26届高三备考核心微专题等差等比数列中的七大应用

46.等差，等比数列的七大应用一．基本原理（一）等差数列及其应用1.等差数列及其前n项和（1）等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，即对于数列，若(与无关的数或字母)，，，则此数列是等差数列，为公差.（2）等差数列的通项公式：或.有几种方法可以计算公差：①；②；③.（3）等差中项：数列、、成等差数列的充要条件是，其中叫做、的等差中项.即有、、成等差数列恒成立.（4）等差数列前项和（4.1）等差数列的前项和公式1：.（4.2）等差数列的前项和公式2：.3.证明为等差数列的方法：（3.1）定义法：(为常数，)为等差数列；用定义证明等差数列时，常采用的两个式子和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义.（3.2）中项法：为等差数列；（3.3）通项法：为的一次函数为等差数列；（3.4）前项和法：或.4.等差数列的性质（4.1）在等差数列中，若，则().注意：但通常由推不出，因为有常数列的存在.（4.2）在等差数列中，、、、、…仍为等差数列，公差为.（4.3）若为等差数列，则、、、…仍为等差数列，公差为.（4.4）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值.时为递减数列，且当时前项和有最大值.（4.5）等差数列的首项是，公差为.若其前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件.（4.6）公差为的等差数列的前项和为，则数列必是首项为，公差为的等差数列.（4.7）若两个等差数列、相加组成一个新数列，则必为等差数列，公差为数列、的公差之和.（4.8）若两个等差数列、的前项和分别为和，则.5.对等差数列前项和的最值问题有三种方法：（5.1）利用：①当，，前项和有最大值，可由且，求得的值；②当，，前项和有最小值，可由且，求得的值.注意：求的最值时，当时取两个值.（5.2）利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值.（二）等比数列及其应用1、等比数列及其前n项和：（1.1）一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，，).注：从第二项起与前一项之比为常数：成等比数列(，).（1.2）等比数列的通项公式：()或()；（1.3）等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式()，它的图像是分布在曲线()上的一些孤立的点.当，时，等比数列是递增数列；

当，时，等比数列是递增数列；当，时，等比数列是递减数列；当，时，等比数列是递减数列；当时，等比数列是摆动数列；

当时，等比数列是常数列.（1.4）当时，①或②；当时，.证明：设等比数列、、、…，它的前项和是，由得，∴；∴当时，，当时，；2.等比数列的判定与证明方法（2.1）定义法：若(，)或(，，)，则是等比数列.（2.2）等比中项法：若数列中，且()，则是等比数列.（2.3）通项公式法：若数列通项公式可写成(，，)，则是等比数列.（2.4）前n项和法3.等比数列的性质（3.1）等比中项：如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，那么称这个数为与的等比中项.即(、同号).如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，则；反之，若，则，即、、成等比数列，∴、、成等比数列b().等比中项的性质：①()；()；（3.2）若，则.注意：但通常由推不出，因为有非零常数列的存在.（3.3）数列首项是，公比为，数列首项为，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列，同理数列是首项为，公比为的等比数列.（3.4）在公比为的等比数列中，数列、、、…仍是等比数列.（3.5）公比为；数列、、、…仍是等比数列(此时).二．典例分析★应用1.考察等差数列的基本量例1．记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．解析：由题知，，解得，∴，故选A．例2．记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．15解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.★应用2.考察等差数列的性质例3．已知为等差数列，为的前项和．若，则当取最大值时，的值为（

）A． B．4 C． D．解析：因为，所以，又，所以，所以，则.故选:C.例4．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A． B． C． D．解析：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B例5．已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（

）A．9 B．10 C．17 D．18解析：因为，所以异号，因为，所以，又有，所以，即，因为，，所以的最大整数n为17.故选：C例6．已知是等差数列的前n项和，若，，则＝__________解析：由等差数列前项和的性质得：，，成等差数列，所以，得，解得.故答案为：★应用3.考察等差数列前n项和的最值例7．记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．解析：（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）方法1：:由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．方法2：由（1）可得，，，:又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．★应用4.等差数列综合应用例8．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（

）A． B．4 C．3 D．2解析：各项为正的数列，，时，，即，化为：，，，又，解得，数列是等差数列，首项为1，公差为2．，，，当且仅当时取等号，的最小值为2．故选：D．例9．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．（1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．解析：（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或（舍去），当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，.★应用5.等比数列基本量及计算例10．已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3解析：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.例11.设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．30 D．32解析：设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.例12.设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40解析：由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.例13．（2023年新高考2卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．解析：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．★应用6.等比数列性质及应用例14．若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A． B．1011C． D．1012解析：因为等比数列中的，是方程的两个根，所以，根据等比数列性质知，，因为，于是，则==.故A，B，D错误.故选：C.例15．（2023年新高考2卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．解析：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．例16.已知等比数列的前项和为，则实数的值是（

）A． B．3 C． D．1解析：等比数列的前项和为，当时，可得，可得，当时，，则所以因为为等比数列，所以，即解得，经检验符合题意.故选：C．★应用7.等比数列的综合应用例17．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．解析：因为，由递推知，，所以，则，有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以则，所以.故选：C.例18．（多选题）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（

）A．数列是等比数列B．数列是等差数列C．数列的通项公式为D．解析：因为，所以，，即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；所以，即，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：AC.例19．（多选题）已知数列满足为数列的前项和，则（

）A．是等比数列B．是等比数列C．D．中存在不相等的三项构成等差数列解析：数列中，，，则，，因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；因，，则数列不是等比数列，A不正确；，C正确；假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，则有，而，即，又，因此，