专题04 全等三角形（解析版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题四全等三角形（解析版）【专题导航】目录【考点一全等形】........................................1【考点二全等三角形的性质】.....................................4【考点三全等三角形性质的应用】.................................9【聚焦考点1】1：全等图形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。2：全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.3：全等三角形（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的对应元素(1)、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。(2)、对应元素的确定方法（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。（2）图形位置确定法①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角;（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。【典例剖析1】【典例1-1】将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．【解答】解：如图所示，（答案不唯一）【点评】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．【典例1-2】如图，有两个全等的六边形，指出它们的对应顶点，对应边与对应角，并说出图中标出的a，b，c，d，e，f，α，β，θ各字母所表示的值．【分析】根据全等多边形的对应边相等、对应角相等解答即可．【解答】解：∵两个六边形全等，∴a＝4.3，b＝2.4，c＝2，d＝6，e＝4，f＝5，α＝135°，β＝120°，θ＝90°，【点评】本题考查的是全等图形的性质，掌握全等多边形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．针对训练1【变式1-1】下列图形中的全等图形共有4对．【分析】要认真观察图形，从（1）开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是（2），看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．【解答】解：由全等形的概念可知：共有4对图形全等，即（1）与（10）、（5）与（9）、（4）与（8）、（2）与（12）能够重合．故填4【点评】本题考查的是全等形的识别，做题时一定要看是否重合，属于较容易的基础题．【变式1-2】我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′（1）其中，符合要求的条件是①②④．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）符合要求的条件是①②④，故答案为：①②④；（2）选④，证明：连接AC、A′C′，在△ABC与△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠BCD＝∠B′C′D′，∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，∴∠ACD＝∠A′C′D′，在△ACD和△A′C′D中，，∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，即∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【能力提升1】全等形【提升1-1】如图所示是一个4×4的正方形，求∠1+∠2+∠3+…+∠16的度数．【分析】由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是90°，再相加即可．【解答】解：根据全等三角形的性质可知，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余．∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4＝∠10＝∠14＝∠16＝45°，∴∠1+∠7＝90°、∠2+∠6＝90°、∠3+∠5＝90°、∠8+∠12＝90°、∠9+∠11＝90°、∠13+∠15＝90°、∠4＝∠10＝∠14＝∠16＝45°，∴∠1+∠2+∠3+…+∠16＝720°．【点评】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键．【提升1-2】你能把如图所示的（a）长方形分成2个全等图形？把如图所示的（b）能分成3个全等三角形吗？把如图所示的（c）分成4个全等三角形吗？【分析】根据长方形的性质以及全等图形的概念，作出一条对角线即可分成两个全等三角形；根据等边三角形的轴对称性，中心与三个顶点的连线将三角形分成三个全等三角形；先将长方形分成两个全等长方形，再分别作出一条对角线即可分成四个全等三角形．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查了全等图形的概念，长方形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握各图形的性质以及全等图形的概念是解题的关键．【聚焦考点2】全等三角形的性质（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。【典例剖析2】全等三角形的性质【典例2-1】已知，四边形ABCD，AC与BD交于点O，根据提示完成以下证明过程：∵△ACD≌△CAB（已知）∴∠1＝∠5（全等三角形的对应角相等）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠ABC+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ACD≌△CAB（已知），∴∠1＝∠5（全等三角形的对应角相等），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠ABC+∠BAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：∠5，全等三角形的对应角相等；AD，BC，内错角相等，两直线平行；∠BAC，两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【典例2-2】如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．（1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长．（2）求证：CE⊥AB．【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AD＝CD＝7，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答；（2）根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而可得∠B+∠BAD＝90°，然后利用全等三角形的性质可得∠BAD＝∠DCF，从而可得∠B+∠DCF＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠CEB＝90°，即可解答．【解答】（1）解：∵△ABD≌△CFD，∴AD＝CD＝7，∵BC＝10，∴BD＝BC﹣CD＝10﹣7＝3，∴BD的长为3；（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CFD，∴∠BAD＝∠DCF，∴∠B+∠DCF＝90°，∴∠CEB＝180°﹣（∠B+∠DCF）＝90°，∴CE⊥AB．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【典例2-3】如图，AB与CD相交于点E，连接AD、AC、BC，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，求∠B的度数．【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，根据三角形内角和定理求得∠AEC，进而根据三角形外角的性质求得∠D，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，∴．∵∠AEC是△ADE的一个外角，∴∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，∴∠B＝∠D＝48°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．针对训练2【变式2-1】如图所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一条直线上．（1）求证：AB∥CD．（2）若BC＝10，EF＝7，求BE的长度．【分析】（1）根据全等三角形的性质得∠B＝∠C，根据平行线的判定即可得AB∥CD；（2）根据全等三角形的性质得BE＝CF，根据线段之间的的关系得CE＝BF，可求出CE的长，即可得．【解答】（1）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C，∴AB∥CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，∴CE＝BF，∵BC＝10，EF＝7，∴，∴BE＝BC﹣CE＝10﹣1.5＝8.5．【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握这些知识点．【变式2-2】如图，点E在线段BC上，且△ABC≌△AED．求证：EA平分∠BED．【分析】只需推知∠AEB＝∠AED即可．【解答】证明：∵△ABC≌△AED，∴∠B＝∠AED，AB＝AE．∴∠B＝∠AEB，∴∠AED＝∠AEB，∴EA平分∠BED．【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型．【变式2-3】如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝44°，求∠AED的度数．【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∴∠BAE＝∠1＝44°，∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣44°）＝68°，∴∠AED＝∠B＝68°．【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．【能力提升2】全等三角形的性质【提升2-1】已知：△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠B＝32°（1）如图1当点D在AB上，∠ACD＝64°．（2）如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）【分析】（1）根据三角形的性质解答即可；（2）作DF⊥BC于F，作AG⊥EC交EC的延长线于F，根据三角形面积解答即可．【解答】（1）∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∵∠ACB＝90°，∠B＝32°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣32°＝58°，∴∠ADC＝58°，∴∠ACD＝180°﹣∠58°﹣58°＝64°，故答案为：64°；（2）S△BDG＝S△ACG．理由如下：作DF⊥BC于F，作AG⊥EC交EC的延长线于F，∴∠AGC＝∠DFC＝90°，∵△ABC≌△DEC，∴BC＝EC，AC＝DC，∵∠ACG+∠GCB＝90°，∠GCB+∠FCD＝90°，∴∠ACG＝∠DCF，在△ACG和△DCF中，，∴△ACG≌△DCG（AAS），∴AG＝DF，，，∵AG＝DF，BC＝EC，∴S△BDG＝S△ACG．【点评】本题考查了三角形全等，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．【提升2-2】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，∵∠ABC＝85°，∴∠DEB＝85°，∴∠AED＝95°，∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【提升2-3】如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P．若∠ABE＝160°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数．【分析】根据全等三角形的性质，由△ABC≌△DBE，得∠ABC＝∠DBE，那么∠ABD+∠DBC＝∠EBC+∠DBC，进而推断出∠ABD＝∠EBC．由∠ABE＝160°，∠DBC＝30°，从而解决此题．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE．∴∠ABD+∠DBC＝∠EBC+∠DBC．∴∠ABD＝∠EBC．∵∠ABE＝160°，∠DBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBC+∠EBC＝2∠CBE+∠DBC＝2∠CBE+30°＝160°．∴∠CBE＝65°．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．【聚焦考点3】方法技巧：判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．【典例剖析3】【典例3-1】如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求角F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：（1）∵∠A＝85°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，∵△ABC≌△DEF，AB＝8，∴∠F＝∠ACB＝35°，DE＝AB＝8，∵EH＝2，∴DH＝8﹣2＝6；（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠B，∴AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中．【典例3-2】如图，△BKC≌△BKE≌△DKC，BE与KD交于点G，KE与CD交于点P，BE与CD交于点A，∠BKC＝135°，∠E＝22°，求∠KPD的度数．【分析】根据全等三角形的性质得出∠DCK＝∠E＝22°，∠BKE＝∠CKD＝∠BKC＝135°，求出∠DKP，再求出∠EKC，再根据三角形外角性质求出答案即可．【解答】解：∵△BKC≌△BKE≌△DKC，∠BKC＝135°，∠E＝22°，∴∠DCK＝∠E＝22°，∠BKE＝∠CKD＝∠BKC＝135°，∴∠DKP＝∠BKC+∠CKD+∠BKE﹣360°＝45°，∴∠EKC＝∠DKC﹣∠DKE＝135°﹣45°＝90°，∴∠KPD＝∠DCK+∠EKC＝22°+90°＝112°．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和三角形外角性质，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【典例3-3】如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm．（1）求DE的长；（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．（3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，计算即可；（2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（3）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，∴DE＝BD﹣BE＝1cm；（2）DB与AC垂直，理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，又A、B、C在一条直线上，∴∠EBC＝90°，∴DB与AC垂直．（3）直线AD与直线CE垂直．理由：如图，延长CE交AD于F，∵△ABD≌△EBC，∴∠D＝∠C，∵Rt△ABD中，∠A+∠D＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∴∠AFC＝90°，即CE⊥AD．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．针对训练3【变式3-1】如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB的度数．【分析】根据△ABC≌△ADE、∠D＝25°，即可得出∠B＝∠D＝25°、∠EAD＝∠CAB，再根据∠EAB＝120°、∠CAD＝10°通过角的计算可得出∠FAB＝65°，由外角的性质即可得出∠DFB的度数，此题得解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝25°，∴∠B＝∠D＝25°，∠EAD＝∠CAB．∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠CAB＝（120°﹣10°）÷2＝55°，∴∠FAB＝∠CAB+∠CAD＝55°+10°＝65°．又∵∠DFB是△ABF的外角，∴∠DFB＝∠B+∠FAB，∴∠DFB＝25°+65°＝90°．【点评】本题考查了全等三角形的性质以及外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式3-2】如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD＝DC＝2.4，BC＝4.1．（1）若∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数；（2）求△DCP与△BPE的周长和．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可；（2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，即∠CBE的度数为66°；（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE＝AD+DC＝4.8，BE＝BC＝4.1，△DCP和△BPE的周长和＝DC+DP+CP+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝15.4．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式3-3】如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝．∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．【点评】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的