专题1.3勾股定理的应用（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册（原卷版）

专题1.3勾股定理的应用教学目标1．利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题；2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。教学重难点1.重点（1）勾股定理的实际应用场景：理解勾股定理在解决实际问题（如测量距离、计算几何图形边长、判断直角三角形等）中的作用，能将实际问题转化为数学模型；（2）解题思路与方法：直角三角勾股定理。2.难点（1）实际问题的数学建模：将生活中的问题（如梯子滑动、蚂蚁爬行路径最短等）抽象为直角三角形问题，准确找到三边对应的实际意义；（2）立体图形与平面图形的转化：在圆柱、长方体等立体图形中，通过展开图确定直角三角形的位置，避免空间想象偏差导致的错误；（3）分类讨论与方程思想：当问题中边长关系不明确时，能运用分类讨论思想分析多种情况，并通过列方程求解未知数。知识点1：勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.【即学即练1】(1)请求出观测点C到公路的距离；知识点2：平面展开图最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【即学即练2】1．综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）题型01勾股定理应用之梯子滑落高度(1)求这架梯子的顶端距离地面的高度．(2)如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？(1)求的长；题型02勾股定理应用之旗杆高度【典例1】八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度．【变式1】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【变式2】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离为10米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．【变式3】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．(1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）；(2)请你求出旗杆的高度．题型03勾股定理应用之小鸟飞行的距离【典例1】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？题型04勾股定理应用之大树折断前的高度【典例1】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？【变式1】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断；(1)求这两棵树的水平距离；(2)求树的高度．题型05勾股定理应用之水杯中的筷子问题【变式1】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是cm．

题型06勾股定理应用之航海问题【典例1】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）【变式1】如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．

(1)表示出B地相对于C地的位置；(2)求A，C两地之间的距离．(1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)港口在港口的什么方向上？【变式3】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里．(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．题型07勾股定理应用之河的宽度(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）题型08勾股定理应用之台阶上地毯长度(1)求BC的长；【变式2】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？【变式3】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？题型09勾股定理应用之汽车是否超速问题【变式1】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？【变式2】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．

(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？题型10勾股定理应用之是否受台风影响问题(1)台风中心经过多长时间从点移到点？(1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由(2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度．(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．(1)台风中心经过多长时间从点移到点？题型11勾股定理应用之选扯距离相离问题(2)煤栈应建在距点多少千米处？(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长；题型12勾股定理应用之几何图形中最短路径问题【典例1】【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关．【实践探究】设计测量方案：第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米；第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米；第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况．【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度．(2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程．【变式2】【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．【变式探究】【拓展应用】【变式3】如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．A．

B．

C．

D．(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？1．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（

）A． B． C． D．2．在棱长为1的正方体中，顶点，的位置如图所示，处有一小虫，它沿正方体表面爬到点处，则小虫爬行的最短距离是（

）A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里6．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞．7．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为尺．8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为．(1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；(2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？13．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为．【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度．(1)用含的式子表示为_____；(2)请你求出旗杆的高度．14．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向．15．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度；【深入探究】【问题解决】（2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯