下底面距离为则有R2=12+所以R2=1若球心P在线段OO1外，即在圆台外，设P到圆台下底面距离为y，则到上底面距离为则有R2=22所以，圆台OO1的外接球的表面积为153π8故选：ACD.11．已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（

）A．若A⊆B，P(B)>0，则P(A)≤P(AB．若P(A)=0.6，P(B)=0.8，则P(AB)的最小值可能为0.38C．若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互独立，则AB≠∅D．若AB=∅，则P(A【答案】ACD【解析】对于A，因为A⊆B，所以PA∣B=PABP对于B，因为P(A)=0.6，P(B)=0.8，所以PA∪B由于PA≤PA∪B≤1PB≤PA∪B≤1对于C，若P(A)>0，P(B)>0，A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，则AB≠∅，故C正确；对于D，若AB=∅，则A⊆B，所以P(A∣B)=故选：ACD.三、填空题12．已知数列an中，a1=10，a10-a6=-8，若∀n∈N【答案】10【解析】若∀n∈N*，an+2则数列an为等差数列，设公差为d由a10-a6=-8所以an则an前10项的和为a故答案为：10.13．已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，O为原点，A【答案】53/【解析】取椭圆C的左焦点F1，连结A在△FAF1中，由OA=设FF1=2c，由AF由△F1AF为直角三角形，得4所以椭圆C的离心率是e=c故答案为：514．已知函数fx满足：①∀x∈R，f'x>0；②∀x,y∈R，fxf【答案】2【解析】由②及题设条件，得fln由①，知fx为增函数，得ln2x+2即ln2令gx=x+e又gx为增函数，所以ln2x2=1-x+故e1-k故答案为：2.四、解答题15．已知函数f(x)=e（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）证明：∀x≥1，f(x)≥x-ln（1）解：函数f(x)=ex-ex+1，求导得f所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=0.（2）证明：设g(x)=lnx+1-x,x≥1，求导得函数g(x)在[1,+∞)上单调递减，g(x)≤g(1)=0恒成立，即lnx+1-x≤0设h(x)=ex-x,x≥1，求导得h'(x)=则h(x)≥h(lnx+1)，则ex所以ex-e16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+tan（1）求A；（2）若△ABC的面积为1，a=2，求cosB解：（1）在△ABC中，由1+tanAtan即sinBcosA+由0<A<π，得sinC≠0,cos所以A=π（2）（2）由（1）求解知，S=12bc由正弦定理得2sinA=23又cosC+B∴cosC∴cosB17．某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答nn≥3次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为23，答对每个益智类题目的概率均为（1）记李明前两题累计获奖为X元，求X的分布列及数学期望；（2）记李明第i题回答正确的概率为Pi(i=1,2,⋯,n)证明：{P解：（1）依题意，随机变量X的可能取值为0,10,30，李明答对每个生活类题目的概率均为23，答对每个益智类题目的概率均为1当X=0时，两道生活类题目都答错，P(X=0)=(1-2当X=10时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对，即P(X=10)=2当X=30时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，P(X=30)=2所以随机变量X的分布列为：X01030P122所以EX（2）若李明第i道题目回答正确，则第i+1道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为13若李明第i道题目回答错误，则第i+1道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为23所以Pi+1则Pi+1-1因此数列{Pi-12}是首项为16Pi的通项公式是P18．在三棱锥P-BCD中，CB⊥CD，CD=2CB=2，PB与平面BCD所成的角为θ．（1）若θ=90°，∠BPC=30°，如图，过点B作平面BEF⊥PD，分别交PC，PD于点E，F．①求证：BE⊥平面PCD；②设BG=2GC，H为平面BEF内的动点，求（2）若θ=60°，PB=1，求二面角P-CD-B的取值范围．解：（1）（i）由PD⊥平面BEF，BE⊂平面BEF，得PD⊥BE，由θ=90°，得PB⊥平面BCD，而CD⊂平面BCD，则PB⊥CD，又CB⊥CD，CB∩PB=B，CB,PB⊂平面PBC，则CD⊥平面PBC，又BE⊂平面PBC，则CD⊥BE，而PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，所以BE⊥平面PCD；（ii）由CD=2CB=2，得CD=2,CB=1，BG=2GC，则过点C作CM//PB，以C为坐标原点，CB,CD,CM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由∠BPC=30°，得∠PCB=60°，PC=2BC=2,PB=3则G(13,0,0)，P(1,0,则平面BEF的一个法向量为DP=(1,-2,设C点关于平面BEF对称的