专题05 全等三角形的判定（一）（解析版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题五全等三角形的判定（一）【专题导航】目录【考点一全等三角形的判定：边边边】......................................1【考点二全等三角形的判定：边角边】......................................7【考点三全等三角形的判定：角边角、角角边】.............................12【聚焦考点1】全等三角形的判定1：边边边（SSS）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形：符号：在与中，证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.用尺规作一个角等于已知角:已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．【典例剖析1】【典例1-1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，AC=FDBC=ED∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．【典例1-2】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（用字母写出）．【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．【解答】解：①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点；②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点；③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME；得到的∠CMD就是所求的角；由以上作角过程不难看出有三个对应边相等．∴证明全等的方法是SSS．故答案为：SSS．【点评】本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．针对训练1【变式1-1】如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD；【答案】DB=CA【解析】图形中隐含条件AB=BA，找出第三边BD和AC即可；在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SSS）

【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．【变式1-2】如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：．【答案】证明见详解【分析】根据线段的和差求出，利用即可证明．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴．【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键【变式1-3】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．（1）求证：∠BAC＝∠EAD；（2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠1+∠2，见解析【分析】（1）根据SSS证△BAE≌△CAD，推出∠BAE=∠CAD即可；（2）根据全等三角形性质推出∠1=∠BAE，∠2=∠ABE，代入∠3=∠BAE+∠ABE求出即可．【详解】(1)证明：在△ABE和△ACD中,∵AB=AC，AD=AE，BE=CD∴△ABE≌△ACD(SSS),∴∠BAE=∠CAD.∴∠BAE+EAC=∠CAD+EAC.∴∠BAC=∠EAD.(2)∠3=∠1+∠2;理由如下：由图中知，∠3=∠ABE+∠BAE又由（1）中知△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠2

,

∠BAE=∠1∴∠3=∠1+∠2【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形外角的性质，注意：全等三角形的对应角相等．【能力提升1】全等形的判定：边边边【提升1-1】如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，直线BC与AD，DE分别交于点F，G，且∠DGB=65°，∠EAB=120°，则∠CAD的度数为___________．【答案】10°【分析】根据SSS得到△ADE≌△ABC，进而得到∠B=∠D，∠DAE=∠BAC，再结合对顶角相等，可得∠BAD=∠DGB=65°，最后再利用角的和差即可求解．【详解】解：∵AB=AD，AC=AE，BC=DE，∴△ADE≌△ABC，∴∠B=∠D，∠DAE=∠BAC，∵∠DFG与∠AFB是对顶角，∴∠DFG=∠AFB，∴∠BAD=∠DGB=65°，∴∠DAE+∠CAD=∠BAD=65°，∴∠CAD=∠BAD+∠CAE−∠EAB=10°，故答案为：10°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，对顶角的性质、角的和差计算等内容，识别出∠DFG与∠AFB这一组对顶角，得到∠BAD的度数是解题的关键．【提升1-2】莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？【答案】见解析【分析】利用SSS证明，即可得到，由此证得结论．【详解】证明：∵在和中，，∴，∴，即AP平分．【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【提升1-3】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2．【分析】由△ABD≌△ACE，可得∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，由∠3＝∠BAD+∠ABD，可得∠3＝∠1+∠2．【解答】证明：在△ABD和△ACE中，AB=ACAD=AEBD=CE，∴△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠1，∠∵∠3＝∠BAD+∠ABD，∴∠3＝∠1+∠2．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【聚焦考点2】全等三角形的判定2：边角边（SAS）文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．【典例剖析2】【典例2-1】如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则判定△ADC≌△ABE的根据是____．

【答案】SAS【解析】∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，即：∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AE＝AC，∴△ADC≌△ABE（SAS），故填：SAS．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型【典例2-2】（2021•洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中，AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，∴△ADE≌△ADC（∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．针对训练2【变式2-1】如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（）A．△ABC与△ABD不全等B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断；【详解】由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．【变式2-2】如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证△ADB≌△AEC；（2）DB⊥EC．【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE=90°，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，,∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）由（1）知，△ADB≌△AEC，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，∴∠CBD＋∠BCE＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴DB⊥EC．【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理边角边是解题的关键.【能力提升2】【提升2-1】如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP﹣ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，AE=AB��CAP=��BADAP=AP，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒【提升2-2】如图，在中，是的中点，点在上，则图中全等三角形共有_____对．【答案】【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理SSS证得△ABD≌△ACD；根据SAS证得△ABE≌△ACE；根据SSS证得△BDE≌△CDE；因为D是BC的中点，所以BD=DC，又因为AB=AC，AD=AD，所以可根据SSS判定△ABD≌△ACD．【详解】解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；∵D是BC的中点，∴BD=DC，AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）；∵AB=AC，点D为BC的中点，∴AE为∠BAC的平分线，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，∴△ABE≌△ACE；∵△ABE≌△ACE，∴BE=CE，在△BDE和△CDE中，∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，∴△BDE≌△CDE．综上，共有3对全等三角形，故答案为：3．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．【提升2-3】某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．【分析】根据中点定义求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】解：∵O是AB、CD的中点，∴OA＝OB，OC＝OD，在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOD=∠BOCOC=OD，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴CB＝∵AD＝35cm，∴CB＝35（cm），答：CB的长度为35cm．【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．【聚焦考点3】全等三角形的判定3：角边角（ASA）文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，全等三角形的判定4：角角边（AAS）文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．2.全等三角形对应边上的高也相等.【典例剖析3】【典例3-1】如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，且添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF【分析】先证明∠A＝∠D，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，A、∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，∴△ABC≌△DEF能判断△ABC≌△DEF，故不符合题意；B、∠C＝∠F，利用AAS可以判断△ABC≌△DEF，故不选项符合题意；C、BC＝EF，不能判断△ABC≌△DEF，故符合题意；D、∠ABC＝∠D，能判断△ABC≌△DEF，故不符合题意，故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS、HL判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．【典例3-2】如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠F，再利用AAS即可证明△ACB≌△DFE．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ACB与△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（AAS）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．【典例3-3】已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．【分析】由△ABC≌△DCE，得到AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，因此AB∥CD，推出∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，即可证明△ABF≌△CDF（ASA）．【解答】解：还有△ABF≌△CDF，理由如下：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，在△ABF和△CDF中，∴△ABF≌△CDF（ASA）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由△ABC≌△DCE，推出AB∥CD，得到∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF．针对训练3【变式3-1】如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据AAS证明三角形全等即可．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-2】如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB，过点D作∠D＝∠ACE，与CE交于点E，求证：△ABC≌△DCE．【分析】根据CE∥AB可得∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，由SAS定理可得结论．【解答】证明：∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，∵∠D＝∠ACE，∴∠A＝∠D，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（ASA）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质定理，熟记定理是解答此题的关键．【变式3-3】如图，已知△ABC和△EDC，点D在AB边上，若CD＝CB，ED＝AB，∠EDB＝2∠CDB．求证：△ABC≌△EDC．​【分析】由∠EDB＝∠EDC+∠CDB＝2∠CDB，得到∠EDC＝∠CDB，由CD＝CB，推出∠CDB＝∠B，得到∠EDC＝∠B，而ED＝AB，由“SAS”即可证明△ABC≌△EDC．【解答】证明：∵∠EDB＝2∠CDB，∠EDB＝∠EDC+∠CDB，∴∠EDC＝∠CDB，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠B，∴∠EDC＝∠B，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．【能力提升3】【提升3-1】．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP