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2021年中科大强基计划数学试题1．已知正实数，二次函数，若任意长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1，则的最小值为________．2．已知正实数满足，则的最小值为________．3．已知正实数，，满足，则的取值范围为________．4．抛物线上有，两点，，则中点的轨迹方程为________．5．抛掷一个均匀的骰子次，记该过程中出现的最大数字为，则________．6．有边长为1的正，在边上，在边上，，沿折起，求四棱锥体积的最大值．7．已知的整数部分，证明：．8．已知，求的最小值．9.，，为实系数多项式，且两两互素，，证明：或2．答案：（1）4（2）25（3）（4）（5）（6）（7）易证（8）2021年中国科学技术大学强基计划数学试题（广东）一、填空题1．求________．2．设抛物线与相切，则________．3．写出一个函数________，使得对于任意的恒成立．4．设空间区域中存在四个点两两距离都是，则的是大值为________．5．设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球彺甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为________．二、解答题6．求函数的取值范围．7．设，，是正整数，是素数，且整除，证明：整除．8．设数列满足，且对任意正整数，均有．求的通项公式．9.设是次实系数多项式，其中，．证明：若的个根都是实数，则的个根

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