数据分析（知识梳理与考点分类讲解）

数据分析——知识梳理与考点分类讲解【知识点一】平均数和加权平均数算术平均数：一般地，我们把n个数的和与ｎ的比，叫做这ｎ个数的算术平均数，简称平均数，记作,读作“x拔”，即加权平均数：已知n个数，若为一组正数，则把叫做n个数的加权平均数，分别叫做这ｎ个数的权重,简称权。【知识点二】中位数和众数中位数：一般地，将ｎ个数据按大小顺序排列，如果ｎ为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果ｎ为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。众数：一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。【知识点三】方差方差：设n个数据的平均数为，各个数据与平均数偏差的平方分别是。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用表示，即当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。【知识点四】用样本估计总体由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。【考点一】平均数与加权平均数（解答题三个）【例1】（2023·河北沧州·模拟预测）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．在如图所示的“幻方”中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等．031（1）求第一列三个数之和；（2）若“幻方”的中间数为，这9个数字的平均数为，分别求出和的值，并比较大小．【答案】（1）；（2），【分析】（1）将第一列三个数相加即可求解；（2）根据（1）中求出的结果，将第二列中三个数字相加，列出方程求解x的值，再求出平均数即可．（1）解：；（2）解：由题意，得，．，．【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是掌握有理数的混合运算，以及解一元一次方程方法和步骤．【举一反三】【变式1】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分，个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）为：，，，，，．（1）请按照以上方法计算这组数据的平均数（结果精确到）；（2）请你解释用以上方法计算平均分的合理性．【答案】（1）8.8分；（2）去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对结果的影响【分析】（1）根据算术平均数的定义计算即可；（2）去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响．（1）解：（分）；（2）答：去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对结果的影响．【点拨】本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．【变式2】（2024秋·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次．在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了8.3、8.0、7.8、9.1环，他的前5次射击的平均环数低于这四次射击的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.4环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得的环数都精确到0.1环）【答案】他在第10次射击中至少要得9.3环【分析】先计算第6、第7、第8、第9次射击的平均数，假设前五次射击的平均环数和这四次射击的平均环数相等，据此可求得第10次射击的最少环数．解：，假设前五次射击的平均环数也是8.3，则，故他在第10次射击中至少要得9.3环，答：他在第10次射击中至少要得9.3环．【点拨】本题考查平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键．【例2】（2023秋·湖北·九年级校联考开学考试）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）．序号123笔试成绩/分859288面试成绩/分908890现得知1号选手的综合成绩为88分．（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选．【答案】（1）笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和；（2）2号89.6分；3号89.2，第一名人选是2号【分析】（1）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据综合成绩为88分列方程组求解即可，（2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，原来加权平均数的计算方法计算出2号选手，3号选手的综合成绩，比较得出排名．（1）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据题意得：解得：答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和．（2）解：2号选手的综合成绩为：，3号选手的综合成绩为：，号选手第一，3号选手第二，1号选手第三，答：2号选手的综合成绩为89.6，3号选手的综合成绩为89.2，根据综合成绩排名第一名是2号．【点拨】考查加权平均数的计算方法，理解“权”对平均数的影响是解决问题的关键，掌握计算方法是前提．【举一反三】【变式1】（2023春·云南德宏·八年级统考期末）某班欲从甲、乙两名同学中推出一名同学，参加学校组织的数学素质测试竞赛，首先在班内对甲、乙两名同学进行了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示：学生数与代数图形与几何统计与概率综合与实践甲85899294乙94928580（1）如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两名同学的平均成绩，从他们的成绩看，应该推选谁？（2）若数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的成绩按的比确定，计算甲、乙两名同学的平均成绩，从他们的成绩看，应该推选谁？【答案】（1）推选甲；（2）推选乙【分析】（1）根据平均数的概念分别计算甲、乙两名同学的平均成绩，即可获得答案；（2）结合题意，根据加权平均数的概念分别计算甲、乙两名同学的平均成绩，即可获得答案．（1）解：依题意得，甲的平均成绩为：，乙的平均成绩为：，∵9087.75，∴推选甲；（2）依题意得：，，∵，∴推选乙．【点拨】本题主要考查了平均数和加权平均数的应用，理解并掌握平均数和加权平均数的概念是解题关键．【变式2】（2021秋·八年级课时练习）某校八年级一班有学生50人，八年级二班有学生45人，期末数学测试中，一班学生的平均分为81.5分，二班学生的平均分为83.4分，这两个班95名学生的平均分是多少？【答案】82.4分【分析】利用加权平均数的计算方法：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数即可．解：由题意知，这两个班的平均成绩=（83.4×45+81.5×50）÷（45+50）=82.4（分）．答：这两个班95名学生的平均分是82.4分．【点拨】本题考查的是加权平均数的求法，掌握求平均数的方法：数据总和÷数据总个数=平均数是解决问题的关键．【考点二】众数与中位数【例3】（2023·河南新乡·统考一模）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：A．，B．，C．，D．，抽样和分析过程如下：【收集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：七年级：95

75

80

90

70

80

95

75

100

90

78

80

80

95

65

100

88

85

85

80八年级：83

79

98

69

95

87

75

66

88

77

76

94

79

79

82

82

96

81

71

79整理以上数据，绘制了频数分布表：频数

分数年级七年级2855八年级2864【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量：平均数中位数众数七年级84.3a80八年级81.880b根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的__________，__________；（2）根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价．【答案】（1），79；（2）七年级的测试成绩更好，理由见分析；（3）见分析【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）由七年级测试成绩的平均数、中位数、众数都高于八年级即可说明七年级的测试成绩更好；（3）求出七年级测试成绩不低于80分的人数所占百分比为，即可说明该校七年级大部分学生对“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况较好．（不唯一，合理均可）（1）解：七年级的测试成绩从小到大排列，处在第10，11位的数分别是80，85，∴七年级的中位数．八年级的测试成绩中出现次数最多的为79分，．故答案为：，79；（2）解：七年级的测试成绩更好．理由：，，，∴七年级测试成绩的平均数、中位数、众数都高于八年级，∴七年级的测试成绩更好；（3）解：由数据可知七年级测试成绩不低于80分的学生有15人，占七年级所抽取人数的，则说明该校七年级大部分学生对“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况较好．（不唯一，合理均可）【点拨】本题考查求众数和中位数，根据众数、中位数和平均数做决策，求样本所占百分比．读懂题意，找出必要的信息和数据是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）下列表格列举了2022卡塔尔世界杯优秀球员射门数据，观察表格中的数据，这组数据的中位数和众数分别是（

）球员梅西姆巴佩佩里西奇吉鲁马丁内斯奥尔莫得分323116161412A．16，16 B．16，31 C．32，16 D．16，14【答案】A【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．解：∵16出现的次数最多，∴众数是16，∵从小到大排列：12、14、16、16、31、32，∴中位数是：。故选：A．【点拨】本题考查统计中众数与中位数，熟练掌握众数与中位数的定义是解题的关键．【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）已知一组数据2，9，6，10，x的众数是x，其中x又是不等式组的整数解，则这组数据的中位数是．【答案】6或9【分析】先求出不等式组的整数解，再根据众数的定义可求x的值，再根据中位数是排序后位于中间位置或中间两数的平均数求解．解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，∴不等式组的整数解是，∵一组数据2，9，6，10，x的众数是x，∴或9，当时，这组数据是2，6，6，9，10，∴这组数据的中位数是6，当时，这组数据是2，6，9，9，10，∴这组数据的中位数是9，∴这组数据的中位数是6或9，故答案为：6或9．【点拨】本题综合考查了一元一次不等式组的整数解，众数及中位数的定义，解题的关键是仔细观察，在确定中位数时首先要排序．【考点三】方差【例4】（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：

根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩环中位数环众数环方差甲7乙78（1），，．（2）填空：（填“甲”或“乙”）．从中位数的角度来比较，成绩较好的是；从众数的角度来比较，成绩较好的是．（3）从甲、乙两名队员中选一名成绩相对稳定的队员参加比赛，选谁更合适，为什么？【答案】（1）7，，7；（2）乙，乙（3）选甲更合适，理由见分析【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义求解；（2）利用中位数、众数做决策；（3）利用方差做决策．（1）解：甲的平均成绩，甲的成绩中7出现的次数最多，因此众数，由折线图知，乙的成绩从低到高排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，10个数中第五个数为7，第六个数为8，因此中位数，故答案为：7，，7；（2）解：从表格数据可知，乙成绩的中位数、众数都比甲高，因此：从中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；从众数的角度来比较，成绩较好的是乙．故答案为：乙，乙；（3）解：选甲更合适，因为甲成绩的方差小于乙成绩的方差，波动性较小，成绩相对稳定．【点拨】本题考查条形统计图、折线统计图、中位数、众数、平均数、方差等，解题的关键是掌握相关统计量的定义及意义．【举一反三】【变式1】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级克东县第三中学校考开学考试）某学习小组的五名同学在一次数学抽测中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（

）A．平均分是91B．中位数是90C．众数是94 D．方差是74【答案】C【分析】根据题意，由平均数、中位数、众数及方差的计算方法求出各个统计量后逐项验证即可得到答案．解：A、平均成绩为（分），该选项错误，不符合题意；B、将成绩按照从小到大排列：74分、90分、94分、94分、98分，中位数为94，该选项错误，不符合题意；C、由分数为94分、98分、90分、94分、74分，可知众数是94，该选项正确，符合题意；D、由A选项求出了平均分为，则方差为，该选项错误，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查统计综合，熟记相关统计量的求法是解决问题的关键．【变式2】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）已知数据的平均数是2，方差是3，则，，，，的平均数和方差分别是，．【答案】512【分析】根据平均数和方差的计算公式分别求解即可得到答案．解：数据的平均数是2，方差是3，；，，，，，的平均数为；，，，，的方差为，故答案为：；．【点拨】本题考查求平均数与方差，熟记求平均数与方差的公式是解决问题的关键．【考点四】用样本估计总体【例5】（2023春·云南文山·七年级校联考期末）为促进学生健康成长，帮助家长解决按时接送学生困难的问题，认真落实全国教育大会精神，某校结合自身情况，在开展中学生课后服务工作方面做了全面规划，并且落到实处．在不加重学生课业负担的前提下，学校在托管时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：

（1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数；（2）补全条形统计图（3）求出“其他”所对应的圆心角的度数；（4）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人？【答案】（1）120名；（2）见分析；（3）；（4）126名【分析】（1）从条形图选择体育的人数÷从扇形图中体育所占百分比计算即可；（2）从调查总人数减去阅读，体育和其它得出艺术人数，补画条形图即可；（3）求出其它12人除以120得出所占百分比，再乘以即可；（4）先计算样本中选择阅读所占样本的百分比，再用样本中所含百分比乘以总数估计总体中的含量即可．（1）解：本次调查中从条形图得出选择体育有54人，从扇形统计图中体育所占百分比为，本次调查人数为：（人）；（2）解：∵艺术：（人），∴补全的条形统计图如下图所示：

；（3）解：“其他”所对应的圆心角度数为；（4）解：样本中选择阅读的人数为18人，占样本的百分比为，该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有：（人），∴选择“阅读”的学生大约有126人．【点拨】本题考查从条形图和扇形统计图获取信息和处理信息能力，样本容量，补画条形图，扇形圆心角，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握以上知识是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023春·上海·九年级专题练习）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法：①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为．其中正确的说法有．（填写序号）

【答案】①②④【分析】利用骑车的人数除以其所占的百分比求出调查的总人数，再求出步行所占的百分比，利用总人数乘以步行所占的百分比求得步行的人数，然后利用乘车所占的百分比乘以总人数求得乘