《高等数学》上册课件10-05逆矩阵

逆矩阵第十章行列式与矩阵基础教学部逆矩阵的概念01逆矩阵的性质02目录逆矩阵的求法03用逆矩阵解线性方程组043在n

元线性方程组(5-1)中，若令10.5.1逆矩阵的概念10.5.1逆矩阵的概念4则方程组（5-1）可用矩阵形式表示为AX=b（5-2）

A叫做方程组（5-1）的系数矩阵，X

叫做未知量矩阵，b

叫做常数项矩阵，式（5-2）叫做矩阵方程.方程组（5-1）中的系数与常数组成的矩阵叫做增广矩阵，记为10.5.1逆矩阵的概念5定义1对于一个n

阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B

使AB=BA=E，则称方阵A是可逆的，并把方阵B

叫做方阵A的逆矩阵，记作A-1

.可见AA-1=A-1A=E

（5-2）例1

设矩阵验证：B=A-1.证因为显然AB=BA=E，即B=A-1.目录逆矩阵的概念01逆矩阵的性质02逆矩阵的求法03用逆矩阵解线性方程组0410.5.2逆矩阵的性质7性质1如果矩阵可逆，则它的逆矩阵是唯一的.证设B、C

均为A

的逆矩阵，即则故A

的逆矩阵是唯一的.10.5.2逆矩阵的性质8性质2设A

可逆，则A-1也可逆，且(A-1)

-1=A.性质3设A

可逆，则AT

也可逆，且(AT)

-1=A(A-1)T.证因为A

可逆，则有AA-1=A-1A=E

所以

(AA-1)T=

(A-1A)T=ET=E即

(A-1)TAT=

AT(A-1)T=E故AT

可逆，且(AT)

-1=A(A-1)T.10.5.2逆矩阵的性质9性质4设A、B都是可逆方阵，则AB也可逆，且(AB)

-1=B-1A-1.证

因为A、B都是可逆方阵，

则有AA-1=A-1A=E，

BB-1=

B-1B=E.因为

(AB)(AB)-1=ABB-1A-1=AEA-1=AA-1=E所以

AB也可逆，且(AB)

-1=B-1A-1.目录逆矩阵的概念01逆矩阵的性质02逆矩阵的求法03用逆矩阵解线性方程组0410.5.3逆矩阵的求法11定义2

n阶矩阵A=(aij)m×n

的n阶子式叫做A的行列式，记作|A|

.

如矩阵的行列式为对于n阶方阵A与B，有|AB|=|A||B|

.10.5.3逆矩阵的求法12定义3

若n阶方阵A的行列式|A|≠0，则称A为非奇异矩阵（或满秩矩阵），否则称A为奇异矩阵（或降秩矩阵）.定义4

设Aij

是方阵A的行列式|A|中元素aij

的代数余子式，则方阵叫做A的伴随矩阵，记作A*

.10.5.3逆矩阵的求法13例2求三阶矩阵的伴随矩阵A*

.解因为10.5.3逆矩阵的求法14所以10.5.3逆矩阵的求法15定理n阶方阵

A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，并且证必要性设A为可逆矩阵，即有A-1，使故A为非奇异矩阵.10.5.3逆矩阵的求法16充分性设A为非奇异矩阵，即有|A|≠0，故存在矩阵使得10.5.3逆矩阵的求法17充分性设A为非奇异矩阵，即有|A|≠0，故存在矩阵同理可证BA=E

.由此可知A可逆，且10.5.3逆矩阵的求法18例3求的逆矩阵A-1

.解因为A

的行列式|A|中各元素的代数余子式为而10.5.3逆矩阵的求法19并且所以10.5.3逆矩阵的求法20例4解矩阵方程AX=B

，其中解因为所以A

的逆矩阵A-1

存在，对方程两边左乘A-1，得即10.5.3逆矩阵的求法21因为故得故10.5.3逆矩阵的求法22利用矩阵的初等变换求逆矩阵根据

n阶方阵A=(aij)n×n作

n×2n矩阵（AE）（5-4）即在矩阵A的右侧加上与他同阶的单位矩阵E，然后对矩阵（AE）作初等行变换，把左半侧的A化成E，右半侧就是A的逆矩阵A-1，即10.5.3逆矩阵的求法23例5用初等行变换求矩阵的逆矩阵A-1.解

因为10.5.3逆矩阵的求法24所以目录逆矩阵的概念01逆矩阵的性质02逆矩阵的求法03用逆矩阵解线性方程组0410.5.4用逆矩阵解线性方程组26对于矩阵方程AX=B，如果矩阵A是可逆的，用A的逆矩阵A-1左乘方程