2025届四川省成都市高三第三次诊断性检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市2025届高三第三次诊断性检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以，故选：D2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数对应的点位于（）.A.第一象限. B.第二象限. C.第三象限. D.第四象限.【答案】C【解析】复数对应的点坐标为，因此可表示为：所以，对应的点坐标为，位于第三象限.故选：.3.设,则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,,此时;当时,,此时或；所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C D.【答案】D【解析】根据题意，函数定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，又时，，所以，且恒成立，则，所以只有D满足.故选：D5.已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q，由题意得：，，其中，所以，由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设，则，解得：，故动圆圆心C的轨迹方程为.故选：A6.已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（）A.108 B.112 C.120 D.124【答案】B【解析】取正四棱台过侧棱的轴截面，上、下底面中心分别为，如下图所示：依题意可得，因此可得，所以其体积为.故选：B7.已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】两边取对得，则且，即同号或，所以，当时，不成立，A错；由，B对；由，若时，，C错；由，且，当时，，此时，D错.故选：B8.在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】，则，设，则，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，因，两式相比，可得，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，化简得，所以或（舍去），又，所以，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（）A.，B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】因为（单位：小时）服从正态分布，，根据正态分布知识，，，A正确；若，则，得，B错误；，根据原则，可得，C正确；，，由对称性可知，所以，D正确.故选：ACD10.对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（）A.若，，，则，，线性相关B.若，，，则，，线性无关C.若，，线性无关，则，，线性相关D.对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关【答案】AB【解析】若，，，根据题意，设，即，所以，解得，取，所以，A正确；若，，，根据题意，设，即，所以，解得，所以，，线性无关，B正确；假设，，线性相关，则存在不全为零的实数使得，则，因为，，线性无关，则，得，与假设矛盾，C错误；对于非零向量，，，若存在实数，使得，即，所以，但不能确定，，是否线性相关，D错误.故选：AB11.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音一般都是纯音合成的复合音.已知纯音的数学模型是函数.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.即我们听到的声音的函数是.则（）A.的图象关于对称 B.在上有2个极大值点，1个极小值点C. D.在上恒成立【答案】ABD【解析】，所以对任意有，所以的图象关于对称，所以A正确；，令，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以在和处有极大值，在出有极小值，所以B在正确；，叠加项可正可负，故的范围比范围大，所以C错误；当为奇数时，，当为偶数时，在先正后负，但振幅逐渐减小，所有项叠加后，正项占主导地位，所以函数值始终为正，由周期性，结论推广到，所以D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的离心率为_________．【答案】2【解析】13.若函数值域为，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，，当且仅当时，等号成立，所以，函数在上的值域为的子集，当时，，则，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，即函数在上的值域为，由题意可得，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.14.如图，一电路中，为未闭合的开关，为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则最先亮起的概率为__________.【答案】【解析】先考虑最先亮起的概率，则中至少有一个开关闭合在亮起之后，中也至少有一个开口闭合亮起之后，下面分三种情况讨论，情况1：都闭合在亮起之后，这种情况相当于全排列，依次闭合，再将剩余的四个开关全排列之后依次闭合，可能的情况有种；情况2：和中都恰好有1个开关闭合在亮起之后，这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第5位，其余两个排在前四位，前四位剩下的两个空位分别在和中各选一个进行排列，剩下的两个排在末两位，可能的情况有种，情况3：中恰好有三个开关闭合在亮起之后，这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第四位，其余两个排在前三位，剩下四个开关全排列，可能的情况有种，7个开关依次全部闭合共有种情况，故最先亮起的概率为，而和的情况是一样的，故两者最先亮起的概率相等，所以最先亮起的概率为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，年末全国常住人口城镇化率增长至.下图为年年末常住人口城镇化率的折线图.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程；（2）从这年中任取年，记常住人口城镇化率超过的年数为，求的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，.解：（1）设年份代码的平均数为，则.设常住人口城镇化率的平均数为，则.因为，，所以.所以.所以关于的回归方程为.（2）由图可知，第、、年常住人口城镇化率超过，由题意可知，的取值可能为、、，因为；；.所以的分布列为：所以的数学期望为.16.已知正项数列前项的和为，且.（1）求，；（2）证明：是等差数列；（3）求数列的前项的和.（1）解：由，令，有，因为，所以.令，有，即，由，解得.所以，.（2）证明：当时，由，代入，化简得，即，所以是首项为1，公差为1的等差数列.（3）解：由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而.由，所以.所以数列的前项的和.17.如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得.（1）证明：平面平面；（2）线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，，依题意，，则，由，得，而，，是梯形的中位线，于是，，而平面，，则平面，而平面，于是，又平面，且和一定相交，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：依题意，，则，即，由（1）知平面，平面，则，由平面，，得平面，过作平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：则，，令，则，由平面，得平面的法向量，设直线与平面所成角为，则，解得，所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，为的导函数.（i）求实数取值范围；（ii）记较小的一个零点为，证明：.（1）解：函数的定义域为，，①当时，，函数在单调递减；②当时，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.综上所述，当时，函数在单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增.（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点；若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.因为当时，；当时，，所以函数有两个零点当且仅当.设，函数在单调递增.因为，的解集为.综上所述，的取值范围是.（ii）因为，由，结合（i）知，要证，即证，即，当时，因为，，不等式恒成立；当时，由得.即证.即证.即证.设，，由，所以在单调递增.所以，故原不等式成立.所以.19.如图，在直角坐标系中，已知是拋物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且满足.（1）求的值；（2）已知点，直线，与拋物线的另一个交点分别为，，直线交轴于点，交直线于点.抛物线在，处的切线交于点，过点作平行于轴的直线，分别交直线KD，于点，.（i）求证：点为定点；（ii）记，的面积分别为，，求的最小值.解：（1）由题意，直线斜率必存在，设，，，联立得，.所以，.由.解得或（舍）.所以.（2）（i）直线斜率必存在，设，，，联立得，所以.同理.又因为，所以.直线斜率必存在，设，联立得，所以.解得，所以直线过定点.即的坐标为.（ii）由，且，，得.所以直线的方程为.由直线与直线相交，可得.联立解得.因为抛物线方程为，所以.抛物线在点处切线方程为.所以.同理.又，所以的中点为.联立得，由及，所以.过作平行于轴的直线交于点，则.所以.当且仅当时，即直线方程为或时等号成立.四川省成都市2025届高三第三次诊断性检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以，故选：D2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数对应的点位于（）.A.第一象限. B.第二象限. C.第三象限. D.第四象限.【答案】C【解析】复数对应的点坐标为，因此可表示为：所以，对应的点坐标为，位于第三象限.故选：.3.设,则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,,此时;当时,,此时或；所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C D.【答案】D【解析】根据题意，函数定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，又时，，所以，且恒成立，则，所以只有D满足.故选：D5.已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q，由题意得：，，其中，所以，由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设，则，解得：，故动圆圆心C的轨迹方程为.故选：A6.已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（）A.108 B.112 C.120 D.124【答案】B【解析】取正四棱台过侧棱的轴截面，上、下底面中心分别为，如下图所示：依题意可得，因此可得，所以其体积为.故选：B7.已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】两边取对得，则且，即同号或，所以，当时，不成立，A错；由，B对；由，若时，，C错；由，且，当时，，此时，D错.故选：B8.在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】，则，设，则，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，因，两式相比，可得，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，化简得，所以或（舍去），又，所以，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（）A.，B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】因为（单位：小时）服从正态分布，，根据正态分布知识，，，A正确；若，则，得，B错误；，根据原则，可得，C正确；，，由对称性可知，所以，D正确.故选：ACD10.对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（）A.若，，，则，，线性相关B.若，，，则，，线性无关C.若，，线性无关，则，，线性相关D.对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关【答案】AB【解析】若，，，根据题意，设，即，所以，解得，取，所以，A正确；若，，，根据题意，设，即，所以，解得，所以，，线性无关，B正确；假设，，线性相关，则存在不全为零的实数使得，则，因为，，线性无关，则，得，与假设矛盾，C错误；对于非零向量，，，若存在实数，使得，即，所以，但不能确定，，是否线性相关，D错误.故选：AB11.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音一般都是纯音合成的复合音.已知纯音的数学模型是函数.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.即我们听到的声音的函数是.则（）A.的图象关于对称 B.在上有2个极大值点，1个极小值点C. D.在上恒成立【答案】ABD【解析】，所以对任意有，所以的图象关于对称，所以A正确；，令，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以在和处有极大值，在出有极小值，所以B在正确；，叠加项可正可负，故的范围比范围大，所以C错误；当为奇数时，，当为偶数时，在先正后负，但振幅逐渐减小，所有项叠加后，正项占主导地位，所以函数值始终为正，由周期性，结论推广到，所以D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的离心率为_________．【答案】2【解析】13.若函数值域为，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，，当且仅当时，等号成立，所以，函数在上的值域为的子集，当时，，则，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，即函数在上的值域为，由题意可得，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.14.如图，一电路中，为未闭合的开关，为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则最先亮起的概率为__________.【答案】【解析】先考虑最先亮起的概率，则中至少有一个开关闭合在亮起之后，中也至少有一个开口闭合亮起之后，下面分三种情况讨论，情况1：都闭合在亮起之后，这种情况相当于全排列，依次闭合，再将剩余的四个开关全排列之后依次闭合，可能的情况有种；情况2：和中都恰好有1个开关闭合在亮起之后，这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第5位，其余两个排在前四位，前四位剩下的两个空位分别在和中各选一个进行排列，剩下的两个排在末两位，可能的情况有种，情况3：中恰好有三个开关闭合在亮起之后，这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第四位，其余两个排在前三位，剩下四个开关全排列，可能的情况有种，7个开关依次全部闭合共有种情况，故最先亮起的概率为，而和的情况是一样的，故两者最先亮起的概率相等，所以最先亮起的概率为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，年末全国常住人口城镇化率增长至.下图为年年末常住人口城镇化率的折线图.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程；（2）从这年中任取年，记常住人口城镇化率超过的年数为，求的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，.解：（1）设年份代码的平均数为，则.设常住人口城镇化率的平均数为，则.因为，，所以.所以.所以关于的回归方程为.（2）由图可知，第、、年常住人口城镇化率超过，由题意可知，的取值可能为、、，因为；；.所以的分布列为：所以的数学期望为.16.已知正项数列前项的和为，且.（1）求，；（2）证明：是等差数列；（3）求数列的前项的和.（1）解：由，令，有，因为，所以.令，有，即，由，解得.所以，.（2）证明：当时，由，代入，化简得，即，所以是首项为1，公差为1的等差数列.（3）解：由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而.由，所以.所以数列的前项的和.17.如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得.（1）证明：平面平面；（2）线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，，依题意，，则，由，得，而，，是梯形的中位线，于是，，而平面，，则平面，而平面，于是，又平面，且和一定相交，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：依题意，，则，即，由（1）知平面，平面，则，