2017-2018学年高中数学苏教版选修2-1讲义第二章2．4抛物线

第1课时抛物线的标准方程平面直角坐标系内，有以下点和直线A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝12x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－12x.问题3：到定点C和定直线l3或到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢？提示：x2＝12y，x2＝－12y.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y2＝2px(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)向右y2＝－2px(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)向左x2＝2py(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)向上x2＝－2py(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)向下1．平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线．定点F不在定直线l上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的垂线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．[例1]已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．[思路点拨]由题意y＝ax2，(a≠0)，可化为x2＝eq\f(1,a)y，再依据抛物线的标准方程得焦点和准线方程．[精解详析]将抛物线方程化为标准方程x2＝eq\f(1,a)y(a≠0)，显然抛物线焦点在y轴上，(1)当a>0时，p＝eq\f(1,2a)，∴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，准线方程y＝－eq\f(1,4a).(2)当a<0时，p＝eq\f(1,2a)，∴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，准线方程y＝－eq\f(1,4a)，综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，准线方程是y＝－eq\f(1,4a).[一点通]根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线．1．(北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－1.答案：2x＝－12．已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．(1)x2＝4y；(2)2y2＋5x＝0.解：(1)由抛物线标准方程知抛物线焦点在y轴正半轴上，开口向上．∵p＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－eq\f(5,2)x，∴2p＝eq\f(5,2)，p＝eq\f(5,4)，开口向左．∴焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,8)，0))，准线方程为x＝eq\f(5,8).[例2]根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)已知抛物线的准线方程为x＝－3；(2)已知抛物线的焦点坐标是(eq\f(5,2)，0)．[思路点拨]根据题目中给出的焦点或准线，可以确定抛物线的开口方向，然后设出抛物线的标准方程．[精解详析](1)设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－eq\f(p,2)，则－eq\f(p,2)＝－3，∴p＝6.∴抛物线标准方程为y2＝12x.(2)设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)，∴p＝5.∴抛物线标准方程为y2＝10x.[一点通]待定系数法求抛物线标准方程的步骤：(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位)(3)利用题中所给数据确定p.(定量)3．以双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为____________________．解析：双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.答案：y2＝16x4．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq\f(1,6)；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq\f(9,2).∴所求抛物线的标准方程为y2＝－eq\f(1,3)x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.[例3]探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置．[思路点拨]建立直角坐标系，设出标准方程为y2＝2px(p>0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出p.[精解详析]如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)．由已知条件可知点A(40,30)，代入方程，得p＝eq\f(45,4).∴所求抛物线的标准方程是y2＝eq\f(45,2)x，焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,8)，0)).[一点通]将实际问题转化为数学问题，需要建立适当的直角坐标系，再根据条件确定抛物线的标准方程的类型．这里，直角坐标系的建立非常重要，同学们要认真观察实物的形状，根据实物形状“适当”建立．5．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．解：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程y2＝2px(p>0)，可知其准线为x＝－eq\f(p,2)，即eq\f(p,2)＋9＝10，则p＝2，所以抛物线为y2＝4x，当x＝9时，y2＝36，得y＝±6，所以点M的坐标为(9,6)或(9，－6)．6．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.7．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(a,4)))，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))，∴m＝－a.即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－eq\f(0.82,a).欲使卡车通过隧道，应有y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))>3，即eq\f(a,4)－eq\f(0.82,a)>3.∵a>0，∴a>12.21.∴a应取13.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．课时达标训练（十一）1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是________．解析：由抛物线方程x2＝8y知，抛物线焦点在y轴上，由2p＝8，得eq\f(p,2)＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上的点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x轴上，且过p(－3，m)，可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由抛物线的定义可知，3＋eq\f(p,2)＝5.∴p＝4.∴抛物线方程为y2＝－8x.答案：y2＝－8x3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为________．解析：椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点为(2,0)，由eq\f(p,2)＝2，得p＝4.答案：44．抛物线x2＝－ay的准线方程是y＝2，则实数a的值是________．解析：由条件知，a＞0，且eq\f(a,4)＝2，∴a＝8.答案：85．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．解析：y2＝4x的焦点为(1,0)，则c＝1，eq\f(c,a)＝2，∴a＝eq\f(1,2)，即m＝a2＝eq\f(1,4)，n＝c2－a2＝eq\f(3,4)，∴mn＝eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16).答案：eq\f(3,16)6．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.解：(1)双曲线方程化为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，且eq\f(－p,2)＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义，得5＝AF＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(p,2))).又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.7．设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．解：当m＞0时，由2p＝m，得eq\f(p,2)＝eq\f(m,4)，这时抛物线的准线方程是x＝－eq\f(m,4).∵抛物线的准线与直线x＝1的距离为3，∴1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝3，解得m＝8，这时抛物线的方程是y2＝8x.当m＜0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))－1＝3，解得m＝－16.这时抛物线的方程是y2＝－16x.综上，所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.8．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2m时，水宽4m，若水面下降1m，求水的宽度．解：如图建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py，∵水面离拱顶2m时，水面宽4m，∴点(2，－2)在抛物线上，∴4＝4p，∴p＝1.∴x2＝－2y，∵水面下降1m，即y＝－3，而y＝－3时，x＝±eq\r(6)，∴水面宽为2eq\r(6)m.即若水面下降1m，水面的宽度为2eq\r(6)m.第2课时抛物线的几何性质太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？提示：没有．问题3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点．抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图像性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点原点开口方向向右向左向上向下抛物线的性质特点：(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线．(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为eq\f(p,2).[例1]求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线是y＝－4；(2)顶点在原点，通过点(eq\r(3)，－6)，且以坐标轴为轴．[思路点拨]可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利用待定系数法求出标准方程．[精解详析](1)顶点在原点，准线是y＝－4的抛物线的标准方程可设为x2＝2py(p>0)．因为准线是y＝－4，所以p＝8.因此，所求抛物线的标准方程是x2＝16y.(2)若x轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为y2＝2px，因为点(eq\r(3)，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p·eq\r(3)，解得2p＝12eq\r(3)，故所求抛物线的标准方程为y2＝12eq\r(3)x.若y轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为x2＝－eq\f(1,2)y.[一点通]利用待定系数法求抛物线的标准方程，往往与抛物线的几何性质相联系，这就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等．1．已知双曲线方程是eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解：∵双曲线eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点坐标是(2eq\r(2)，0)，∴eq\f(p,2)＝2eq\r(2)，且抛物线的焦点在x轴的正半轴上．∴所求抛物线的标准方程为y2＝8eq\r(2)x，准线方程为x＝－2eq\r(2).2．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解：椭圆的方程可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.[例2]已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为4，求此抛物线的标准方程．[思路点拨]设出抛物线的方程，表示出△AOB的面积，利用面积列方程求解．[精解详析]由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点F(eq\f(m,2)，0)，直线l：x＝eq\f(m,2)，∴A、B两点坐标为(eq\f(m,2)，m)、(eq\f(m,2)，－m)．∴AB＝2|m|.∵△AOB的面积为4，∴eq\f(1,2)·|eq\f(m,2)|·2|m|＝4，∴m＝±2eq\r(2)，∴抛物线方程为y2＝±4eq\r(2)x.[一点通]抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件．例2的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而通过面积求出m.3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．解析：据题意知，△FPM为等边三角形，PF＝PM＝FM，∴PM⊥抛物线的准线．设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,4)，m))，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋eq\f(m2,4)，又由F(1,0)，PM＝FM，得1＋eq\f(m2,4)＝eq\r(1＋12＋m2)，得m＝2eq\r(3)，∴等边三角形的边长为4，其面积为4eq\r(3).答案：4eq\r(3)4．(江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析：由x2＝2py(p>0)得焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线l为y＝－eq\f(p,2)，所以可求得抛物线的准线与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1的交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(12＋p2),2)，－\f(p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋p2),2)，－\f(p,2)))，所以AB＝eq\r(12＋p2)，则AF＝AB＝eq\r(12＋p2)，所以eq\f(p,AF)＝sineq\f(π,3)，即eq\f(p,\r(12＋p2))＝eq\f(\r(3),2)，解得p＝6.答案：65．已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若OA＝OB，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．解：∵△ABO是等腰三角形，A、B关于x轴对称，∴AB垂直于x轴．设直线AB方程为x＝a，则y2＝2pa.∴可设A(a，eq\r(2pa))，B(a，－eq\r(2pa))．而焦点F为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))∴kFA＝eq\f(\r(2pa),a－\f(p,2))，kOB＝eq\f(－\r(2pa),a).∵kFA·kOB＝－1，∴eq\f(\r(2pa)·－\r(2pa),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(p,2)))a)＝－1.∴a＝eq\f(5,2)p.∴AB的方程为x＝eq\f(5,2)p.[例3]求抛物线y2＝4x上到焦点F的距离与到点A(3,2)的距离之和最小的点的坐标，并求出这个最小值．[思路点拨]可以设抛物线上的点为P，要求PA＋PF的最小值，可利用抛物线定义，把PF转化为P到准线的距离求解．[精解详析]设P′是抛物线y2＝4x上的任意一点，如图，过P′作抛物线的准线l的垂线，垂足为D，连结P′F，由抛物线定义可知P′F＝P′D.∴P′A＋P′F＝P′A＋P′D.过A作准线l的垂线，交抛物线于P，垂足为Q，显然，直线段AQ的长小于折线段AP′D的长，因而P点即为所求的AQ与抛物线的交点．∵直线AQ平行于x轴，且过A(3,2)，∴直线AQ的方程为y＝2.代入y2＝4x，得x＝1.∴P(1,2)与F、A的距离之和最小，最小距离为4.[一点通]与抛物线有关的最值问题，常利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，利用几何法求解；另外，也可以根据条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧．6．已知抛物线y2＝2x的焦点F，点P是抛物线上的动点，求点P到点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))的距离与点P到直线x＝－eq\f(1,2)的距离d之和的最小值．解：由于直线x＝－eq\f(1,2)即抛物线的准线，故PB＋d＝PB＋PF≥BF.当且仅当B、P、F共线时取等号，而BF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))2＋12)＝eq\r(2)，∴PB＋d的最小值为eq\r(2).7．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴点A的坐标为(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直线与抛物线相交于A，B两点，则k≠0，设其两根为x1，x2，∴x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2).由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq\f(4,k2)>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.1．涉及抛物线的焦点弦问题时，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条直线与抛物线的两个交点，则①AB＝x1＋x2＋p，②x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.课时达标训练（十二）1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．解析：这里p＝4，焦点(2,0)，准线x＝－2，∴焦点到准线的距离是4.答案：42．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．解析：抛物线y2＝2x的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(1,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AF＋BF＝x1＋eq\f(1,2)＋x2＋eq\f(1,2)＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.答案：23．过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有________条．解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，再与y2＝4x联立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k≠0时，由Δ＝0可得k值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．答案：34．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________．解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(eq\f(p,2)，0)，将x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，故p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为eq\f(1,2)×6×12＝36.答案：365．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM∶MN＝________.即FM∶MN＝1∶eq\r(5).答案：1∶eq\r(5)6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解：法一：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F(eq\f(p,2)，0)，由题设可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋3－\f(p,2)2)＝5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2eq\r(6).法二：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq\f(p,2)，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线方程的距离，则3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4.因此抛物线方程为y2＝8x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).7．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x