高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、泥物线

2009年考题

1.[2009湖北高考）已知双曲线（b>0）的焦点，则b=（）

A.3B.V5C.V3D.y/2

选C.可得双曲线的准线为x=±9-=±1,又因为椭圆焦点为（土,4一从,0）所以有\]4一护=1.即1）2=3故b=G.

2.《2009陕西高考）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

【解析】选C.将方程转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须

满足且，故选C.

3.（2009湖南高考）抛物线的焦点坐标是（）

A.（2,0）B.（-2,0）C.（4,0）D.（-4,0）

【解析】选B.由，易知焦点坐标是，故选B.

4、（2009全国I）已知椭圆的右焦点为右准线为，点，线段交于点，

若£4=3五&则|4尸|=（）

（A）y/2（B）2（C）G（D）3

【解析】选A.过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意，故,又由椭圆的第二定义，得.

5.（2009江西高考）设和为双曲线（）的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.3

【解析】选B.由tan—=—=避~有3c2=4b2=4（c2一"）,则e=£=2.故选B.

62b3a

6.12009江西高考）过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为1）

A.B.C.I）.2

【解析】选B.因为，再由有从而可得，故选B.

7、（2（H）9浙江高考）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若，则

双曲线的离心率是（）21世纪教

A.B.C.I）.

【解析】选C.对于，则直线方程为，直线与两渐近线的文点为B,C,

，则有，

因2A6=5C,「.4a2=b\:.e=4i

8、（2009山东高考）设双曲线的一条渐近线与抛物线y-x1.只有一个公共点，则双曲线的离心率为.

b

xvby=­x

【解析】选D.双曲线一7-r=1的一条渐近线为y=-X,由方程组a，消去y,

a~b-a

y=x2+\

得x?—x+1=0有唯一解.所以A=（一）~—4=0,

aa

所以,.故逸D...

9、（2009山东高考）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面程为4.则抛物线

方程为.

【解析】选抛物线）/二（。=的焦点坐标为则直线/的方程为

B.ar0）F（0,0）,y=2（x--）9

44

它与）、轴的交点为A（°，一?），所以△OAF的面积为gI?I.151=4,解得a=±8.所以抛物

线方程为.故选B...

10、（2009安徽高考）下列曲线中离心率为理的是（）

2

222，,、

（A）--^1=1（B）--21=1（C）£--£=1（D）£._£=1

244246410

【解析】选B.由得，选B.

11、（2009天津高考）设双曲线的虚轴长为2,焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）

41

Ay=±vr2xBy=±2xcy=±xDy=±—x

-2

【解析】选C.由已知得到，因为双曲线的焦点在X轴上，故渐近线方程为.

12.（2009宁夏、海南高考）双曲线•=1的焦点到渐近线的距离为（）

（A）2G（B）2（C）V5（D）1

X1y2r-|\/3x4-0

【解析】选A.双曲线一--=1的焦点（4,0）到渐近线），=yJ3x的距离为d=i-----------=2>/5,选A.

4122

13.（2009宁夏、海南高考）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（l,0）,直线1与抛物姣C相交于A,B两点。若

AB的中点为（2,2）,则直线的方程为.

【解析】抛物线的方程为,

4缶，），1）,8（%2，%）,则有不工务，,\4"

5=4与

两式相减得，K-）片二4（%—天）,.•.比』=」一:1

y+必

.••直线1的方程为y-2=x-2,即产x

答案:y=x

14.（2009湖南高考）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角

为60,则双曲线C的离心率为.

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长,是焦半距，

且一个内角是，即得，所以，所以，离心率

答案:----

2

15.（2009上海高考）已知、是椭E1（>>0）的两个焦点.为椭圆上一点.且.若的面积为9,则

【解析】依题意，有,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3。

答案：3

16.（2（H）9重庆高考）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围

为.

【解析】方法1,因为在中，由正弦定理得

则由已知，得，即

设点由焦点半径公式，得则记得由桶E1的几何性质知，整理得

解得>,故椭圆的离心率

方法2由解析1知P4=£pp,由椭圆的定义知

a

，由椭圆的几何性质知2ac-a2>0,所以以下同解析1.

答案：—

17、（2009四川高考）抛物线）3=4X的焦点到准线的距离是.

【解析】焦点（1,0）,准线方程，二焦点到准线的距离是2

答案：2

18、（2009北京高考）椭回的焦点为，点P在椭囱上，若，则；的大小为.

【解析】V2,

:.c=yja1—b~=19-2=x/1,

二归周二2g.

又，.•・，(第19题解答图)

又由余弦定理，得，

:.,故应填.

答案：2,120、

石

19、(2009广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在X轴上，离心率为一广,两个焦点分别为F,和£,椭圆G上一点到

2

片和F2的距离之和为12.圆Q：%+)2+2kx-4)，-21=0(ZW/?)的圆心为点

⑴求椭圆G的方程

⑵求A4人/1尸2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

【解析】(1)设椭圆G的方程为：()半焦距为c;

2a=12

4二6

则£=走，解得＜L,./=/_/=36_27=9

~a~~2c=3V3

..所求椭圆G的方程为：.21世纪裁T.

(2)点的坐标为(-k,2)

SVA/F2忻用x2=1x6＞/3x2=

(3)若，由＞0可知点(6,0)在圆夕卜，

若,由＞0可知点(-6,0)在圆外：

不论K为何值阅C.都不能包国椭00G.

20、(2009重庆高考)已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率,是椭圆上的动点.

(I)若的坐标分别是，求的最大值：

(口)如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，.求线段的中点

的轨迹方程;

【解析】(I)由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为(a>b>0).

设,由准线方程得.由得，解得a=2,c=,从而b=l,桶80方程为.

又易知C,D两点是椭圆的焦点，所以，

…从而，当且仅当，即点M的坐标为时上式取等号，的最大值为4.

(II)如图(20)图，设

.因为，

故7=2%,.%=%，

4+因=(2%)2+4=4①

因为QA。BA=0,

(1_勺一")・(1--%)

=(l-xe)(l-xB)+yeyB=0,

所叫出+为%=凤+々_1・②

记P点的坐标为，因为P是BQ的中点

又因为，结合①，②得

%+£=W((4+4)2+(为+%)2)=X(城+X」+yQ+yj+2(XQXN+”外))

13

=—(5+2(XQ+xff-1))=—+Xf,

1、.

故动点p的轨迹方程为(不一耳)’+)广=1

21.(2009重庆高考)已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为

,离心率.

(I)求该双曲线的方程；

(II)如题(20)图.点的坐标为,是圆上的点，点在双出线右支上，求的最小

题(20)图

值.并求此时点的坐标;21世纪敕育网

【解析】(I)由题意可知，双曲线的然点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由

得解得从而，该双曲线的方程为；

(II)设点D的坐标为，则点A.D为双曲线的焦点,

所以是圆上的点，其圆心为，半径为1,故-1,从而

当在线段CD上时取等号，此时的最小值为

直线.CD的方程为，因点NI在戏曲战右支上，战

4/-/=4-逐+4夜4后-4夜

由方程姐《解得x

y=-x+J53

-6+4夜4>/5-472

所以M点的坐标为()；

33

22.12009山东高考)设椭圆E:(a,b>(D过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,

(D求椭圆E的方程:

(II)是否存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A.B,且？若存在，写出该圆的方程，并

求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。

【解析】(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,

4211

^-8"：=8椭圆E的方程为《+£=1

所以16一解得所以《

/?2=484

b+F=1-1-=—1

lb24

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且，设该圆的切线方程为解方程组

得，

即[1+2k2)x2+4knr+2in2-8=(),

则△=16_4(1+2公)Q加2-8)=8(8/一〃/+4)>0,即83一机？+4>()

4km

…二一强

2/?r-8

产(2*一8)4k2nr

22、〃厂一8人~

X>2=+m)(kx2+ni)=kx]x2+km(xt+x2)+m工1=-------

1+2-1+2公1+2-2

2

Inr—8in—Sk^rc2o»o八

要使OAJ.08,需使x1x2+y%=0，即------=0,所以377r—8攵~—8=0,

1+2%1+2公

nr>2

所以G=———§之0又8&2­，〃2+4>0,所以，8、2>/6,>2>/6

，所以_.即m>-----或，〃<--------，因为

83TW2>8333

直线y=左1+〃1为圆心在原点的圆的一条切城.

帆

m1_nr_82V6

所以圆的半径为r=

Jl+公—

、,8,、2#2#

所求的圆为厂+）广二一.此时80的切线y=kx+m都满足m>-----或m<--------

333

而当切线的斜率不存在时切线为与桶EI的两个交点为或满足，粽上，存在圆心在原点的圆，使得该E1的任意

一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

4km

因为《

2m2-8

人也二巾了

4灯〃2_2〃F-8_8(8/一〃入4)

所以()-x)2=(x+x24x

X2]2)-4x^2=(1+2F)--1+2公-—(1+2公尸-

IAB|=&一步+住一力『=J（l+-）（％—々尸=\1（1+/）衅温；4）

V\1।乙K）

卜24“4+55=_/32k2

vT4F+4?+T-vT+4&、止+J'

321

—[1+-------：——

J34二+/+4

因为4A2+'7+4之8所以0<------匕------<-,

匕4炉+』+48

k2

3232,,1

所以一<—[1+--------------]<12,

33八%

k2

②所以，当且仅当时取“=”

4x/6

当人二（）时AB|=

丁

④当AB—存在时,两个.（半，半）或（一半J乎）…时"一半

练上，|AB|的取值范,图为<|A51<2百即：|A6怕[^\/6,2>/3]

2008年考题

1.（2008全国n）设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

【解析】选B.由题意，所以，由双曲线的定义，

有,・•・.

2.12008全国D）设，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A.B.C.D.

【解析】选B.,因为是减函数，所以当时

，所以，即

3.12008辽宁高考）已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（）

4./B.2C.31）.4

【解析】选1）.9y2-m2x2=1（〃?>0）=>〃=4力=’，取顶点（0，!）,一条渐近线

3m3

.|-3x|l2

iw:-3y=0,•/-J：=]Dnnr+9=25m=4.

5J-+9

4.（2008辽宁高考）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点A的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

A."Z及3C.y/5

【解析】选A.依题设尸在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为人则尸（右0）.依抛物线的定义知夕到该抛物线准线的

距离为|PP'H2用，则点P到点>4（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和

+=植2+22=限

5.（2008江西高考）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.B.C.D.

【解析】选C.由题知，垂足的教迹为以焦距为直径的圆，则<b2=a2-c2=>r<|

又ec（0,1）,所以ee（0,J）.

6.（2008湖南高考）.若双曲线（a>0,b>0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离

心率的取值范围是（）

A.(7,2).B.(2,+)..C.(l,5).L).(5,+)

【解析】选B.ex0-a=ex^a-a>—+^a,=>3e~-5e-2>0.:.e>2或e<-g（金去），

2czJ

/.ee（2,+ac）,故选B.

7、（2008湖北高考）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球.在月球附近一点P变轨进入以月球球心F

为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在

P点第三次变轨进入以F为圆形轨道DI绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和H的焦距，用和分别表示椭圆轨道I

和II的长轴的长，给出下列式子：

①%+q=4+©a；②4-q=a2-c2；（§）〃臼；④土v上■.其中正确式子的序号是（）

a\ai

A.①@C.①逸）O.②@

【解析】选B.由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确.故应选B.

8、（2008北京高考）若点P到直线的距离比它到点的多1,则点P的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【解析】诜D.把到直线向右平移一个单位.两个距熟就相等了.它就是抛物线的定义。

9、（2008北京高考）“双曲线的方程为£一2二1”是“双曲线的准线方程为刀=±?”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.双曲线,的准线,方程为，但当双曲线方程是时，其准线方程也为.

10、（2008福建高考）双曲线（a>0,b>0）的两个焦点为FKF2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取

值范围为（）

A.（I3）氏（1,3]C.（3,+8）D.[3,+oo）

【解析】选B.如图，设，，当P在

右顶点处，

另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线.也可用焦

半径公式确定。与c的关系。

11.（2008海南、宁夏高考）双曲线的焦距为（）

A.B.C,D.

【解析】选D.由双曲或方程得，于是，选D.

12.（2008海南、宁夏高考）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点

P的坐标为（）

A.B.C.I）.

【解析】选A.点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线,准线,距离，

如图，故最小值在三点共线时取得，

此时的蚁坐标都是，所以选A。（点坐标为）

13.（2008山东高考）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差

的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（）

A.B.C.D.

【解析】选A.对于椭圆,曲线为双曲战，,标准力椁为：

14.（2008上海高考）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（）

A.4B.5C.8D.10

【解析】选D.由椭圆的第一定义知|历1+11=2。=10.

15.（2008四川高考）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）

（A）4（5）8（C）16（D）32

【解析】选也•・•抛物线的焦点为，准线为・•・

设，过点向准线作垂线，则

V,又

・•.由得，即，解得

...MPK的面积为B|K/HN）I=Jx4x4=8故选B

乙乙

16.（2008天津高考）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为（）

（A）6（B）2（Q1（D）

【解析】选B.由椭B）第一定义知，所以，椭圆方程为

所以,选B.

17、（2008天津高考）设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）

A.B.C.D.

【解析】选B.本小题主要考查抛物线、椭圆的方程及几何性质.由已知，抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A.C,

由排除D,故选B.

18、（2008四川高考）已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于（）

（A）24（«）36（C）48⑺）96

【解析】选C.方法1:•・•双曲线中・•・

V|PF21=1FXF2I・•・IPG1=2a+\PF21=6+10=16

作边上的高，则

・•・州记写的面积为I产kI•I尸乙|=4x16x6=48故选C'

方法2:\•双曲线,中

设，则由得

2

又•・•？为C的右支上一点・・・2--4=1/.y0=16(^--l)

9ID9

・•・k-5)2+16(%-1)=100即25x；+9G与-819=0

解得$=§或而=一手＜0(舍去)

­­%』6(孝-1)116[停飞—1]=竽

:.NPRF2的面积为:|月巴|♦|为|=:xIOx芈=48.故选C.

19、（2008浙江高考）若双曲线£-与=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离

a~b'

心率是（）

(A)3(B)5(C)G(D)石

【解析】选D.本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，

则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离为，

依题即,

，双曲线的离心率e=C=J5.选。

a

_2

20、（2008重庆高考）已知双曲线三一与=|（«>0,/»>0）的一条渐近线为），=公伏>（））,离心率e=&h则双曲线方

a~b-

程为（）

A.B.C.D.

【解析】选C.,，所以.

21.（2008重庆高考）若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为（）

A.2B.3C.4D.

【解析】选C.本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为：，抛物线,的准线,方程为，所以，解

得：，故选C。

22、（2008浙江高考）已知为椭圆的两个焦点.过的直线交椭圆于、两点，

若,则.

【解析】本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线,过椭圆的左焦点.在中，

,又.・•・

答案：8

23.（2008天津高考）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线,与圆C相交于两点，且，射圆C的方程

为

【解析】抛物线,的焦点为，所以圆心坐标为，，

圆C的方程为％2+（丁-1）2=10

答案：x2+（y-l）2=10

24.（2008山东高考）已知81.以E1与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准

方程为

【解析】圆。：/+）,2一6X一4），+8=0当y=0=>x2-6x+8=0,将圆C与坐标轴的交点分别为（2,0）,（4,0）,则

a=2,c=4,廿=12,所以双曲线的标;隹方程为《一片"=।

25.（2008江苏高考）在平面直角坐标系中,椭B1的焦距为2c.以O为圆心.为半径作81.若过作圆的两条切线相

互垂直，则椭圆的离心率为

【解析】设切线PA.PB互相垂直，又半径OA垂直于PA,所以

△OAP是等腰直角三角形，故，解得.

答案：号

26.（2008上海高考）若直线经过抛物线的焦点，则实数.

【解析】直线ar—），+1=0经过抛物线）尸=4工的焦点尸（］,o）,则。+1=。/.。=一1.

答案：-1

27、（2008全国I）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角彩面积

为

【解析】由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为，则以这三点国成的三角形的面积为

答案：2.

28、（2008全国I）在中，，.若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率.

【解析】（一）设,则，由余弦定理得：

AC=^4c2+4（?2—2x4c2cosB=甲c,/.2a=2c+晔=号,/.G=^,:.e=—=^

3333a8

（二）设，则

AC=^f2a=l+N，2c=l,e=2J.

3332a8

答案：.

29、〈2008重庆高考)如题(21)图，M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足:

(I)求点P的轨迹方程;

(II)设d为点P到直线,1:的距离，若，求的值.

【解析】(D由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.

因此半焦距c=2,实半轴a=l,从而虚半轴b=,

•)

V

所以双曲线的方程为炉--=1.

3

(H)方法一：

由⑴及图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2,①

知|PM|>|PN|.故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2…②

将②代入①，得2||PN|2-|PN卜2=0,解得|PN|=，所以

1+VT7

|PN|=---.

因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,

1

所以d=一|PN|,因此

2

|PM|_21PMi_41PN|2

二4|PN|=1+JI7

d\PN\|PN|

方法二：

设P(x,y),因|PN|1知

|AW|=2|P,V|2>2|PN|>|PN|,

故P在双曲线右支上，所以x1.

由双曲线方程有炉=3必・3.

因此

2222

|PN|=7(x-2)+y=yl(x-l)+3x-3="丁-4(+1.

从而由|P，W=2|PNF得

2x+l=2(4x2-4x+l),即8x2-10x+l=0.

5+Vn5+717

所以x=--------------(含去x=---------------).

88

+9+V17

有|PM|=2x+l=--------------

4

11+V17

d=x--=.

28

故皿丝乜―=1+历

d41+V17

r-\广

30、(2008湖北高考)已知双曲线C：r一一=1(。>0/>())的两个焦点为

crb~

F:(-2,0),F:(2,0),点尸(3,J7)的曲线c上.

(I)求双曲线。的方程；

(II)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

若AOEF的面积为272,求直线I的方程

【解析】(I)方法1：依题意，由a2+b2=4,得双曲线方程为(OVa2V4),将点(3,)代入上式，得.解得a2=18

(舍去)或“2=2,

X2-

故所求双曲线方程为———=1.

22

方法2:依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=\PF\\—\PFi\-J(3+2)2+(疗)2-J(3—2)2+(夕)2=2A/2,

Aa2=2,b2=c2-a2=2.

厂y-

・・・双曲线c的方程为------=1.

22

(11)方法1:依题意，可设直线I的方程为旷=1<'+2,代入双曲线C的方程并整理,

得(l-k2)x2-4kx-6=0.....................①

•・•直线,/与双曲线,C相交于不同的两点£、F,

口一女2w0,[k*±1,

••[A=(—4A)2+4X6(1-A:)2>0,总

Ake(-)U(L).....................②

设E(xl,yl),F(x2,y2),则由①式得xl+x2=于是

2

I痔l=/(*-x2)+(必一%产=J(l+/)(西一工2尸

2国3-炉

=Vl+P・J(X[+%)2_4芭々=Jl+&2・

|1一公1

而原点o到直线/的距离J=..

22日3-/

：•S&OE，u-心|“|=1・3.户.2行E

22|1一公||1一公|

若SAOEF=,

即2收,3:匕=2叵=kA―甘-2=(),解得A=±四,

H—公1

满足②.故满足条件的直线I有两条，其方程分别为丫=和

方法2:依题意，可设直线1的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,

得（1一产）/一软*一6=。.①

;直线1与比曲线C相交于不同的两点E、F,

1一42工0,伙工±1,

・・△=（-4k）2+4x6（1-％2）>0,[-43<k<43.

；・&&（--\/3,-1）u（i,y/3）.②

设E(xl,yl),F(x2,y2),则由①式得

石_2/月下

\xx-X2\=J(7+々)2―4%与

I"广|1—日

当E、F在同一支上时(如图1所示)，

S.\OEF=\S\OQF'-SXOQE\=—IOQI•||X]I—Ix211=—IOQI•IA1—x2I；

当E、F在不同支上时(如图2所示)，

S\OEF=SAOQFTS\OQE=-I0。I・(|/[I+I/2I)=/IOQI•I戈1一工2I,

糅上得SAOEF=,于是

由|OQ|=2及③式，得SAOEF=.

若SAOEF=2，即，解得k=±.满足②.

故满足条件的直线I有两条,其方程分别为丫=和产

31.（2008四川高考）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为,是上的两个动点,

（I）若，求的值;

（II）证明：当取最小值时，与共线。

【解析】由与，得

,的方程为

设.”(夜〃，yj,N(42a,%)

〃，必，入N=1当a必

则=

由.居N=0得

3,

②

③

由①、②、

故Q=2,/?=-^==>/2

222

(II)|A/N『=(y-H丫=y,+JS-2yiy2>-2y]y2-2yly2=-4yly2=6a

当且仅当或时，取最小值

(2"z,y+必,（））=2时

此时，RM+F?N=〃，X+心必

故片M+gN与£居共线。

2007年考题

1.（2007全国I）已知双曲线的啕心率为2,焦点是，，则双曲线方程为（）

A.B.C.

【解析】选A.已知双曲蝶的离心率为2,焦点是,，则c=4,a=2,，双曲线,方程为，选A。

2.12007辽宁高考）双曲线的焦点坐标为（）

cD.

【解析】选C.因为a=4,b=3,所以c=5,所以焦点坐标为,,选C.

3、(2007四川高考)如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2,那么点到轴的距离是()

(A)(B)(C)2#(D)2道

33

【解析】选A.由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上.又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距

高是，双曲线的石准线方程走，故点到轴的殂离走.

4.(2007陕西高考)抛物线的准线方程是()

(A)4j+l=0(B)4x+l=0(C)2/+l=0(D)2x+l=0

【解析】选A.P=,准线方程为y=，即，选A.

5.(2007天津高考)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为(