2021学年第一学期质量监控高三数学试卷

2021学年第一学期质量监控

高三数学试卷

（满分：150分，完卷时间：120分钟）

（答题请写在答题纸上）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题纸的

相应位置直接填写结果.

I.己知集合4={刈工>2},B={x\x<3},则=.

2.函数y=log?*—1）的定义域是

3.若复数z满足iz=JJ-i（i为虚数单位），则|z|=.

4.（x+2,的展开式中/的系数为.（结果用数值表示）

11sina

5.已知cosa=；,则行列式.，的值为_______.

3sin（71

6.某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小

区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取•个容量为400的样本，则样本中中年人的

人数为.

7.设P为直线y=2x上的一点，且位于第一象限，若点尸到双曲线工-），2=1的两条渐近线的距离之积

4'

为27,则点P的坐标为.

41

8.已知x〉0,y>0,且一+—=1,则4x+y的最小值为_____.

xy

9.有身高全不相同的6位同学•起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任

意一位同学高的概率是.（结果用最简分数表示）

10.已知R、P「P、、…、儿是抛物线=8x上不同的点，点尸（2,0）,若RR+FR+…+%0=6,

则|所|+|房|+…+|而+.

11.若数列W满足4+4川+%+2+…+〃M=0（〃wN*,AwN*）,则称数列{%}为“左阶相消数

列”.已知“2阶相消数列”{4}的通项公式为2=2coscon，记7；=帅，1„42021,〃EN*,

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则当〃=时，Tn取得最小值.

12.已知点0(0,0)、4(2,3)和0(5,6),记线段4稣的中点为6,取线段A卅和线段44中的一条，

记其端点为A、使之满足(104,1-5)(1041-5)<0；记线段A4的中点为5,取线段4区和线

段打片中的一条，记其端点为A?、与，使之满足(|。41-5)(|0与|-5)<()；依次下去，得到点片、

2、…、乙、…，贝Ulim|A)2|=.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的

相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知。、/?eR,则“2>I”是“方〉的().

a

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

14.下列函数中，以为周期且在区间［：,］］上单调递增的是().

(A)f(x)=\cos2x|(B)/(X)=|sin2x|

(C)f(x)=sin4x(D)f(x)=cos2x

15.如图，在棱长为1的正方体A6C。—44GB中，尸、Q、A分别是棱A8、BC、6片的中点,

以^PQR为底面作一个直三棱柱,使其另一个底面的三个顶点也都在正方体A8CQ-的表

面匕则这个直三棱柱的体积为().

(A)I(B)(D)得

4(c)17

16.已知向量a与3的夹角为120°,且a6=2,向量c满足c=4ai(IA)b

(0<4<l),且73二=".记向量2在向量Z与B方向上的投影分别为X、)，.现有两个结论：①若

2=-1,则|。一|二2|切一；②,/+,丁+孙的最大值为：3，则正确的判断是().

(A)①成立，②成立(B)①成立，②不成立

(C)①不成立，②成立(D)①不成立，②不成立

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三、解答题(本大题共有5题，樵分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要

的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，已知圆锥的底面半径，・二2,经过旋转轴SO的截面是等边三

角形S48,点。为半圆弧A8的中点，点P为母线SA的中点.

(1)求此圆锥的表面积；

(2)求异面直线尸Q与S。所成角的大小.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知函数/(x)=3v.

⑴设1=尸(力是y=/(力的反函数,若尸区芍)=1，求尸(申+尸(珍的值;

m

(2)是否存在常数〃?ER,使得函数g(x)=l+-^——；为奇函数.若存在，求的值，并证明

/(x)+l

此时g(x)在(F,”)上单调递增；若不存在，请说明理由.

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

落户上海的某休闲度假园区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直

角三角形的迎宾区，==,迎宾区的入口设置在点4处，出口在点8处.游客可从入口沿着观景

通道力一。一8到达出U,其中AC=3(X)米，3C=2(X)米，也可以沿便捷通道A—P—3到达出口(P

为VA8C内一点).4

(1)若VP5C是以尸为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速

度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可

以快几分钟？(结果精确到1分钟)

(2)园区计划将VP5C区域修建成室外游乐场，若NBPC话,该如

何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

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20.（本题满分16分，第1小题清分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

22

已知尸（0,1）为椭圆C:土+匕=1内一定点，。为直线/:y=3上一动点，直线尸。与椭圆。交于A、

43

B两点（点B位于P、Q两点之诃），。为坐标原点.

（1）当直线PQ的倾斜角为巴时，求直线。。的斜率；

4

（2）当aAOB的面积为3时，求点Q的横坐标；

2

（3）设4户=%。分，而丽，试问见一〃是否为定值？若是，请

求出该定值；若不是，请说明理由.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

己知有穷数列｛《J的各项均不相等，将｛%｝的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列｛q｝，称

｛P,｝为｛4｝的“序数列”.例如：数列％，%，%满足％〉。3>“2,则其“序数列”为1，3,2.若两

个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.

（1）若数列3-2工，51+6,/的，，序数列”为2,3,I,求实数x的取值范围；

⑵若项数均为2021的数列｛五｝、｛尤｝互为“保序数列”，其通项公式分别为乙=（〃+；）自