2024北京八一学校高二12月月考数学试题及答案

试题试题2024北京八一学校高二12月月考数学本试卷共4页，120分.考试时长90分钟､考生务必将答案答在答题卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（）A. B.C. D.3.两条平行线与间的距离为（）A. B. C. D.14.在四面体中，，则（）A. B.C. D.5.已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.两圆与的公切线有（）A.1条 B.2条C.3条 D.4条7.已知点，且点是圆上的动点，，则直线的方程为（）A.或B.或C.或D.或8.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，，，，到面的距离为3，则这个羡除的体积是（）A.128 B.120 C.112 D.1049.设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为正方体表面上的动点.下列叙述正确的是（）A.当点在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为B.当点为棱的中点时，平面C.当点时，满足平面的点共有2个D.当点在棱上时，点到平面的距离的最小值为二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若直线与直线平行，则__________.12.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是______.13.若方程表示圆，则的取值范围为__________.14.在三棱锥中，、、两两垂直且长度均为6，定长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在△内运动（含边界），若线段的中点的轨迹的面积为，则的值为______．15.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______．（填上你认为所有正确的序号）①双纽线C关于原点O中心对称；②双纽线C上满足的点P只有1个；③；④的最大值为．三､解答题：本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知直线过点，直线.（1）若，求直线的一般式方程；（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的一般式方程.17.已知点及圆.（1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.18.在如图所示的多面体中，平面平面，且是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）若点为的中点，求直线与平面所成的角的大小.19.已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为.（1）圆的方程；（2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标.

参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角.【详解】，则直线斜率为，则直线倾斜角满足.故选：B2.【答案】D【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程．【详解】由题意可知的中点为，则圆的半径为，故圆的方程为,故选：D．3.【答案】A【分析】根据两条平行线间的距离公式可得答案.【详解】，两条平行线与间的距离.故选：A.4.【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算法则求解【详解】连接,,由已知得，故选：D5.【答案】B【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案.【详解】若，且，则，，由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为，所以不一定能得到；若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量，则，，可得，.综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】C【详解】由题意，得两圆的标准方程分别为和，则两圆的圆心距，即两圆外切，所以两圆有3条公切线；故选C．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线.7.【答案】B【分析】设，结合题意列方程求解即可.【详解】设，则，又，解得，，则或，则或，所以直线的方程为或，即或.故选：B.8.【答案】A【分析】该多面体可分割成一个直三棱柱以及两个全等的三棱锥，即可利用体积公式求解.【详解】过分别作，连接,则该多面体可分割成一个直三棱柱以及两个全等的三棱锥，由于平面，平面,故，又，平面，故平面，故三棱柱为直三棱柱，由于平面，平面，故平面，由于到平面的距离为3，故到平面的距离为3，故,其体积为,结合四边形，均为等腰梯形，，，因此三棱锥全等，故体积为，因此这个羡除的体积是，故选：A9.【答案】C【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线有公共点，利用点到直线的距离公式列不等式，即可求得答案.【详解】连接，则.圆的圆心为2,0，半径为；又，所以四边形为正方形，所以，于是点在以点为圆心，为半径的圆上.则该圆与直线有公共点，所以圆心到直线的距离，解得.故选：C10.【答案】D【分析】与不可能垂直，故选项A错误；平移与平面相交于一点，故选项B错误；当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故判断选项C；利用体积相等即可求出点P到平面的距离的最小值为判断选项D.【详解】由于线面角的最大值为，与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误；取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接,且，故，平面,面，故不能与平面平行，故选项B错误；当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故选项C错误，到平面的距离始终为，故当点运动到点时，取得最小值为，故，，,，故，故选项D正确.故选：D【点睛】易错点睛计算夹角时，尤其是直线与平面之间的角度，需注意不可能存在的情况，防止误解题意.关于平面与直线平行的判断，确保考虑所有的几何约束条件，避免遗漏.二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】3【分析】根据直线平行的充要条件判断即可.【详解】解：因为直线与直线平行，显然不合题意，所以，所以.故答案为：312.【答案】【分析】求出圆心到切线的距离即为圆半径，可得方程．【详解】由题意圆的半径为，所求圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题考查圆的方程，解题关键是求出圆的半径，根据是圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径．13.【答案】或，【分析】将其配方，即可根据求解.【详解】由可得，故，解得或，故答案为：或，14.【答案】2【分析】根据题设，易知的轨迹是以为球心，半径为的球面，利用球体的面积公式列方程，即可求.【详解】由题意知：且，∴△中，，故的中点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，∴轨迹的面积，可得.故答案为：.15.【答案】①②④【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于③，根据三角形的等面积法分析判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确，对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确，对于③，根据三角形的等面积法可知，即，所以，所以③错误，对于④，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，所以④正确，故答案为：①②④三､解答题：本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）或【分析】（1）先求得直线的斜率，进而求得直线的方程并转化为一般式.（2）根据直线的斜率是否为、是否存在进行分类讨论，结合围成三角形的面积来求得正确答案.【小问1详解】直线的斜率为，若，则直线的斜率为，直线的方程为.【小问2详解】点在直线上，当直线的斜率为时，直线的方程为，此时直线与轴和直线无法围成三角形，不符合题意.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时围成三角形的面积为，符合题意.当直线的斜率存在，且不为零时，设直线的方程为，令，解得，所以，解得，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.17.【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【分析】（1）根据题设，利用几何法求出以为直径的圆的半径，即可求解；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去得到关于的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到，从而有，再根据题设条件得到，即可求解．【小问1详解】因为圆，即的圆心为，，因为，又，所以，故以为直径的圆的方程为.【小问2详解】由，消去，整理得，由于直线交圆于，两点，故，即，解得，则实数的取值范围是，假设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在直线上，所以的斜率，所以，由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．18.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到,根据线面垂直的性质定理得到，进而证得结论；（2）先求得平面ECM与面BCD的法向量，进而求得法向量所成角的余弦值；（3）分别求出直线的方向向量与平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】证明：∵，是的中点，∴，又平面，面，，∵，平面，平面，∴平面，又平面，∴；【小问2详解】以为原点，分别以，为，轴，竖直向上为轴，如图建立坐标系.则，，，，，，，，，设平面的一个法向量m=x则，取，解得：，，；设平面的一个法向量，则，取，解得：，，，，记平面与平面所成角为，则，所以平面与平面夹角的余值为．【小问3详解】，，，，，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角为.19.【答案】（1）；（2）证明见解析；定点和.【分析】（1）由已知结合垂径定理列式求得值，则圆的方程可求；（2）由已知