2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（17）双曲线方程及其性质（新高考地区专用）（含答案或解析）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（17）双曲线方程及其性质一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．或2．双曲线的渐近线方程为，则（）A. B.2 C. D.3．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（）A．2 B．4 C．6 D．84．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（）A．椭圆 B．椭圆和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支5．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（）A. B. C. D.6．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（）A． B． C． D．8．设双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点为，已知为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．双曲线的焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（）A.该双曲线的离心率为 B.该双曲线的渐近线方程为C.点到两渐近线的距离的乘积为 D.若，则的面积为3210．已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（）A.双曲线的焦点到渐近线的距离为4B.若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大C.为定值D.存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点11．已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点两点，和的内心分别为，则（）A.始终垂直于轴 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设F为双曲线C：的左焦点，，分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足，则双曲线C的焦距为_______.13.设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则.14.已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为__________.2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（17）双曲线方程及其性质一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．或【答案】B【解析】若方程表示双曲线，则，得.故选：B2．双曲线的渐近线方程为，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】因为双曲线方程为，所以,所以渐近线方程为,即得，所以.故选：D.3．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，所以，故，由于，所以，故选：A4．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（）A．椭圆 B．椭圆和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支【答案】D【解析】圆，，圆心，，圆，，圆心，，设，因为圆同时与圆及相外切，所以，即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.故选：D5．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接，因为为正三角形，，所以为的中点，所以，故，易知，所以，由双曲线的定义知，即，得.故选：D.6．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设双曲线方程为，，则，两式相减得，所以，为线段中点，则，，又，所以，即，而是焦点，所以，，则，经验证双曲线符合题意，所以双曲线方程为，故选：B．7．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，因为轴，所以令，可得，解得：，设，直线的斜率为：，所以直线的方程为：，令可得，所以，直线的斜率为：所以直线的方程为：，令可得，所以，由可得，解得：,所以，解得：，即所以的渐近线方程为，故选：C.8．设双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点为，已知为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因双曲线C:x2a2−由双曲线的对称性不妨设，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.，两边平方得，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．双曲线的焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（）A.该双曲线的离心率为 B.该双曲线的渐近线方程为C.点到两渐近线的距离的乘积为 D.若，则的面积为32【答案】AC【解析】由双曲线方程得，，，双曲线的离心率为，渐近线方程为，A正确，B错误；设，则，即，渐近线方程为，点到两渐近线的距离乘积为，C正确；由双曲线的定义知，，又，则，所以，所以的面积为，D错误.故选：AC10．已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（）A.双曲线的焦点到渐近线的距离为4B.若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大C.为定值D.存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点【答案】AC【解析】对于A，因为双曲线一个焦点，渐近线方程化为，焦点到渐近线的距离为，故正确；对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则，所以新离心率，即离心率变小，故B错误；对于选项C，，，又点在双曲线上，，，（定值），故C正确；对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误；故选：AC11．已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点两点，和的内心分别为，则（）A.始终垂直于轴 B.C. D.【答案】ABC【解析】由双曲线的离心率为2，得半焦距，对于A，记的内切圆在边上的切点分别为，则，，令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为，同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，故A正确；对于B，由分别平分，得，所以，故B正确；对于C、D，设直线的倾斜角为，则（为坐标原点），在中，，双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和，由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交，因此，即，所以，则，故C正确，D错误．故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设F为双曲线C：的左焦点，，分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足，则双曲线C的焦距为_______.【答案】8【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为2，可得，且满足.又，∴，∴，故，∴，∴焦距为.故答案为：.13.设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则.【答案】2【解析】不妨取点在第一象限，如下图所示：根据双曲线定义可得，且；由离心率为可得，可得，即；设，则；由的面积为可得，解得；利用余弦定理可得，即，整理可得，即，所以，解得.故