第07讲实数与近似值

思维导图第07讲实数与近似值思维导图一、实数的定义与分类实数是有理数和无理数的统称。有理数包括正有理数、负有理数和0，其中正有理数又可分为正整数和正分数，负有理数可分为负整数和负分数。无理数则是无限不循环小数，如圆周率π、开方开不尽的数（如√7）等。二、实数在数轴上的表示规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上的点与实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点也都表示一个实数。在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。三、相反数、倒数与绝对值1.相反数：实数a与a互为相反数，它们的和为0，即a+(a)=0。在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。2.倒数：若两个实数的乘积为1，则它们互为倒数。即，若ab=1，则a、b互为倒数。1和1的倒数都是它们本身，0没有倒数。3.绝对值：一个数到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“||”表示。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。绝对值具有非负性，即|a|≥0。四、实数的运算实数范围内，有理数的运算律都适用，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。实数的运算顺序为先乘方、开方，再乘除，最后加减。运算过程中，要注意数字的符号和运算顺序。五、实数的比较大小实数的大小比较可以通过数轴、求差或求商等方法进行。在数轴上，右边的数总比左边的数大。设a、b是实数，若ab>0，则a>b；若ab=0，则a=b；若ab<0，则a<b。对于正数，绝对值大的数较大；对于负数，绝对值大的数反而小。六、特殊实数的性质1.平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。2.立方根：一个数的立方根是指另一个数，这个数的立方等于原数。正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。3.无理数的性质：无理数具有无限不循环性，不能用分数表示，也不能开方得到整数或有限小数。一、近似值与准确值1.准确值：与实际完全符合的数据，称为准确值。2.近似值：与准确值相近的数据，称为近似值。通常用度量工具测出的长度、质量、时间、速度等数据都是近似值。二、近似值的精确度1.定义：近似值的精确度是指近似值与准确值的接近程度。一般地，一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。2.表述方法：（1）用数位表示，如精确到千位、精确到千分位等；（2）用小数表示，如精确到0.1、精确到0.01等；（3）对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg、精确到1m等。三、取近似值的方法1.四舍五入法：最常用的取近似值的方法。使用四舍五入法取近似值时，关键是看准精确度，需要注意的问题是近似值的舍入，只考虑精确度后面的第一个数字，且近似值小数点后末位数字是0时不能省略不写。2.其他方法：特殊情况下使用去尾法、进一法。四、科学记数法与近似值把一个绝对值大于10的数记做a×10^n的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即1≤|a|<10），n是整数，这种记数法叫做科学记数法。在取近似值时，如果需要，也可以将近似值用科学记数法表示。教材习题01请你写出一个比小且比大的无理数．∴比小且比大的无理数可以是．教材习题02若x是一个比大比小的有理数，则（写出一个满足条件的值）．教材习题03利用计算器比较和的大小．教材习题04用计算器计算（结果保留小数点后两位）：≈2.236−1.732＋0.145，＝0.649，≈0.65．≈1.817−3.142−1.414，＝−2.739，≈−2.74．教材习题05教材习题06(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？考点一、无理数1．下列实数是无理数的是（

）【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的概念，零指数幂，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．据此判断即可．【详解】解：A、1是有理数，不符合题意；B、是无理数，符合题意；D、2024是有理数，不符合题意；故选：B．【答案】2【分析】本题考查的是无理数的概念．熟练掌握和运用无理数的概念是解决本题的关键．无理数是无限不循环小数．根据无理数的概念求解即可．故答案为：2．3．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）．(2)求方格（图）中阴影正方形的边长．【答案】(1)阴影正方形面积为，阴影正方形边长为；(2)阴影正方形边长为．【分析】（）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可；（）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可；本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键．【详解】（1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为：所以，阴影正方形边长为；（2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为：所以，阴影正方形边长为．考点二、实数的分类【答案】A【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类方法分析即可．【详解】解：是负整数，0既不是正数，也不是负数，3是正整数，故选A．2．将下列各数进行分类（填序号即可）：正整数：______；分数：______；无理数：______．【答案】①⑤；④⑥；②⑦【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解题的关键．根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数，进行解答即可．正整数有①⑤；分数有：④⑥；无理数有：②⑦；故答案为：①⑤；④⑥；②⑦．3．把下列各数填入相应的括号里．(1)正实数：{

，…}；(2)负实数：{

，…}；(3)有理数：{

，…}；(4)无理数：{

，…}．【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．（1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可；（2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可；（3）根据有理数包括整数和分数解答即可；（4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可．考点三、在数轴上表示无理数1．如图所示，数轴上“？”表示的数有可能是（

）A． B． C． D．【答案】C∴符合x取值范围的数有，故数轴上“？”表示的数有可能是，故选：C．2．如图，在数轴上表示实数的点可能是．【答案】【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键．先估算的值，即可判断表示实数在数轴上的位置．∴在数轴上表示实数的点可能是点．故答案为：．(1)的值．(2)的长．【分析】本题主要考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的特点是解题的关键．（1）根据数轴表示实数，数轴上点的移动计算即可；（2）根据两点之间距离的计算方法即可求解．考点四、实数比较大小A． B．0 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查比较实数的大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，进行判断即可．故选：D．【答案】故答案为：．【分析】本题考查了实数的大小比较．考点五、估算无理数A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间【答案】B【分析】本题主要考查无理数比较大小，掌握无理数估算大小，比较大小的方法是解题的关键．根据无理数估算大小的方法即可求解．故选：B．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可求解．可以为，，……故答案为：，（答案不唯一）．3．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．(1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______．(2)请你阅读以下材料，并完成作答：根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______．(3)他不能裁出来，理由见详解【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．（2）解：由（1）得点B表示的数为，（3）解：他不能裁出来，理由如下：依题意，设长方形纸片的长为，∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，则长方形纸片的长为，∴他不能裁出来．考点六、求一个数的近似数1．用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（

）A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8【答案】C【分析】本题考查近似数．根据精确度的要求和四舍五入法，即可解答本题．∴用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为2.80，故选：C．【分析】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．把百位上的数字7进行四舍五入即可．3．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：(1)1.596（精确到0.01）(2)0.03057（精确到千分位）(3)（精确到万位）(4)60290（保留两个有效数字）【答案】(1)【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示：一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（1）根据近似数的定义求解即可；（2）根据近似数的定义求解即可；（3）根据近似数的定义求解即可；（4）根据有效数字的定义求解即可．【详解】（1）解：1.596精确到0.01为；考点七、求近似数的精确度【答案】B【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可．∴该数精确到万位．故选C．2．古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到．【答案】千位【分析】此题考查了近似数的精确度，根据最后一位是千位可得精确度．【详解】近似数2.9万精确到千位．故答案为：千位．3．指出下列各近似值精确到哪一位．(1)56.3(2)5.630(4)5.630万(5)0.017(6)3800．【答案】(1)56.3精确到十分位；(2)5.630精确到千分位；(4)5.630万精确到十位；(5)0.017精确到千分位；(6)3800精确到个位【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（1）所给数的数位最小到十分位，据此解答即可．（2）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可．（3）所给数的数位最小到万位，据此解答即可．（4）所给数的数位最小到十位，据此解答即可．（5）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可．（6）所给数的数位最小到个位，据此解答即可．【详解】（1）解：56.3精确到十分位；（2）解：5.630精确到千分位；（4）解：5.630万精确到十位；（5）解：0.017精确到千分位；（6）解：3800精确到个位．考点八、程序下的实数【答案】B【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，解题时要注意数值如何转换．∴还需再求4的算术平方根，∵4的算术平方根是2，2是有理数，∴还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是．是无理数，∴输出的值是，故选：B．2．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是．【答案】【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可．【详解】解：输入x的值是64时，因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，故答案为：．(1)当输入的x为时，输出的y值是______；(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；(3)若输出的y是，求x的负整数值．【答案】(1)；(2)1，2，3；(3)或．【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键．（1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可；∴当输入的为时，输出的值是；故答案为：；（2）∵0和1的算术平方根是它本身，∴所有满足要求的的值为1，2，3；故答案为：1，2，3；（3）若第1次运算是，∵为负整数，∴输入的值为；若第2次运算是，∵为负整数，∴输入的值为，∴的负整数值均为或．知识导图记忆【答案】D【分析】此题考查了近似数和有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．最后一位所在的位置就是精确度．先利用近似数的精确度求解，再用科学记数法表示即可．故选D．2．有一个数学常数叫“分割比”，它的值约为0.，将0.用四舍五入法精确到0.001的近似数为（

）A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618【答案】D【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．把万分位上数字0进行四舍五入即可．故选：D．3．下列四个实数中，最大的是（

）【答案】D【分析】本题考查了实数大小比较，解题关键是将所给的数排序．先将四个数从小到大排序，再找出最大即可．所以最大的是6，故选：D．4．如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（

）【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法，确定取值范围，对照数轴覆盖数的范围判定即可．故选：B．【答案】D∵记右侧最近的整数点为，∴点的数为2，表示的数为，表示的数为，故选：D．6．六亿零六十万零六十写作，改写成用“万”作单位是，省略万位后面的尾数是，精确到亿位是．【答案】60060006060060.0060万60060万6亿【分析】此题主要考查了整数的读法，整数的改写，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握．根据整数的读法和四舍五入进行改写即可得到答案．【详解】解：六亿零六十万零六十写作600600060，改写成用“万”作单位是60060.0060万,省略万位后面的尾数是60060万，精确到亿位是6亿．故答案为：600600060，60060.0060万，60060万，6亿．7．在大自然中充满着数学之美，向日葵上的螺旋线顺时针有21条，逆时针有13条，那么顺时针条数和逆时针条数的比值约为．（结果保留三位有效数字）【答案】【分析】此题考查了比．根据题意列式求出比值即可．故答案为：8．比较大小：2．（填“<”“=”或“>”）【答案】>故答案为：>．9．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是．【答案】【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可．【详解】解：输入x的值是64时，因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，故答案为：．【答案】【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．故答案为：．11．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数：【答案】(1)【分析】本题考查求一个数的近似数，熟练掌握四舍五入法，是解题的关键：（1）对千分位上的数字进行四舍五入即可；（2）对千分位上的数字进行四舍五入即可；（3）对十万位上的数字进行四舍五入即可；（4）对十万位上的数字进行四舍五入即可．12．下列各数精确到什么位？请分别指出来．(3)．(3)精确到百分位【分析】（1）根据近似数的定义及求解方法即可求解；（2）根据近似数的定义及求解方法即可求解；（3）根据近似数的定义及求解方法即可求解；（4）根据近似数的定义及求解方法即可求解．