高中数学竞赛真题分类汇编 专题6 数列（学生版+解析版50题）

竞赛专题6数列

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2020•江苏•高三竞赛）已知正实数〃，b,c满足他+A+ca=16（aN3）,则

2a+Z?+c的最小值为.

2.（2021•全国•高三竞赛）已知x,），eR,31+），2=3,则4/+冷，+丁的最大值为

3.（2022全国•高三竞赛）已知正实数4,。2,…MQ）满足4+%+…+〃2020=1，则

」^+工~+…+且-的最小值为.

4+生生+4内必+4

4.（2021・全国•高三竞赛）实数a、〃满足标十七2=],则，必Imax（a向的最大值是

5.（2021.全国.高三竞赛）已知圆。:%2+）,2=]与x轴相交于A、8两点，抛物线

C:f=2p），与圆。相交于C。两不同的点，则梯形A8CZ）面积的最大值是

6.（2020•浙江•高三竞赛）设a力＞0,则max|min«2a+b,,11=

Ia-+b-\)

223

7.（2021・全国•高三竞赛）设a力,。＞0满足a—〃+c+曲c=0,则-----不—+

a-+1Zr+1c+1

的最大值是___________.

8.（2021・全国•高三竞赛）设〃是给定的正整数，内,项,…也是非负实数，g＞,=l,

1=1

则E历*1的2*10最小值是.

/=1

9.（2021.浙江•高三竞赛）已知r+）,2+z2=i,则-3y2）+^221+75），）的最小值

为______

10-（2。“浙江•高三竞赛）使得萧盖g之而对一切正实数明。恒成立的女

最大实数为.

11.（2021•浙江•高三竞赛）若则函数y="i-3的最小值为

k447sinx+cosx

12.（2021・全国•高三竞赛）已知等腰直角APOR的三个顶点分别在等腰直角AABC的三

s

条边上，记"QR、的面积分别为1咿、S-则氏丝的最小值为

13.（2021・全国•高三竞赛）已知非负实数x、y、ZWJE4X2+4/+Z2+2Z=3,则

5x+4y+3z的最小值为.

14.（2021・全国•高三竞赛）已知两个非零向量范”满足冏=2,忻+2司=2,则

|2成+司+网的最大值是.

15.（2021・全国•高三竞赛）设三个不同的正整数久。、c成等差数列，且以/、/、炉

为三边长可以构成一个三角形，则。的最小可能值为.

16.（2021・全国•高三竞赛）设xy>0,且满足x—2"i工=267—），，则x+y的最

大值为.

2020|111|1____fli____

17.（2021・全国•高三竞赛）设正实数4,生，…，。20满足Z«=l，则I—。最

f=lI十乙/

*=|

大值为.

18.（2021•浙江•高三竞赛）一条直线上有三个数字q,生，％，数字%位于%,由之

间，称数值%-%|+包-蜀为该直线的邻差值•现将数字1-9填入3x3的格子中，每个

数字均出现，过横向三个格子、竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8

条直线的邻差值之和的最小值为.,最大值为

19.（2021•全国•高三竞赛）已知正整数〃、〃，且/*2,设正实数上，吗，…,叫满足

1

1,则叫叫…啊的最小值为

同1+/球

二、解答题

20.（2021・全国•高三竞赛）求所有的正实数。，使得存在实数工满足

/Mr之2.

21.（2021・全国•高三竞赛）设〃?为正整数，且〃=/+1,求所有的实数组

2nix~

使得内=1+对所有i=1,2,…，〃成立.

x\+考+…+片

22.（2021・全国•高三竞赛）求最大的正实数2,使得对任意正整数〃及正实数

玉），内，均有43

vh

A=O七y/十〜七

23.（2021・全国•高三竞赛）已知。<$<1（於{0，1,…,10}）证明：存在

Z,ye{0,l,2,---,10}，使得0<卬力,_$）〈.

24.（2020•浙江•高三竞赛）设非负实数％,V,z,证明：

I1I

------------------------------------------<----产.

x+y+z+3（x+l）（y+l）（z+l）6G

25.（2021.全国.高三竞赛）己知正实数4.b,c,满足〃+川=/,求证：

a2+b2-c2>6（c-a）[c-b）.

26.（2021・全国•高三竞赛）求所有实数〃，使得对任意实数a、》均有

yja2+pb2+Jb2+pa2>a+b+（p-\）\[ab.

27.（2021・全国•高三竞赛）求c的最大值，使得对任意的正实数X、八z,均有

£一一»[v）・其中"Z"表示轮换对称求和.

28.（2021・全国•高三竞赛）求所有实数xNLyNLzNl满足:

min{y[x+xyz,Jy+型,Jz+xyz}=Jx-1+Jy-1+\jz-1.

29.（2021・全国•高三竞赛）已知（（i=l,2,…是正实数,求证:

E七巧E

⑼<«=1

;?I1~~2

30.（2021•全国•高三竞赛）已知。也ce[-l,2],求证：abc+4>ab+bc+ca.

31.（2021.全国•高三竞赛）已知函数/3=（1-巧（9+灰+。卜目一1』，记|/（力|的

最大值为M（》,c）.当〃、c变化时，求”仇。）的最小值.

32.（2021・全国•高三竞赛）在平面内画出〃（〃之2）条直线，把平面分成若干个小区域,

其中一些区域涂了颜色.且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证

明：涂色区域的个数不超过纲+〃）.

33.（2021・全国•高三竞赛）设〃是一个大于等于3的正整数，当〃满足什么条件时，

对任意实数=1，2,L,〃）总成立：（4-%）（q--4）（。2-4）…

（%-q）+•••+（4一4）（«「生）…（q一〃“T）20.

34.（2021・全国•高三党赛）设出数/（xXad-r+o.i有三个止零点，求

/.、5。~—3ab+2日.“

g(a、b)=-7———的最小值・

a~(ba)

35.(2021・全国•高三竞赛)证明：对每个大于1的奇数〃，，arccos(1=)是无理数.

36.(2021•全国•高三竞赛)已知a.=Ls“=4+a,+…求证：

n

D〃eN+SM<4.

A=!

37.(2021・全国•高三竞赛)已知正实数〃、b、c满足/+/+/之3.求证：

3+1)S+2)q(〃+1)(。+2)q(c+1)(〃+2)>3

------------1-------------1------------三一.

(b+l)S+5)(c+l)(c+5)(a+l)(a+5)2

38.(2021・全国•高三竞赛)若数列4△寸?1,求证：存在无穷多个正整数〃，使得

。向>，”，并确定是否存在无穷多个正整数〃使得。向<4?(这里卜］表示不超过x的

最大整数)

39.(2021.全国.高三竞赛)已知椭圆C：\+工=@>()),点RQ在椭圆C上，瞒

a'a~

足在椭圆C上存在一点R到直线。尸、3的距离均为证明：|0斗|0。设空.

23

40.(2021・全国•高三竞赛)设X、)，、z均为非负实数，且满足：

(x+y-l)2+(y+z-l)2+(z+x-l)2=27,求5=/+./+z"的最大值与最小值.

41.(2021・全国•高三竞赛)对每一个正整数〃22,求最大的常数c”使得不等式

%£同&ZW一内|对任意满足14=。的实数6M2,…，巴成立.

/=!I<J；=1

42.(2021・全国•高三竞赛)已知正实数力,出，…吗(〃>2)满足％+出+…+%=1.证

陋生生6%…%.,。任…勺-1/1

2

*《+〃-2a2+n-2an+n-2(n-1)

43.(2021•全国•高三竞赛)已知4吗,1q为正实数(〃24),且满足

++求证：(q+l)(%+2)…(4+〃)之(〃+1)!.

44.(2021・全国•高三竞赛)设M={1,2,3,…,2%〃}(,〃皿e2)是连续2%〃个正整数组

成的集合，求最小的正整数上使得M的任何女元子集中都存在〃?+1个数

4M2,…，满足ai\aM«=1,2,…,m).

45.(2021•全国♦高三竞赛)设/,心，…4(〃之2)为正实数,求证:

46.(2021.全国•高三竞赛)已知4M2,…4>°，求证:

(q+/+%)(%+%+《)…(4+4+回,g".

(4+%)4+%>,,(%+%)

47.（2021•全国•高三竞赛）设正实数4M2,…,内9满足对任意1«三，499有

j%+iajNi+j,求证：(4+1)3+2)…(如+99)2100!.

48.(2021・全国•高三竞赛)已知4M2，L«eR,且满足+♦••+4=1,求

M-61+1%—%1+L+|。1一4|十|4一4|的最大值.

49.(2021•全国•高三竞赛)设=1,2,…,〃

其中求和是对1，2，…，〃的所有C：个攵元组合hJ…%进行的，求证:

2之2+1•(4=1,2,­••,/?-1).

50.(2021•淅江•高二竞赛)设x,y.z>0,&+6+G=\、

42，d422

x+yz~y+z~x~(z+y~x~

证明~+-5+-5>1

x?(y+z));(Z+K)z'(.y+x)

竞赛专题6数列

(50题竞赛真题强化训练)

一、填空题

1.(2020•江苏•高三竞赛)已知正实数〃，b,c满足他+A+ca=16(aN3),则

2a+b+c的最小值为.

【答案】10

【解析】

【详解】

解析：易知恒等式。*+<而+仪>+ca=(a+〃)(a+c),而

2a+b+c>2j(++Z?)(a+c)=2>/a*2+\6>2,9+16=10>

当且仅当。-3,Z?=c=2时，等号成立.

故答案为：10.

2.(2021・全国•高三竞赛)已知乂)，€&3/+),2=3,则4/+冲+)，的最大值为

【答案】£9

【解析】

【分析】

【详解】

4d+冲+)，2«4/+A-+2_+/=2当且仅当X=y=土且时取到等号.

2

故答案为：£9

3.(2021・全国•高三竞赛)已知正实数4M2,…Mam满足4+生+…+%凶=】，则

二一+*-+…+'^-的最小值为.

q+生外+/。烟+4

【答案】y##0.5

【解析】

【详解】

由柯西不等式知

[(4+"2)+(%+/)+…+(〃222O+/)]“：+/+…+对四

14+生生+6/02+%

“q+/+…+3)2=1，

且(4+4)+(4+%)+…+(d2020+4)=2,所以——+——+…+——之；

4+ciya&+^^2020+42

IL当4=%=…=。2020=2Q20时取到等号•

故答案为：y.

4.(2021・全国•高三竞赛)实数义人满足/+〃=］,则而+max{a,纣的最大值是

【答案】业

4

【解析】

【详解】

解析：不妨设OWaW。，则：

a<b=>f=ab+bnf'=(«+1)2(1-d2)=-(l+«)*45(3-3«)

/(3+3。+3-3〃丫27

3I4)16

当H仅当，=1,〃=遮时等号成立，

22

故/的最大值为迪，

4

故答案为：史.

4

5.(2021・全国•高三竞赛)已知圆O：f+)，2=］与大轴相交于A、8两点，抛物线

C:/=2〃y与圆。相交于C、£>两不同的点，则梯形A8CD面积的最大值是

【答案】也

4

【解析】

【详解】

解析:设点C(x,y),x《O,l),则梯形的面积为(l+x)y,

而f+>2=］消元，可得面枳为s=(i+x)jj二7,

—当且仅当x=!时等号成立,

故S2=(1+X)3(l-；

162

故面积最大值为主叵.

4

故答案为：毡.

4

6.（2020•浙江•高三竞赛）设，,。>。，则max「Tiin,2a+〃,/■，，）=

【解析】

【详解】

b\2a+b>m

设mi“2a+/?，F~~则《b

所以nr<（2a+b）xJ.

a~+b

设给定的正实数％,〃，

匿:"，解得华八与，所以八岁.

令

则2<2"+/<万/+〃2〃2+〃2=而2+(〃2+］)/［逐十］

'一片+〃——77P—=77P=~2~,

2VV5+1

当且仅当飞m+历，心时等号均成立,

,24石-1+、/石+1

故机的最大值为

故答案为:

923

7.（2021・全国•高三竞赛）设。也。>0满足〃一〃+c+Mc=0,则一r-1+2

a~+1b+\c+\

的最大值是,

【答案】y

【解析】

【详解】

A1BC

取AABC,使a=lan—=tan—,c(an—

2b22

1.A1.1.C

由于r_7=cos'7=sin-T，_—7=sl,r2T

a~i12Ir\12c2I12

所以2cos2—-2sin2—+3cos2—

222

=(1+cosA)-(l-cosB)+3(I-sin2予)

=2sin-cos-^—^+3|1-sin2-

2212

A-行c12A—3

+3+-cos-

32

最大值为3+；二号.

故答案为:y.

8.(2021・全国•高三竞赛)设〃是给定的正整数，牛毛,…是非负实数，£芍=1,

i-1

则Z府R的最小值是.

r=l

【答案】0+(〃一1)

【解析】

【详解】

先证明J%+1++I>Jx+W+I+1'①

事实上，两边平方后，化简可得上述不等式等价于

x2+2^(X)+l)(2x2+1)>2J%++1,②

由于(M+l)(2.q+l)2不+修+1，于是②式成立，所以①成立.

类似可证明Ji+W+1+>/3X3+1-J%+£+刍+L…

最后可得>,、/次+1之Jz%+(?z—1)=5/2+(/!—I)

当x=1,占=七=…=%=。时，③中的“N”即为“=

所以最小值为后+(〃-1).

故答案为:\/2+(n—1).

9.(2021•浙江•高三竞赛)已知J+y2+z2=i,则4(工2-3)，2)+?221+6)，)的最小值

为•

【答案】-I

【解析】

【分析】

【详解】

因为M=x(工2-3y2)+：z2(x+百y)=(x+Gy)卜一+

=-Jx'+25/5孙+3y2A2-yfixy+—z2l

\2)

3

(,r2+2s/3.^+3/)-^r2->/3.ry+|z2Wx2-V3.ry+|z2l'

>-----------------------------------------------------=-1■

3

当x=T,y=z=O时，取得最小值—i.

故答案为：-I.

10.(2021•浙江•高三竞赛)使得之旅对一切正实数”,〃恒成立的攵

(k+3)(a+b)

最大实数为.

【答案】9

【解析】

【分析】

【详解】

w,3(a2+b2)+2k

不妨设=1，则有」----------->1,

伏+3)(。+。)

t=a+b,t>2\[ab=2.则有ci2+b2=(tz+b)2—2ab=r—2.

则有3(产-2)+2ZN(A+3",

整理得3/一伏+3)f+2Z—620.

即有(3/-3))(1-2)NO.

k-3七一3

则t>三恒成立，则有胃V2#N9.

故答案为：9.

II.(2()21•浙江•高三竞赛)若x/W，。],则函数y=4s：nxcosx+3的最小值为

<447sinx+cosx

【答案】2&

【解析】

【分析】

【详解】

2（/_）+3=工2/2&，

ttt

当且仅当2/=1即/=立时取等号.

t2

故答案为：2母.

12.（2021・全国•高三竞赛）已知等腰直角/QR的三个顶点分别在等腰直角AA8C的三

条边上，记dQR、的面积分别为山因，则沁的最小值为

【答案】g

【解析】

【分析】

【详解】

（1）当APQR的直角顶点在AA8C的斜边上，如图I所示，则P,C、Q,R四点共

圆，ZAP/?=ZCQR=180°-^BQR,所以sinZAPR=sinN3QR.

在△APR、△BQR中分别应用正弦定理得©=.，器=..

sinAsinZAPRsinBsinZ.BQR

又ZA=/B=452PR=QR,故AR=BR,即/?为A4的中点.

过R作R〃J_AC于"，则PRNRH=，BC,

2

图1图2

（2）当APOR的直角顶点在AAAC的直角边上，如图2所示.

i殳BC=1,CR=x（0<x<1）,NBRQ=a（0va</）,

贝ijZCPR=90°-ZPRC=ZBRQ=a.

CR

在R^CPR中,PR=,在△ARQ中,

sinasine

x3

BR=\-x,RQ=PR=——,NRQB=7T-/QRB-4B=-7T-a,

sina4

x

RQ_RB。嬴一\-x

由正弦定理,-S—✓一isin"因比

sin"sinNRQB4吟3

sin-7r-a

44

2

X11

s-PR2=-

°aPQR221sinaJ21cosa+2sinaJ

SjQR_

这样,

-(1+22)(cos2a+sin2a)5'

^AABCcosa+2sinaJ

,PQR的最小值为］

当且仅当a=arctan2时取等号，此时々

J^ABCJ

故答案为：-

J

13.（2021・全国・高=竞赛）已知非负实数x、y、z满足4f+4y2+z2+2z=3,则

5x+4y+3z的最小值为

【答案】3

【解析】

【分析】

【详解】

设4f+4)3=M(卬20),则M+(z+l)2=4.又因为x,y?(),

所以（2x+2yf=4x2+4y2+Sxy>w2,5x+4y+3z>4x+4y+3z>2w+3z.

点（叫z）在圆心为（0,-1）,半径为2的圆上运动,

结合几何意义和卬，z20知，当（w,z）=（0,l）时，2卬+3z有最小值3,

且当x=y=0,z=l时等号成立.

故答案为：3.

14.（2021.全国•高三竞赛）已知两个非零向量所，疗满足网=2,忻+2同=2,则

|2册+同+同的最大值是_____.

【答案】史

3

【解析】

【分析】

【详解】

i5/»=(2,0),/n+2>?=(2cosx,2sinx),则”=(cosx-l,sinx),则：

I27H+>21+1n|=J(COSX+3)2+sin2x+^cosx-l)2+sin2x

=V10+6cosx+V2-2cosx

=>/3^-y+2cosx+V2-2cosx

WJ(3+l)管+2cosx+2_2cosx)

=---■

3

当且仅当?+2cosx=3(2-2cosx),即COSX=1M,等号成立.即最大值为强.

333

故答案为：唯.

3

15.(2021・全国•高三竞赛)设三个不同的正整数。、b、c成等差数列，且以/、b\c5

为二边长可以构成一个二角形，则〃的最小可能值为.

【答案】10

【解析】

【分析】

【详解】

设。=〃-攵,。=〃+&为正整数，由于以/、F、d为三边长可以构成一个三角形，

则S-女)5+6>S+幻5=尸>10b“k+20必内+2k5,

所以。5>10/以力>10火，

于是a=。一&>92,即有a29Z+lN10.

故答案为：10.

16.(2021・全国•高三竞赛)设xy>0,且满足x—2石垣=2厅7-)，，则x+>的最

大值为.

【答案】12

【解析】

【分析】

【详解】

注意至ljx+y=2(>/X+24-V7+4)<2j2(x+2+)，+4),

解得TWx+”12,

而x=7,y=5时取到最大值12.

故答案为：12.

2020min

17.（2021・全国•高三竞赛）设正实数4%，…M2020满足\＞，=1，则14K2020区最

i=l

大值为

【答案】1一忐7

【解析】

【详解】

1

解析：最大值为1-

j

XVV

、S-min-,X.=1+^67A,XO=1|/C<i~~i-I_1r-IH)

记I夕£20201+*4g,则q=七一七一|,故33----i-—,艮J

k=\

I-5,对，=1,2,3,・・、2()20,

求和，并结合算术-几何平均不等式,

_2020r2020

有2020(2020x2020_2020

2啜―20202

l-ixi

故S“।一本，等号当q=（"蚯）'—（"）啦）i（i=123,…，2020）时取到.

所以原式的最大值为1一成豉.

故答案为：1-忐

18.（2021•浙江•高三竞赛）一条直线上有三个数字4,和，%，数字%位于%，%之

间，称数值何-蜀+包-蜀为该直线的邻差值.现将数字1~9填入3x3的格子中，每个

数字均出现，过横向三个格子、竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8

条直线的邻差值之和的最小值为,最大值为.

【答案】3660

【解析】

【分析】

【详解】

如图I,这8条直线的邻差值之和：

9

M=小2-4田。2-%|+|4-叫+同一丹|+|。4一⑷+同一％|+|%一%|+|。6-%|+2网一火|，

1=1

利用局部调整法，当4=i(i=l,2,...,9)时,M有最小值2+2+2+6+6+6+8+4=36.

8oxg

当如图2排列时，M有最大值、＞+(9+8-2-3“2=一1+24=60.

/-I2

故答案为：36,60.

952

416

378

19.(2021・全国•高三竞赛)己知正整数〃、P,且〃22,设正实数犯，吗，…，叫满足

-----7=1，则"…?的最小值为_______.

7tl+w/

【答案】(〃-/

【解析】

【分析】

【详解】

/兀、

=tan2xx€0,—J=1,2,.

p/k2，

由题设可得cos?内+cos:/+…+cos?=1,于是：

222

cosXj+cosx,+•••+costly=sinxn,

2222

cos?$+cosx2+•••+cosxn_2+cosxn=sinx”，，

2222

cosx2+cosx3+•••+cosxn=sin%,

将上述各式利用均值不等式得：

22

(〃-1)"0cos?%cosw…cos?xn_i<sinxn,

22222

(n-O^^cosXjcosx,­--cosxn_2cosxn<sinxn_x,

,r2222

(n-l)^cosx2cosx,­--cosA;,<sinxt,

再把上述〃个不等式相乘，得

2222

（〃一1）”（cos：x}cosx2…cos?）<sinx]sinx,••­sinxn,

222

HPtanxi（anx2--lanx”>（〃-1）”.

由于〃?：=tanFi=L2,…,〃,故叫巧…犯？（〃_"，

当且仅当码=（〃_lj时上式等号成立.

故答案为：（〃_15・

二、解答题

20.（2021・全国•高三竞赛）求所有的正实数”，使得存在实数大满足

H产2上・

【答案】，与^^口,一）

【解析】

【详解】

设/=消心，则不等式化为1+且_220.

/

2

当0<avl时，/GL«,1]:

当〃=1时，/=1；当时，te[\.a2].

因此不等式可化为一-2/+〃之（）.

设/⑺=产-2+a,考虑/（，）在1和力之间恒小于零，则/⑴

[«<1

成'（4_℃+[_1）<0，

解得正二所以。的取值范围是[0,l」]uU,+8）.

2I2J

21.（2021・全国•高三竞赛）设机为正整数，且〃=>+1,求所有的实数组

冷声,…/”，使得七二I+F―------7，对所有1=1，2,…成立.

再+X2+…+—

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

第一步化简原式，第二步利用AM-GM不等式即可得到k=l或〃?2,这两种情况是对

称的，不妨证明k=l的时候成立，所以原式成立.

【详解】

由已知三="瓷」=L2,…,〃得由=答,故桀全相等.

2AMX/T七一1

J=i

注意到若实数#〃满足金=三，则必=。+〃，即。=3.因此/二]，

a-\b-\b-\b-\]

b=O,i=1,2,•••»/1.

设巷中有7^7，〃-A="「+1一4个〃,则有OK&K〃P+]

且

b-\

2mb

k——---+(/??2+1-2)/=

3-1)21)h-\

BP—+(〃L+1-%)(〃-1)=2m.

b-\

由AM-GM不等式，若0〈女＜/〃2+l,

片+（，/+1—火'匕一1）之2水"+1）＞2m,

因此必取等，即A=1或等,这两种情况是对称的,不妨女=1,则

1,

---+=2m,

b-\

知Z?-1=——,则。=----,a=m+1.

inin

若女=0,则（"产+1卜〃-1）=2〃?，即〃=（'〃：.[a=（m+厅.

'/m~+12m

北,21milm2+1cnnz（"z+D?（m+\）2

若”=〃?-+l,贝IJ-----=2〃？，即b=-------,a=--——.

b-1Imm"+1

综上可知，…，/要么I个切+1,〃?2个生Ll；要么仝是（用：1）.

mm~+1

22.（2021・全国•高三竞赛）求最大的正实数％,使得对任意正整数〃及正实数

为小,…，七,均有Z：=…4丫・・

【答案】见的最大值为3.

【解析】

【分析】

先取.%=占=1,七=2,七=4,…,/=2”马，通过对其求和可得4的范围，再利用放缩法

111333

可得一+一+…+一之一^+上,+…+上上上，最后求出最大的正实

%再X”%+演Xo+X1+X2玉,+再+…+X”

数义的值.

【详解】

"方面,取X。=芭=1,项=2,X?=4,…"i"=2"',得

3-产12这”尹1

乙hlL

UP

令〃f8,得4W3.

114

另一方面对正实数X,^--4--^—故

11、4

——+—>-----,

%内与+内

114

-----+—>----------,

XQ+$X2/+Kj+X-

11、4

------------------------------1--------2--------------

X

%+X1+x2彳30+X1+改2+对

]

•%+再+•••+%,-Z/+$+…+怎

以上各式相加，得

33

+---------+••+-------------

玉）+$+超工。+2+…+X”

故4=3时，原不等式恒成立.综上，4的最大值为3.

23.(2021・全国•高三竞赛)已知0<x1Vl(他{0,1,…,10})证明：存在

i,/w{0,L2-一,10},使得。〈为彳/卜/一七”].

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

不妨X<^<...<%10,设/(乙力=七弓(学一七)，

当0W/410时,因为3xix/^x/-x,)<(x；+xixj+£)卜厂七)=x；-g,

即3f)<引—*当且仅当i=/时，等号成立.

1010I

故Z3f(T"卜Z(k-吭”1，所以存在y1,2,…,10},使得3/(1,”白，即

r=1r=l10

—)4.

所以存在i,je{0,1,2,...,10),使得0<x,Xj(x--x.)<^.

24.(2020•浙江•高三竞赛)设非负实数％,九z,证明：

]______________1_______1

x+y+z+3(x+l)(y+l)(z+l)66'

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

x+\=a

证设•y+l="〃21,〃21,cAl),

z+\=c

问题等价于证明：一［------

a+b+cabc6。3

当a+b+cN6石时,不等式显然成立;

故即证：abc<野—)其中3va+b+c<6>/3.

6\J3-(a+b+c)

而用°4号£

设。+8+c=x(xN3),探究］与舒土在［3,+66)的大小,

即比较，与得、在［3,+6右)的大小,

Y66_/(6痒幻-162G

2765/3-x--27(66一x)

注意

^2(6V3-X)=-X-X-(1273-2X)<--工+“+(12百-2q=966<1620,

22|_3

所以命题得证.

25.(2021・全国♦高三竞赛)已知正实数〃、b、c,满足〃3+//=。3,求证:

a2+b2-c2>6(c-a)(c-b).

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

由于齐次，不妨令c=l，则(。+份〃-必)=1.

ii'.a+b=s,ab=t.s'—3st=1,5,/>。=s>1

22

a+c

1

/3

-(2

\35

37135

-33X

-I8+su

37/

,

又由基本不等式可得1=/+厅飞_［(4+初3,故a+bw孤〈J,

45

Q1

故s<一,所以—(8—5s)(s—1)->0,因止匕a"+Zr—>6(c—4)(c—/?).

53s

26.(2021・全国•高三竞赛)求所有实数〃，使得对任意实数〃、人均有

击2+pb2+Qb，+pa2>a+b+(p-\)4ab■

【答案】p的取值范围是［0,3］.

【^¥析】

【详解】

易见a、b同号.

令则必20,所以“20.

令a=。=1,则2"1+p>I,所以0〈p<3.

卜面说明当pe［0,3］时,原不等式成立.

若pw［0,l］,则Na,J，+pa221,(〃一1)7^〃0，所以原不等式成立.

若1<〃43,则(〃一1)而K(〃一

因为y1a2+pb2+yjb2+pa2>yj(a+b)24-(a+b)2p=\a-^b\Jl+〃,

以及〃+〃+(p—l)疯wm+》|+(p_l).斗+

又因为1<〃K3,所以|0+以672，・1。+”.

于是原不等式也成立.

综上所述，〃的取值范同是［03.

27.(2021・全国•高三竞赛)求c•的最大值，使得对任意的正实数X、八z,均有

21->>/242盯2-［尸)')，其中“Z”表示轮换对称求和.

［答案］(*"也加一1，

22

【解析】

【分析】

【详解】

注意到ZtV-ZVynN—y)(y—z)(z-x),由不等式的轮换对称性，不妨设工最小,

贝iJy=x+a,z=x+〃，其中所以，原式等价于：

x3+(x+a)3+(x+Z?)3-x(x+a)2-(x+a)(x+Z?)2-(x+p)x2>c(b-a)ab,

化简得2x(。'+//)+/+b'—ab?>c(b-a)ab.

由/一加/2且x可无限接近于0,得-加之以力-。)油,对“N0成

立.

Xay+b3-ab2>0»为了求c的最大值，可不妨设〃>〃>().

令1=2>1,p-r+i>c(t-i)f,

a

....r*—厂+11.,、

设/⑺=I~~=7-rr+'”>i)，

。一1”(r-1)/

2f—10”\2((2-IfT("I))：。

则f'。)=J(/)=

((^1)¥((/-DO3

所以r⑺在/ea,”)上严格单调递增.

(]丫(1、

而/⑺=0=r-2/+/-2/+1=0=>t+~t)-2/+；-1=0,

解得j=0+T+J20T,所以/⑴在[7应+1+，0T

上单调递减，在

2I2

丘+1+,2丘,由、田,甘孑吊

---------------,+8上单倜速增.

",,八J二+1+也•及-1(3+0)卜A~~~1

故/(%=/---------------=--—V2V2-1--,

(7

所以，c的最大值为912©J2&-1-'.

22

28.(2021・全国•高三竞赛)求所有实数“NLyNLzNl满足:

min{yjx+xyz,Jy+xyz,^z+xyz]=Jx-l+dy-l+Jz-l.

【答案】*,y,z}=i+|二/|,1+广,1+4，其中/>o.

]j+i~Ji

【解析】

【分析】

【详解】

记x=1+/,)，=l+/\z=1+m2,不妨OWkW/W〃z,

于是有Jl+3+(1+&?).+4)(1+〃/)=k+l+m.

平方整理得(/+1)(加一»+出+•-1产=0,

于是有〃〃=1,〃?+/=:,

K

所以/==-^—J=Jy-l.

Il~+1

相应的x=1+尸=)+「l,z=1+nV=.

Ay-l

由x«y，即)广+y—1W))0(y—l)~