提分练习：利用矩形的性质巧解折叠问题

2/2提分练习：利用矩形的性质巧解折叠问题典例剖析例如图，纸片ABCD为平行四边形.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上的E处，折痕为AF.已知AB=10，AD=8，DE=6.（1）求证：ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF的长.解题秘方：（1）根据折叠变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理的逆定理证明∠D=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明ABCD是矩形即可；（2）设BF=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可.（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，点B恰好落在CD边上的E处，∴AE=AB=10，即.又∵，∴.∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°.∴ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.（2）由题意易知EC=4.设BF=x，则EF=BF=x，FC=BC-BF=8-x.由（1）可知ABCD是矩形，∴∠C=90°.∴在Rt△EFC中，，即.解得x=5，故BF=5.（3）解：由（1）可知ABCD是矩形，∴∠B=90°.∴在Rt△ABF中，.∵AB=10，BF=5，∴.分类训练题型一利用矩形的性质巧求折叠中的角1.【2022·丽水】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.题型二利用矩形的性质巧求折叠中线段的和2.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB'与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AB'于点G，PH⊥DC于点H，试求PG+PH的值.题型三利用矩形的性质巧求折叠中重叠的面积3.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.（1）求证：△AFE≌△CDE；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积.题型四利用矩形的性质巧求折叠中线段的比4.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值.题型五利用矩形的性质巧证折叠中的平行线5.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与CD的交点为O，连接DE.求证：（1）△ADE≌△CED；（2）DE∥AC.

参考答案1.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°，AB=CD.由折叠的性质得AB=PD，∠A=∠P=90°，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠PDF=∠ADC.∴∠PDE=∠CDF.在△PDE和△CDF中，∴△PDE≌△CDF（ASA）.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，则∠EGF=90°，易知AE=PE=BG=CF，EG=CD=4cm.DE=CG.在Rt△EGF中，由勾股定理得（cm）.设CF=xcm，则PE=AE=BG=xcm，CG=DE=（x+3）cm.∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE.由折叠的性质得∠BFE=∠DFE，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF=（x+3）cm.在Rt△CDF中，由勾股定理得，∴，∴，∴cm.2.解：（1）△AED≌△CEB'.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=DA，∠B=∠D.由折叠的性质，知BC=B'C，∠B=∠B'，∴B'C=DA，∠B'=∠D.在△AED和△CEB'中，∴△AED≌△CEB'.（2）如图，延长HP交AB于点M.∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，CD=AB=8，CD∥AB.∴∠2=∠3.由折叠的性质可知∠1=∠2，∴∠1=∠3∴AE=CE=8-3=5.在Rt△ADE中，DE=3，AE=5，∴.∵PH⊥CD，AB∥CD，∴PM⊥AB.又∵PG⊥AB'，∠1=∠2，∴PM=PG.∵PH+PM=HM=AD，∴PG+PH=AD=4.3.（1）证明：由折叠的性质可得AF=AB，∠F=∠B.∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°.∴AF=CD，∠F=∠D=90°.又∵∠AEF=∠CED，∴△AFE≌△CDE（AAS）.（2）∵△AFE≌△CDE，∴AE=CE，EF=ED.根据折叠的性质可知FC=BC=8，AF=AB=4.在Rt△AFE中，，即.解得EF=3.∴EC=5.∴阴影部分的面积为.4.（1）证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称，∴∠ANM=∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM=∠CMN.∴∠CMN=∠CNM.∴CM=CN.（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC=DN，NH=DC.∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1，∴.∴MC=3DN=3HC.∴MH=2HC.设DN=x，则HC=x，MH=2x，CM=CN=3x.在Rt△CDN中，，∴NH=.在Rt△MNH中，.∴.点拨：（1）根据折叠的性质得∠ANM=∠CNM，再由AD∥BC得到∠ANM=∠CMN，最后根据等角对等边得到CM=CN；（2）根据两个等高的三角形的面积之比等于对应底边长之比得到，再根据勾股定理求得MN的长，从而求得.5.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD.由折叠的性质，得BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD.又