东北高考数学试卷

东北高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若函数$f(x)=\sinx+\cosx$的周期为$T$，则$T$的取值范围是（）

A.$(0,2\pi)$

B.$[2\pi,4\pi)$

C.$(2\pi,4\pi]$

D.$[0,4\pi]$

2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，向量$\vec{b}=(2,-1)$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，则它们的数量积是（）

A.$5$

B.$-5$

C.$3$

D.$-3$

3.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，第$10$项为$25$，则第$20$项的值是（）

A.$40$

B.$45$

C.$50$

D.$55$

4.已知函数$f(x)=x^2-4x+4$，则该函数的图像关于直线$x=2$对称，下列说法正确的是（）

A.函数在$x=2$处取得最大值

B.函数在$x=2$处取得最小值

C.函数在$x=2$处有极值

D.函数在$x=2$处没有极值

5.在直角坐标系中，若点$A(1,2)$和点$B(3,4)$在直线$l$上，则直线$l$的斜率是（）

A.$1$

B.$2$

C.$\frac{3}{2}$

D.$\frac{4}{3}$

6.若函数$f(x)=\lnx$在$(0,+\infty)$上单调递增，则函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上的单调性是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先递增后递减

D.先递减后递增

7.若复数$z=a+bi$满足$|z-1|=|z+1|$，则实数$a$的取值范围是（）

A.$[-1,1]$

B.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

C.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

D.$[1,+\infty)$

8.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_2=4$，则该数列的公比是（）

A.$2$

B.$-2$

C.$\frac{1}{2}$

D.$-\frac{1}{2}$

9.若函数$f(x)=\frac{x}{x^2-1}$在$x\neq1$时的定义域是$\mathbb{R}$，则该函数的奇偶性是（）

A.奇函数

B.偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数

D.无法确定

10.已知等差数列$\{a_n\}$的前$10$项和为$110$，公差为$2$，则第$5$项的值是（）

A.$12$

B.$13$

C.$14$

D.$15$

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，哪些函数在定义域内具有奇偶性？（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\frac{1}{x}$

C.$f(x)=\sinx$

D.$f(x)=\cosx$

E.$f(x)=x^2+1$

2.下列各点中，哪些点位于直线$y=2x-1$上？（）

A.$(1,1)$

B.$(2,3)$

C.$(0,-1)$

D.$(-1,0)$

E.$(3,5)$

3.若函数$f(x)=x^2-4x+5$在$x=2$处取得极值，则以下说法正确的是（）

A.函数在$x=2$处取得最小值

B.函数在$x=2$处取得最大值

C.函数在$x=2$处没有极值

D.函数在$x=2$处是拐点

E.函数在$x=2$处是拐点且取得极值

4.下列数列中，哪些数列是等差数列？（）

A.$1,3,5,7,\ldots$

B.$2,4,8,16,\ldots$

C.$-1,2,-3,4,\ldots$

D.$3,3,3,3,\ldots$

E.$1,-2,3,-4,\ldots$

5.下列命题中，哪些是正确的？（）

A.若$a>b$，则$-a<-b$

B.若$a>b$，则$a^2>b^2$

C.若$a>b$，则$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

D.若$a>b$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$

E.若$a>b$，则$a+c>b+c$（其中$c$为任意实数）

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的表达式为______。

2.已知复数$z=3+4i$，则它的模长是______。

3.函数$f(x)=\lnx$的导数$f'(x)$是______。

4.在直角坐标系中，点$(2,-3)$关于原点的对称点是______。

5.若数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=n^2+n$，则数列的第$10$项$a_{10}$的值是______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+12x-5$，求其在$x=2$处的导数$f'(2)$。

2.求解下列方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=11\\

3x-2y=7

\end{cases}

\]

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，求该数列的前$10$项和$S_{10}$。

4.设函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函数在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。

5.计算定积分$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+2)\,dx$。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题（每题1分，共10分）

1.C

2.A

3.A

4.B

5.D

6.A

7.B

8.A

9.C

10.A

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.A,C,D

2.B,C,E

3.A,D

4.A,C,D

5.A,E

三、填空题（每题4分，共20分）

1.$a_n=a_1+(n-1)d$

2.5

3.$f'(x)=6x^2-6x+9$

4.$(-2,3)$

5.$a_{10}=59049-1024=57925$

四、计算题（每题10分，共50分）

1.$f'(x)=6x^2-6x+9$，所以$f'(2)=6(2)^2-6(2)+9=24-12+9=21$。

2.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=11\\

3x-2y=7

\end{cases}

\]

通过加减消元法或代入法求解，得：

\[

\begin{cases}

x=3\\

y=1

\end{cases}

\]

3.数列$\{a_n\}$的前$10$项和$S_{10}=3^1+3^2+3^3+\ldots+3^{10}-2^1-2^2-2^3-\ldots-2^{10}$。这是一个等比数列减去一个等比数列的和，可以使用等比数列求和公式：

\[

S_{10}=\frac{3(1-3^{10})}{1-3}-\frac{2(1-2^{10})}{1-2}=\frac{3(3^{10}-1)}{2}-(2^{10}-1)=\frac{3(59049-1)}{2}-(1024-1)=\frac{3\cdot59048}{2}-1023=88572-1023=87549

\]

4.函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$在$x=1$和$x=3$处可能有极值，因此需要计算$f'(x)$并找出驻点：

\[

f'(x)=3x^2-12x+9

\]

令$f'(x)=0$，得$x^2-4x+3=0$，解得$x=1$和$x=3$。计算$f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1=4$和$f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3=0$。因此，函数在$x=1$处取得局部最大值4，在$x=3$处取得局部最小值0。

5.定积分$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+2)\,dx$可以通过计算不定积分然后应用牛顿-莱布尼茨公式来求解：

\[

\int(3x^2-4x+2)\,dx=x^3-2x^2+2x+C

\]

应用牛顿-莱布尼茨公式，得：

\[

\left[x^3-2x^2+2x\right]_{0}^{2}=(2^3-2\cdot2^2+2\cdot2)-(0^3-2\cdot0^2+2\cdot0)=8-8+4=4

\]

知识点总结：

-**选择题**：考察了函数的奇偶性、函数的图像与性质、数列的定义与性质、复数的性质、函数的单调性、函数的极值、直线方程、数列的求和、数列的通项公式等基本概念和性质。

-**多项选择题**：进一步考察了函数的奇偶性、数列的类型、方程组的解法、函数的极值、数列的求和等综合性知识点。

-**填空题**：主要考察了对基本公式和性质的掌握，如数列的通项公式、复数的模长、函数的导数、对称点的