1.4.1用空间向量研究空间直线平面的位置关系（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019选择性

1.4.1用空间向量研究空间直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示教学设计1.教学内容本节课是人教A版（2019）选择性必修第一册第一章“空间向量与立体几何”1.4.1第1课时空间中点、直线和平面的向量表示，内容包括：空间点的位置向量定义，以基点O表示任意点P的向量；直线的向量表达式，由点A及方向向量确定，参数方程表示为；平面的向量表示，通过定点A及两不共线向量、或法向量n定义，形式为；法向量求解方法，含定义法与待定系数法，需结合平面内向量点积为零列方程.教学目标聚焦向量语言描述空间元素、方向向量与法向量概念理解及求解步骤掌握.2.内容解析本节课主要讲授如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面，这是利用空间向量解决立体几何问题的关键.内容包括点的位置向量、直线的方向向量以及平面的法向量的概念和表示方法.通过向量表示，可以将复杂的立体几何问题转化为向量问题，从而简化求解过程.本节课的教学重点是掌握空间中点、直线和平面的向量表示方法，特别是直线的方向向量和平面的法向量的理解和应用.教学难点在于如何建立空间基本图形与向量之间的联系，将立体几何问题转化为空间向量问题，并熟练掌握法向量的求解和应用.通过本节课的学习，学生将能够理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联，并通过空间向量的应用，培养数学综合素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握空间点线面的向量表示及法向量应用.1.教学目标(1)能用向量语言表示空间中的点、直线与平面.(2)能用自己的语言解释直线的方向向量、平面的法向量的含义.(3)能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量.2.目标解析（1）掌握空间点用位置向量表示，直线用点加方向向量参数方程表达，平面用定点加两不共线向量或法向量定义，体会向量语言对空间图形的抽象与简化.​（2）理解方向向量表征直线延伸趋势，法向量表征平面垂直方向，能用生活化比喻（如“法向量如平面‘标杆’”）说明其几何意义.（3）掌握方向向量由两点坐标差确定，法向量通过平面内两向量叉乘或平面方程系数提取，能规范操作并应用于具体问题求解.学生已掌握平面向量基本定理、空间直角坐标系及立体几何初步知识，能进行向量线性运算，但对空间元素向量表示的系统认知不足.部分学生能通过坐标描述点位置，但缺乏用向量语言抽象直线、平面的经验；对方向向量与法向量的几何意义理解较浅，易混淆二者求解步骤（如方向向量依赖直线参数方程，法向量需叉乘或方程系数提取）.预估困难：1.空间想象障碍：难以将立体几何问题转化为向量问题（如用向量证明线面关系）.2.步骤操作混淆：方向向量与法向量求解流程易错（如法向量非唯一性导致的符号问题）.3.法向量理解困难：法向量垂直平面的抽象性质需结合具体模型深化.解决策略：1.直观演示：通过三维坐标系动态展示点、线、面的向量表示，强化空间对应关系.2.对比辨析：设计“方向向量vs法向量”专题练习，突出二者求解差异（如方向向量取直线参数，法向量需两不共线向量）.3.生活化类比：将法向量类比为“平面标杆”，用墙面垂直线辅助理解垂直性.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：空间图形与向量的转化能力，法向量垂直性的几何意义及求解步骤规范性.问题引入必修第二册中，学习了《立体几何初步》，该章主要探究了三个方面的知识：一、线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面平行与垂直等位置关系；二、点到直线、点到平面等距离问题；三、线线、线面、面面之间的夹角问题.刚刚学习了空间向量知识，我们知晓空间向量这个工具的应用：既可以证明平行与垂直，又可以求距离和夹角.提出想法:能否借助空间向量这个工具来解决立体几何中位置关系问题、距离问题和夹角问题呢？预设：答案是肯定的设计意图：复习立体几何问题，建立新旧知识关联，激发探究兴趣，凸显向量工具在空间问题中的普适性与简洁性.教学建议：建议引导学生回顾立体几何问题，通过“向量能否统一解决几何问题”的设问驱动思考，结合具体案例演示向量方法，强化几何直观与代数运算的融合.思考：在应用空间向量之前，需要解决一个关键性的问题：点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素教师：这是本节课需要探究学习的主要内容探究1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示.预设：如图1.41,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量．探究2：空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．你能将空间中确定直线l的这组条件转化为向量表示吗?师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示.预设：用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点．如图1.42,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即．进一步地,如图1.43,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①将代入①式,得．②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.探究3：两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗?师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示.预设：我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图1.44,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得．这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用．进一步地,如图1.45,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．探究4：给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示.预设：我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面．如图1.46,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector）．给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合．思考：如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系?师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示.设计意图：通过问题引导学生将视野拓展到空间，得出空间中平面的多种向量表示方法，在获得新的表示方法的过程中，建立相关知识的联系，为后续用向量方法解决立体几何问题打下基础.牛刀小试：练1：下列命题是真命题的是（

）A．平面的法向量是唯一确定的B．平面的法向量是不唯一的，且它们共线C．平面的法向量是不唯一的，且它们相互垂直D．两个平面的法向量不可能相等学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备解析：法向量的定义可知平面的法向量不唯一，且共线，故A错误、B正确、C错误；若两个平面平行，则两个平面的法向量是可能相等的，故D错误；练2：已知A4,1,3，B−2,4,2在直线l上，写出直线l的一个方向向量为学生：思考并独立完成，得出答案，做好分享准备解析：点A4,1,3，B−2,4,2，则而点A,B在直线l上，所以直线l的一个方向向量可以为AB=(−6,3,−1)故答案为：(−6,3,−1)例1：如图1.47,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面的法向量；（2）求平面的法向量．解析：（1）因为轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量．教师：线面垂直法——找（证）线面垂直的直线（2）因为,,,是的中点,所以,,的坐标分别为,,．因此,．①建系求点、求平面内两个向量坐标设是平面的法向量,②设法向量坐标则,．所以，所以③列方程组取,则,．④赋非零值于是是平面的一个法向量⑤下结论待定系数法牛刀小试：练4：（多选）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1解析：法一：易知，DB1⊥平面A1BC1又D0,0,0，B11,1,1，所以D答案不唯一，与（1,1,1）共线的向量均可以法二：A11,0,1，B1,1,0，C10,1,1设n=x,y,z是平面A1BC1所以A1令x=1，得y=1，z=1，即1,1,1是平面方法总结：（1）求平面法向量的方法与步骤(4)赋非零值，设定一个坐标为常数(常数不能为0)(5)下结论：得到平面的一个法向量.（2）求平面法向量的常见类型(1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量;(2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量;(3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量.题型一：求直线方向向量、利用直线的方向向量求参例2.已知向量a=(4,−2,6),b=−4,2x2,6x都是直线lA．−1或1 B．−1 C．−3 D．1解析：因为向量a=(4,−2,6),b=−4,2所以向量a=(4,−2,6),b则−44=2x2题型二：求平面法向量、利用法向量求参例1.已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，则平面ABC的一个法向量可以为（

）A．(4,3,6) B．(−4,3,6) C．(4,−3,6) D．(4,3,−6)解析：由题设AB=(3,−4,0)，AC若m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则m⊥所以m⋅所以x=4取y=3，则x=4，z=6，即于是m=(4,3,6)是平面ABC的一个法向量，故选已知平面α经过点A(−1,0,1)，且它的法向量n=(1,−3,−2)，P(x,y,z)是平面α内任意一点，则（

A．x−3y−2z=−3 B．x−3y−2z=3C．x+3y+2z=0 D．x+3y−2z=0解析：因为A(−1,0,1)，P(x,y,z)，所以AP=(x+1,y,z−1)平面α的法向量n=(1,−3,−2)，则n所以n⋅AP=x+1−3y−2(z−1)=0，即x−3y−2z=−31．（2425高二上·四川成都·期中）经过点A1,2,1，点B3,4,5的直线的一个方向向量是解析：由点A1,2,1，点B3,4,5，又点A1,2,1，点B3,4,5在直线上，所以故答案为：(2,2,4)（答案不唯一，λ≠0时，2λ,2λ,4λ均可）2．（2324高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量m=3,−2,1，且直线l经过Aa,2,−1和B−2,3,b两点，则a+b=（A．−2 B．−1 C．1 D．2解析：由Aa,2,−1和B−2,3,b，又点A，点B在直线上，所以AB=又m=3,−2,1也是直线一个方向向量，所以向量AB与向量为所以−2−a3=1−2=b+113．（2425高二上·河北石家庄·期末）已知平面α=P|n⋅P0P=0，其中点P0−1,2,5，平面A．1,2,3 B．0,3,6 C．1,1,1 D．0,0,0解析：对于A，P0P=则此点在平面α内，故A正确；对于B，P0P=则此点不在平面α内吗，故B错误；同理可判断，C、D错误，故选A4．（2425高二上·四川凉山·期末）平面α内三点坐标分别为A1, 0,−1, B−1,解析：由A1, 0,−1设向量m=x,y,z是平面所以AB⋅m=−2x+y=0AC故答案为：1,2,25．（2425高二上·海南·期中）已知平面α以n=−1,2,−2为法向量，且经过坐标原点O和点A2,a,2，则a=（

A．2 B．3 C．4 D．6解析：由n⊥OA⇒−1,2,−2⋅2,a,2=0⇒−2+2a−4=0故选：B6．（2425高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点A3,−1,−1，B5,4,−3，则（

A．AB为33 B．线段AB的中点坐标为4,C．点B到x轴的距离为5 D．直线AB的一个方向向量为−1,解析：对A，由AB→=2,5,−2对B，线段AB的中点坐标为3+52,−1+4对C，点B到x轴的距离为42对D，因为AB→=2,5,−2，且2−1≠1．空间中，点的向量表示在空间中，我们取一定点O作为，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示，向量称为点P的．答案：基点位置向量2．点在直线上的向量表示如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP=OA+3．点在平面内的向量表示如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP=OA+4．平面内的法向量直线l⊥α，取直线l的，则a叫做平面α的法向量.过空间点A