《一元一次不等式与不等式组》复习导航

7/7一元一次不等式与不等式组复习导航一、要点回顾：（一）不等式的概念与性质1、不等式：.2、不等式的性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.[注意]在不等式的两边都乘以（或除以）同一个实数时，一定要养成良好的习惯，就是先确定该数的属性（正数、零，负数），再判断不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错.（二）不等式（组）的解、解集，解不等式（组）的概念1、不等式（组）的解、解集：能使不等式（组）成立的叫做这个不等式（组）的一个解；一个不等式的，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集；几个不等式的解集的，叫做由它们所组成的不等式组的解集.2、解不等式（组）：叫做解不等式（组）.（三）不等式（组）及解法1、一元一次不等式：（1）概念：①；②；③.像这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向一定要.2、一元一次不等式组：（1）概念：.（2）解法：先；再.[注意]求不等式组的解集一般借助数轴较方便.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集一般有四种类型：类型（设a＞b）口决不等式组的解集数轴表示大大取大x＞a小小取小x＜b不大不小取中间b＜x＜a大大小小没有了无解注意：即这四个类型的解集口诀为：大大取大（同大取大），小小取小（同小取小），不大不小取中间（小大大小中间找），大大小小没有了（大大小小解不了）.二、蕴含的数学思想（一）类比的数学思想：类比是本章用得最多的数学思想方法，例如，学习一元一次不等式概念，就与一元一次方程的概念进行类比，解不等式与解方程进行类比，用一元一次不等式（组）解决实际问题与用方程（组）解决实际问题相类比.（二）化归的数学思想：解方程与解不等式都是通过适当的式子变形，使未知数转化为已知，但两者的目标有所不同，前者要转化为的形式，后者则要转化为的形式.都运用了化归思想，根据等式或不等式的性质，对方程或不等式进行由繁至简的变形.注意解不等式中要将未知数的系数化为1时，应根据原来系数的正负确定不等号的选择.（三）数形结合的数学思想：本章最典型的数形结合体现在用数轴表示不等式（组）的解集上，这种方法形象直观，在求不等式组的解集时显得尤为突出.用数轴表示解集，还沟通了数与形之间的联系，把数转化为形，使将“数与代数”的知识转化为“空间与图形”的知识成为可能，沟通了数学的两个知识领域，具有非常重要的意义.（四）数学建模的思想方法：设未知数、列不等式（组）是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的不等关系是设未知数、列不等式（组）的基础.我们要学会多种角度思考数量之间的大小关系，借助数轴等直观图形以及表格、式子等进行分析，寻找不等关系的数学化表达方式，检验不等式本身以及它的解的合理性.三、考点例析：考点1、不等式的基本性质例1、（2007山东临沂课改）若，则下列式子：①；②；③；④中，正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个析解：根据不等式的基本性质，同乘同除一个负数时，不等号的方向要改变，其它情况不变号，④是在不等式的两边同乘以，可得不正确，故选C.温馨提示：不等式的基本性质是不等式的核心，特别要注意不等式的性质3的利用，不等号的方向要改变.考点2、不等式解的表示方法例2、（2007年福州）解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（）图1图1A. B. C. D.析解：不等式（组）的解集在数轴上表示的形状是一条射线，小于向左画，大于向右画，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点，因此判断不等式的解集为.，故选D.温馨提示：利用数轴表示不等式（组）的解，关键要熟知不等号的表示方法.尤其是空心和实心的区别.考点3、不等式（组）解法步骤例3、（2007山东威海课改）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：析解：解不等式①，得；解不等式②，得.在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：或者根据“同大取大；同小取小；一大一小取公共部分，无公共部分解不了”的原则，可以得到：原不等式组的解集是.温馨提示：会解不等式（组）是一个基本要求，关键是利用好不等式的基本性质，同时要注意解的范围的确定方法.考点4、不等式组的整数解问题例4、（2007年成都改编）解不等式组并求其整数解的和.分析：欲求整数解的和，就要求出它的整数解，而要求出整数解，就要先求出不等式组的解集.解：解①，得；解②，得≤4，故不等式组的解是≤故它的整数解是－1，0，1，2，3，4，从而整数解的和是－1＋0＋1＋2＋3＋4=9.温馨提示：解这类问题的一般步骤为：①求出一元一次不等式（组）的解集；②找出适合解集范围内的特殊解，如整数解、自然数解等.就本题而言，求出整数解后不要忘了求整数解的和.考点5、不等式组中待定字母范围的确定确定不等式组中的字母的取值范围，主要有三种方法：（1）运用不等式的解集确定；（2）从反面求解确定；（3）借助数轴来确定.但要注意题中的隐含条件，善于逆向思维，并注意数形结合思想的应用.例5、（2007湖北天门）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是.解：不等组解为：a＜x＜，不等式x＜的6个整数解为：1，0，－1，－2，－3，－4，可以借助数轴分析可得：－5≤a＜－4例6、已知不等式组的解为，求a的值解：解不等式组得，，由题意得知：，解得a=－1，答a的值为－1.温馨提示：上述问题属于根据不等式组解的情况，确定不等式中的某个参数的范围这一类问题，这类问题如果没有数轴的引入，确定参数的范围是比较困难的.因此，借助于数轴，使数与形有机的结合起来，是解决此类问题的关键.考点6、理解所给的信息，列不等式解题例7、（2007浙江义乌课改）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A.2个B.3个C.4个D.5个解析：此题借助一元一次方程可以求得所有的可能：①5x＋1＝656；解得：x=131；②5x＋1＝131；解得：x=26③5x＋1＝26；解得：x=5；要细心分析所有可能，逐步递推，所以满足条件的x的值有131、26、5三个，故应选B.温馨提示：不等关系应根据实际描述确定，注意分析可能出现的各种情况，可以运用分类讨论来分析、判断.考点7、根据不等关系，确定范围例8（2007浙江绍兴课改）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）A.20cm3以上，30cm3以下B.30cm3以上，40cm3以下C.40cm3以上，50cm3以下D.50cm3以上，60cm3以下解析：根据图示和物理知识可设每颗玻璃球的体积为x，得不等式组解得：40＜x＜50，故应选C温馨提示：利用不等式的解集确定范围，关键是先列出不等式（组），然后根据所给的条件，利用不等式（组）的解的确定原则去推断.考点8、注重生活实际，应用不等式确定方案.例9、（2007黑龙江哈尔滨课改）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）解析：（1）设该商场能购进甲种商品件，根据题意，得乙种商品：（件）（2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件.根据题意，得因此，不等式组的解集为；根据题意，的值应是整数，或或该商场共有三种进货方案：方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，方案二：购进甲种商品49件，乙种商