物理人教选修3-4课件第十一章机械振动4

第十一章

4单摆知识内容单摆考试要求必考加试

c课时要求1.知道单摆是一个理想化模型和做简谐运动的条件、回复力及其表达式.2.掌握单摆的周期公式，知道单摆的周期与振幅、摆球的质量无关.3.知道测量单摆周期的方法并经历单摆周期的探究过程，能用单摆测定重力加速度.4.知道单摆做简谐运动条件的分析过程，体会摆角很小时的近似方法.内容索引知识探究题型探究达标检测知识探究一、单摆及单摆的回复力导学探究(1)如图1所示，小球和细线构成一个振动系统，在什么情况下能把该振动系统看成单摆？答案

如果细线的质量与小球的质量相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，该振动系统可看成单摆．答案图1(2)小球受到几个力的作用？答案

小球受两个力的作用：重力和细线的拉力.答案(3)什么力充当了小球振动的回复力？答案

重力沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsinθ提供了使小球振动的回复力，如图所示．1.单摆(1)如果细线的质量与小球的质量相比可以

，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆.单摆是实际摆的

模型.(2)单摆的平衡位置：摆球

时所在的位置.2.单摆的回复力(1)回复力的来源：如图2所示，摆球的重力沿

方向的分力提供回复力(沿半径方向的合力提供向心力).知识梳理图2忽略理想化静止圆弧切线(2)回复力的特点：小球所受的回复力与它偏离平衡位置的

成正比，方向总是指向

，单摆的运动可看成是简谐运动.3.单摆的运动特点在偏角

时做简谐运动，其振动图象遵循

函数规律.位移平衡位置很小正弦即学即用判断下列说法的正误.(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.(

)(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.()(3)单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力.()(4)单摆摆动时，摆球受到的向心力大小相等()××××二、单摆的周期导学探究如图3所示，摆长不同的两个单摆同时释放，我们可以观察到振动的周期不同.影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长，如何研究周期与这些量的关系？请设计实验方案.答案图3答案由于变量比较多，所以需用控制变量法，按下面的方案进行探究：

(1)摆长、质量相同，两摆的振幅不同(都在小偏角情况下).(2)摆长、振幅相同，两摆摆球的质量不同.(3)质量、振幅相同，两摆的摆长不同.比较以上三种情况下两摆的周期，可以得到周期与振幅、质量、摆长之间的定性关系.单摆的等时性与单摆的周期公式1.单摆振动的周期与摆球质量

(填“有关”或“无关”)，与振幅____(填“有关”或“无关”).这是单摆的

性，由伽利略发现，

得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.知识梳理(1)单摆的周期公式在单摆偏角

时成立.无关无关等时惠更斯很小(2)g为单摆所在处的重力加速度，l为单摆的摆长.对于实际的单摆，摆长是指从

到

的长度，l＝l′＋

，l′为摆线长，d为摆球直径.(3)等效摆长图4(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的等效摆长为lsinα，其周期T＝2π.图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效.图4悬点摆球重心(4)重力加速度g与位置的关系：若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝

，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，G为引力常数，g随所在位置的高度的变化而变化.另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同.g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值.判断下列说法的正误.(1)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.()(2)如果重力加速度减为原来的四分之一，单摆的频率变为原来的一半.()(3)无论单摆的振幅多大，单摆的周期都是2π.()(4)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期.(

)即学即用√××√三、用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝2π，得g＝

，则测出单摆的

和

，即可求出当地的重力加速度.2.实验器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺、_____

.摆长l周期T游标卡尺3.实验步骤(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm)，则摆长为l＝l′＋

.(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球.摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆全振动30次(或50次)的时间，求出______

，即为单摆的振动周期.(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.一次全振动的时间4.数据处理(1)平均值法，每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值.设计如下所示实验表格实验次数摆长l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1

2

3

(2)图象法：由T＝2π得T2＝

l，作出T2－l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴.其斜率k＝

，由图象的斜率即可求出重力加速度g.5.注意事项(1)选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1m，摆球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm.(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应

.(3)摆球摆动时，要使之保持在同一

，不要形成圆锥摆.很小竖直平面内(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过

时开始计时，每当摆球从同一方向通过

时计数，要测n次(如30次或50次)全振动的时间t，用取平均值的方法求周期T＝

.最低位置最低位置题型探究1.摆球受到的作用力有两个：重力和悬线的拉力，摆球的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球受到的某一性质力.2.摆球运动的轨迹是一段圆弧，因此摆球运动过程需要有向心力，故摆球运动的回复力不是摆球所受外力的合力.3.在摆角很小的情况下，摆球的回复力满足F＝－kx，此时摆球的运动可看成是简谐运动.一、单摆的回复力例1

(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图5所示，以下说法正确的是

A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大答案解析√图5√解析由题图读出t1时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零.故A错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大.故B错误；t3时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大.故C正确；t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大.故D正确.二、单摆的周期1.单摆的周期公式T＝2π在单摆的最大偏角小于5°的情况下才适用.2.单摆的周期与摆长l有关，在g不变的情况下，仅改变摆长，即可改变周期.3.单摆的周期与重力加速度g有关，不同纬度、不同海拔高度处，同一单摆的周期不同.例2

有一单摆，其摆长l＝1.02m，摆球的质量m＝0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆30次全振动所用的时间t＝60.8s，试求：

(1)当地的重力加速度是多大？

答案9.79m/s2解析当单摆做简谐运动时，只要求出T值代入即可.答案解析(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2s)，摆长应怎样改变？改变多少？答案解析答案缩短0.027m解析秒摆的周期是2s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02m－0.993m＝0.027m.针对训练1

(2016·仙居县宏大中学高二第二学期期中)一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一个小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化.现使摆球做小角度摆动，如图6所示为摆球从右边最高点M摆至左边最高点N的闪光照片(悬点和小钉未摄入)，P为最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等.则小钉与悬点间的距离为

答案解析图6√解析设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在右侧摆动的周期为T1＝8t，在左侧摆动的周期为T2＝4t，T1∶T2＝2∶1.设左侧摆长为l，则：所以小钉与悬点的距离s＝L－l＝

L，故C正确，A、B、D错误.三、用单摆测定重力加速度例3

在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图7甲所示，则单摆摆长是______m.若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________.图7答案见解析答案解析由图可知：摆长L＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m.秒表的读数t＝60s＋15.20s＝75.20s，为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值.现将测得的六组数据标示在以L为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，即图8中用“·”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_____.图8答案见解析答案解析解析单摆做简谐运动的条件是摆线偏离竖直方向的夹角应不大于5°.(2)试根据图中给出的数据点作出T2和L的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.(结果保留两位有效数字)答案见解析解析把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点，均匀分布在直线的两侧，T2和L的关系图线如图所示，答案解析针对训练2

(2016·茅盾中学高二第二学期期中)某同学利用单摆测定重力加速度.(1)为了使实验误差尽量小，下列说法正确的是

A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大答案解析√√解析应选用密度较大且直径较小的摆球，A错.在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C对.摆角要控制在5°以内，所以D错.(2)如图9所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆.实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标图9记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝_________.

答案解析解析设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2，达标检测1.(2016·嘉兴一中高二第二学期期中)如图10所示，一单摆(θ＜5°)其摆动周期为T，则下列说法正确的是A.减小摆球质量，其周期变小B.减小最大摆角，其周期变小C.增大摆长，其周期变小D.摆球由B→O运动时，摆球的势能转化为动能

1234答案√图102.(2016·台州路桥中学高二上学期月考)一个打磨得很精细的小凹镜，其曲率很小可视为接近平面.将镜面水平放置如图11所示.将一个小球从镜边缘释放，小球在镜面上将会往复运动，以下说法中正确的是A.小球质量越大，往复运动的周期越长B.释放点离最低点距离越大，周期越短C.凹镜曲率半径越大，周期越长D.周期应由小球质量、释放点离平衡位置的距离，以及曲率半径共同