2025年欧洲女子数学奥林匹克（EGMO）模拟试卷：几何证明与组合策略策略拓展与实战

2025年欧洲女子数学奥林匹克（EGMO）模拟试卷：几何证明与组合策略策略拓展与实战一、选择题要求：选择一个最合适的答案。1.在一个正方体中，一条对角线的长度是边长的$\sqrt{3}$倍，则正方体的体积是（）。A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.$1$D.$2$2.下列命题中正确的是（）。A.对顶角相等B.相邻角互补C.平行四边形的对角线互相平分D.等腰三角形的底角相等3.在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$和点$B(-3,4)$关于直线$x=2$对称的点分别是$C$和$D$，则$AC+BD$的值为（）。A.$10$B.$15$C.$20$D.$25$4.下列图形中，不是轴对称图形的是（）。A.正方形B.等边三角形C.圆D.长方形5.一个圆的半径增加了10%，则它的面积增加了（）。A.$10\%$B.$20\%$C.$25\%$D.$30\%$二、填空题要求：填空。6.在$\triangleABC$中，$AC=BC=10$，$AB=8$，则$\angleC$的度数为______。7.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点的坐标为______。8.下列图形中，不是中心对称图形的是______。9.一个圆的直径是$12$，则它的周长是______。三、解答题要求：写出解题过程。10.在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高，$AE$是$BC$边上的中线，且$AD=4$，$BE=3$，求$AB$的长度。四、证明题要求：写出证明过程。11.证明：在任意三角形ABC中，若AB=AC，则角A的平分线、角B的平分线以及角C的平分线交于一点。五、应用题要求：根据题意，列出方程组并求解。12.一个长方形的长是宽的2倍，当长增加5cm，宽减少3cm后，长方形的面积增加了36cm²，求原长方形的长和宽。六、组合问题要求：根据题意，计算组合数。13.从5个不同的水果中选择3个进行搭配，求不同的搭配方式共有多少种？本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：C解析：正方体的对角线长度是边长的$\sqrt{3}$倍，所以体积是边长的三次方，即$V=a^3$，其中$a$是边长。由于对角线长度是$\sqrt{3}a$，根据勾股定理，边长$a=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}}=a$，所以体积$V=a^3=(\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}})^3=a^3$。因此，体积是边长的三次方，故选C。2.答案：D解析：对顶角相等是基本几何性质，相邻角互补适用于直线与直线相交，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的性质，等腰三角形的底角相等是等腰三角形的性质。故选D。3.答案：A解析：点A关于直线$x=2$的对称点C的横坐标是$2-(2-1)=1$，点B关于直线$x=2$的对称点D的横坐标是$2-(-3-2)=7$。因此，C的坐标是$(1,2)$，D的坐标是$(7,4)$。根据两点间的距离公式，$AC=\sqrt{(1-1)^2+(2-2)^2}=0$，$BD=\sqrt{(7-(-3))^2+(4-4)^2}=\sqrt{10^2}=10$。所以$AC+BD=0+10=10$，故选A。4.答案：B解析：正方形、圆和长方形都是轴对称图形，而等边三角形不是轴对称图形，因为它没有一条直线可以将其分为两个完全相同的部分。故选B。5.答案：B解析：圆的面积公式是$A=\pir^2$，半径增加了10%，新的半径是$1.1r$，新的面积是$\pi(1.1r)^2=\pi(1.21r^2)=1.21\pir^2$。面积增加了$1.21\pir^2-\pir^2=0.21\pir^2$，即增加了21%。故选B。二、填空题6.答案：60解析：由于AB=AC，$\triangleABC$是等腰三角形，所以$\angleC=180^\circ-2\times45^\circ=90^\circ$。但是题目中未给出$\angleC$是直角，所以需要计算$\angleC$的度数。由于$AC=BC=10$，$AB=8$，可以使用余弦定理计算$\angleC$的度数：\[\cosC=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\timesAC\timesBC}=\frac{10^2+10^2-8^2}{2\times10\times10}=\frac{100+100-64}{200}=\frac{136}{200}=0.68\]\[C=\arccos(0.68)\approx46.57^\circ\]所以$\angleC$的度数约为46.57°。7.答案：$(3,2)$解析：点A关于直线$y=x$的对称点C的坐标可以通过交换A的横纵坐标得到，即C的坐标是$(2,3)$。8.答案：等边三角形解析：等边三角形不是中心对称图形，因为它没有中心点可以通过旋转180°得到与原图形完全重合的图形。9.答案：$24\pi$解析：圆的周长公式是$C=2\pir$，直径是$12$，半径是$6$，所以周长是$C=2\pi\times6=12\pi$。由于题目中的直径是$12$，所以周长是$24\pi$。三、解答题10.答案：$AB=8\sqrt{5}$解析：由于$AD$是$BC$边上的高，$AE$是$BC$边上的中线，所以$BE=\frac{1}{2}BC$。由于$AD=4$，$BE=3$，$AB=AC$，所以$AB=2BE=2\times3=6$。现在有$AD=4$，$AB=6$，可以使用勾股定理计算$BD$的长度：\[BD^2=AB^2-AD^2=6^2-4^2=36-16=20\]\[BD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\]由于$BE=\frac{1}{2}BC$，所以$BC=2BE=2\times2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。现在有$BC=4\sqrt{5}$，$BD=2\sqrt{5}$，可以使用勾股定理计算$AB$的长度：\[AB^2=BC^2-BD^2=(4\sqrt{5})^2-(2\sqrt{5})^2=80-20=60\]\[AB=\sqrt{60}=2\sqrt{15}=8\sqrt{5}\]四、证明题11.答案：证明如下：解析：设$\triangleABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高，$AE$是$BC$边上的中线，$F$是角A的平分线与$BC$的交点，$G$是角B的平分线与$AC$的交点，$H$是角C的平分线与$AB$的交点。因为$AB=AC$，所以$\angleABD=\angleACD$（等腰三角形的底角相等）。又因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angleADB=\angleADC=90^\circ$（直角三角形的性质）。所以$\triangleABD$和$\triangleADC$是两个直角三角形，且$\angleABD=\angleACD$，$AB=AC$。由直角三角形的性质，$\triangleABD\cong\triangleADC$（角-角-边全等）。所以$BD=DC$。同理可证$AE$是$BC$边上的中线，所以$BE=EC$。因为$BE=EC$，$BD=DC$，所以$F$是$BC$的中点。所以$AF$是$\triangleABC$的中线，$AF$将$\triangleABC$分为两个面积相等的三角形$\triangleABF$和$\triangleACF$。因为$F$是$\angleA$的平分线与$BC$的交点，所以$AF$是$\angleA$的平分线。同理可证$G$是$\angleB$的平分线与$AC$的交点，$H$是$\angleC$的平分线与$AB$的交点。所以$AF$、$BG$和$CH$交于一点$O$，$O$是$\triangleABC$的内心。所以角A的平分线、角B的平分线以及角C的平分线交于一点$O$。五、应用题12.答案：原长方形的长是10cm，宽是5cm。解析：设原长方形的长是$x$cm，宽是$y$cm，根据题意，可以列出方程组：\[x=2y\]\[(x+5)(y-3)=xy+36\]将第一个方程代入第二个方程，得到：\[(2y+5)(y-3)=2y^2+36\]\[2y^2-6y+5y-15=2y^2+36\]\[-y-15=36\]\[y=-51\]这个解不符合实际情况，因为长度不能是负数。所以我们需要重新检查方程组。实际上，第二个方程应该是：\[(x+5)(y-3)=xy+36\]\[xy+5y-3x-15=xy+36\]\[5y-3x=51\]将第一个方程代入上面的方程，得到：\[5(2y)-3y=51\]\[10y-3y=51\]\[7y=51\]\[y=\frac{51}{7}\]\[y=7.29\]由于长度通常是整数，我们可以取最接近的整数，即$y=7$。将$y=7$代入第一个方程，得到：\[x=2\times7=14\]所以原长方形的长是14cm，宽是7cm。六、组合问题13