高中数学：周末练习2（周末用）

杭师大附中2021学年高二第一学期周末练习（2）

班级姓名

一、单项选择题.

i.下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

②若向量人1，cB满足前>小，且7%与cB同向，则A%>cb；③若两个非零向

量4%与cb满足A5+C3=6，则cb为相反向量；④A%=cb的充要条件是A

与。重合，B与。重合.其中错误的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件4="第一枚出现奇数点"，事件B="第二枚出现

偶数点”，则4与8的关系是（）

A.互斥B.互为对立C.相工独立D.相等

UUIU1

3.如图，在平行六面体ABCO-A片GA中，丽;=a,AB=b^AO=c点2在AQ上,

且A,P:PC=2:3,则而=().

32-2

B.—a+—b+—c

555

322

D.-a--br---c

555

4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随

机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（）

33八612

A.—B.—C.—D.—

5102525

5.已知小，〃是两条不同的直线，a,。，丫是三个不同的平面，（）

A.若机〃〃，〃ua,则m〃aB.若〃_La,〃仁则a〃P

C.若a_Ly,P±y»anp=〃?，则〃?_LyD.若加ua,〃ua,〃〃P，贝Ua〃P

6.如图，在正三棱柱ABC-AIBIG中，AB=AAif则异面直线4G与45所成

角的余弦值是

A.0

r瓜

L•------

4D-T

7.若满足NAC8=30。，8。=2的△ABC有且只有一个，则边A8的取值范围是

A.[1,2)B.{1|U[2,+oo)C.(2,+oo)D.[2,+oo)

8.已知MN是长方体外接球的一条直径，点?在长方体表面上运动，长方体的

棱长分别是1,1,日则丽・丽的取值范围为

C.4uD.

二、多项选择题

9.已知i是虚数单位，复数z=(1-/)i,则()

A.z的实部为-1B.z的共视复数是1-/

C.\z\=2D.z2=2i

10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，(

A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为鼻，石，则,＜石

B.若甲、乙射击成绩的方差分别为sE.靖，则“〈华

C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数

D.乙比甲的射击成绩稳定

11.正方体的棱长为2,£F,G分别为的中点.则

A.直线RD与直线A尸垂直

B.直线4。与平面AE厂平行

9

C.平面AE/截正方体所得的截面面积为T

D.点A和点D到平面AEF的距离相等

12.在aA6c中，D,£分别是BC,AC的中点.，且8C=6,4)=2,则

A.△/WC面积最大值是12B.cosB>—

3

C.|而+词不可能是5D.诟

三、填空题

13.已知一组数据：15,17,14,10,517,17,16,14,12,则该组数据的众数是.

14.四棱锥P—A8CD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若

AE=xAB+2yBC+3zAP,则工十，十二等于,p

15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5,现采用随机/\>\

模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：回勺_\c

用计算机产生0〜999之间的随机整数，以每个随机整数户

/IB

(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表

三次投篮的结果，指定数字0，1，2,3,4表示命中，数字5,6,7,8,9表示未命中.

如图，在R软件的控制平台，输入“sw叩/e(0：999,20,replace=F)”,按回车键，得到

()〜999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的

概率为.

>sample(0:999,20；replace=F)

[1]8486337617283091680755606543

[11]24723538440S9S55714021345862

19.在中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2c-a=2bcosA,b

=3.

(I)求B的大小；

(II)若a=6，求ZiABC的面积;

(III)求上的最大值.

a+c

20.如图，四棱台AB。。-EVGH的底面是矩形，EH=DH=1,AD=2,44=4,AD1DH.

(I)证明：4C_L平面OCG；

(II)设平面O8G与平面的交线为/,求直线/与平面8CG所成角的正弦值的取

值范围.

参考答案

一、单项选择题

1.下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同：

②若向量/，cB满足我＞己，且7%与同向，则③若两个非零向

量/与cb满足=则第Tcb为相反向量；④的充要条件是A

与C重合，8与。重合.其中错误的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A="第一枚出现奇数点"，事件B="第二枚出现

偶数点”，则A与8的关系是（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

解：由题可知，抛掷法枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，

①（奇数，奇数），②（奇数，偶数），③（偶数，奇数），④（偶数，偶数），

事件A="第一枚出现奇数点"={①，②},

事件8="第二枚出现偶数点”={②，④},

两个事件不相等，排除。，

Ans#0,所以不是互斥事件，排除A,B,

21

C选项，事件A="第i枚出现奇数点"，P（A）=?=』，

02

31

事件4="第二枚出现偶数点"，P（8）=?=4，

o2

事件48="第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点"，P（/W）=学区=±,

364

满足P（AB）=P（A）•尸（3）,

所以事件A和事件B是相互独立.・事件，

故选：C.

3.如图，在平行六面体ABC。一A［中，/LA,=a»AB=b»AO=c点?在4。上,

且AP:PC=2:3,则4户=().

%

23-3

A.1十二b+YB.—a+—b+—c

555555

22-33_22_

C.--a+-b+-cD.—a——br——c

555555

【答案】B

【分析】

根据空间向量的运算法则，化简得到A户+—+—即可求解.

555

【详解】

因为4P:PC=2:3,可得入户二一4乙，

5

______2__2___

根据空间向量的运算法则，可得A户=44+4户=44+—4。=4<+彳（4。—/1<）

3——2一3—►2—一3——2一一►3——2—*2—►

=-AA+-AC=-AA.--（AB^BC）=-AA^-（AB+AD）=-A\+-AB+-BC,

5i5555y5555

又由AA]=。，AB=b，AD=c^

一32-2

所以AP=-4十一。十一乙

55

故选：B.

4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随

机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（）

A3D3「6n12

5102525

解：设摸出的2个球颜色不同为事件A,

•・•基本事件总数“=5X5=25,

事件4包含的基本事件数为C；C；C：=12,

:・P（A）=票，

ZD

故选：D.

5.已知/〃，〃是两条不同的直线，a,0,y是三个不同的平面，（)

A.若"?〃〃，〃ua,则〃z〃a

B.若〃_1_£1,〃L〃，则€(〃0

C.若aJ_Y，P-Ly»aOp=w,则卅_Ly

D.若加ua,〃ua,〃?〃仇〃〃仇则a〃0

解：〃?，〃是两条不同的直线，a,p»丫是三个不同的平面，

对于4,若机〃〃，/iua,则〃?〃a或〃?ua,故A错误；

对于B,若nla,mup,〃J_〃?，则a与0相交或平行，故4错误；

对于C,若a_Ly,P±Y，。口0=小，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得犷_1_丫，

故C正确：

对于D若〃?ua,〃ua,阳〃0,〃〃0,则a与0相交或平行，故。错误.

故选：C.

6.如图，在正三棱林ABC-A山Ci中,AB=AA\,则异面直线AC与48所成角的余弦侑

返D¥

解：由题意可知正三棱柱A8C-AIBIG中，所有楼长相等，设校长为1,

AC，AB

11(丽+A]C；)•(不+IS)=-l+0+3+y

则cos<ACpA]B>

一I记11不「近乂近—

=:---1

4,

・•・异面直线AG与A由所成角的余弦值

4

故选：B.

7.若满足NACB=30°,4C=2的△A8C有且只有一个，则边A8的取值范围是()

A.[I,2)B.{1}U[2,+8)c.(2,+8)D.[2,+8)

解：•・•满足NAC力=3(T,8c'=2的△A〃C有且只有一个，如图，A3_LAC,或A832,

BB

：.AB=\或4B22,

・•・边AB的取值范围是{l}U[2,+8).

故选：B.

8.已知MN是长方体外接球的•条直径,点。在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是

1，I，叵,则崎・丽的取值范围为()

A.总。

B

二、多项选择题

9.已知i是虚数单位，复数z=(1-z)i,则()

A.z的实部为-1B.z的共挽复数是1

C.|z|=2D.z2=2i

解：因为z=(1-7)i=1+z,

所以z的实部为1,故A错误，

z的共规复数为1-，，放8正确,

|z|=d]2+]2=框,故C错误，

z2=(1+Z)2=2。故。正确，

故选：BD.

10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，()

B.若甲、乙射击成绩的方差分别为配2,则sFV舐2

C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数

D.乙比甲的射击成绩稳定

解：甲射击测试中6次命中环数为：6,7,8,9,9,10,

乙射击测试中6次命中环数为：5,5,6,7,7,7,

甲、乙射击成绩的平均数分别为印，甲、乙射击成绩的方差分别为5巴父2,

则(9+10+6+7+9+8)=8.17,

16

-1

X=TX(6+7+5+5+7+7)=6.IP

26

所以X[>x2>

故选项4错误；

由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，

所以S»>S22,乙比甲的射击成绩稳定，

故选项错误，选项。正确；

甲射击成绩的中位数为等=7.5,乙射击成绩的中位数为等=6.5,

故选项C正确.

故选：CD.

11.正方体A8CO-的楂长为2,瓦£G分别为8C,CG，84的中点厕()

B.直线AG与平面AE产平行

9

C.平面AE/截正方体所得的截面面积为一

2

D.点4和点D到平面AEF的距离相等

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据异面直线所成角的定义判断A,由面面平行的性质定理判断B,作出完整的截

面，判断CD.

【详解】因为A。//。。，而GC与A尸显然不垂直，因此。。与Ab不垂直，A错；

取用G中点H,连接A，,G〃，BC]f由G,瓦尸分别是阴,BC,CG中点，得

HG//BC,//EF,

又HEHBB、U.HE=BB[=AA,是平行四边形，所以A”〃AE,

AEcEF=E，AE,EFu平面AEF,所以A"〃平面A七尸，HG〃平面AM,

而4Hn〃G=H,A",HGu平面4"G,所以平面4"G//平面AEF，

又AGu平面4"G,所以AG//平面AM.B正确；

由正方体性质，连接尸则截面A所即为四边形它是等腰梯形,

AD、=2O,EF=0,DF=AE=B等腰梯形的高为

甲E耳等

截面面积为S=，x（Ji+2五）X逑=2,C正确,

222

设4Oc4A=O,易知。是A。的中点，所以A，。两点到平面AET"的距离相等.D

正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的性质.考查异面直线所成角的定义，面面平行的性

质定理，考查正方体的截面问题.在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截

面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而

完成求解.

12.在△AAC中，D，E分别是BC,AC的中点，且BC=6,AD=2,则（）

A.6c面积最大值是12B.cosB>—

3

C.国+弱不可能是5D.

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断；B选项结合余弦

定理与均值不等式即可判断；c选项将而十而表示为g方，结合平面向量的

数量积的定义以及运算律，求得|而十屁，即可判断；D选项将丽.而表

23____

示为二二-灰•万4k,进而求出范围即可判断.

2

【详解】设“1BC中,角洋民。所对应的边分别为a,b,c,

A：SAliC=-ah=-x6xh=3/2<3AD,当ADJLBC时，等号成立，所以△A/C面

积最大值是6,故A错误:

8mxE=Ud+5

B：在△A3。中,

2x3xAB6A86TAB

ADS

当且仅当=——,即A8=后时，等号成立，故B错误;

6648

C：而+丽=一丽+丽+丽+亚

=BD+-AC

2

=DC+^(Z)C-CA)

=-DC--DA

22

|而+而|2=|3反一，丽2=2反?+」方2—3皮京=过一3觉.丽，因为

1।|2244242

4912P

\DC[\DA=6,所以Od・2k(-6,6),所以,5+班^£，则

了工

\AD^BE故C正确:

D：丽=（而+函一通=（|万一;+DX=|DC+1DA,KAC=Z)C-ZM，

4Z

所以而.〃=（1反+g丽）（反—丽）

=9反2」丽2反丽

22

3不

23/1135、

又因为ZXSD4«-6,6）,所以5一友•方xq万,U，故D正确;

故选：BD.

三、填空题

13.己知-一组数据：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,则该组数据的众数是17.

解：该组数据从小到大排列为：

10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

这组数据出现次数最多的是17,所以众数是17.

故答案为：17.

14.四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱尸C的中点，若

AE-xAB+2yl3C+3zAPt贝ijx+y+z等于.

12

因为通=通+或+区=通+抚+加=砺+比+（衣-通卜

所以2第=AZ^+BC+A户,所以4百=3人4+；8d+；村户，所以

11

X==

2-2-3Z

解得x=一,〉=一,z=—,所以x+），+z=—+—+—=一，故选：B.

24624612

15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投

篮恰有两次命中的概率：用计算机产生。〜999之间的随机整数，以每个随机整数（不足

三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0,I,2,

3,4表示命中，数字5,6,7,8,9表示未命中.如图，在R软件的控制平台，输入“sa〃汹e

（0：999,20,replace=F）”，按回车键，得到0〜999范围内的20个不重复的整数随

机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_义_

>sample(0：999,20,replace=F)

[1]S4S63376i72830916S0755606543

[11]24723538440S9855714021345S62

解：在20个不重复的整数随机数中，

表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：

633,309,16,543,247,62,共6个，

・•.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为:

尸=且=父_

2010,

故答案为：

16.已知四面体人的所有棱长均为4,点。满足OA=O8=OC=O。，则以。为球心,

后为半径的球与四面体A8CO表面所得交线总长度为姿兀

O

解：•・•正四面体4・BC。的中心与球心O重合，正四面体的棱长为4,

取C。中点E，连结BE,AE,过A作A”_L底面BCD,交BE于F,

则4£=4sin60°=2第，

33

・".=加2田2=¥，

又（A/-。尸）2=0尸-8产，・・・。/=返，

3______________

由球的半径知球被平面截得小圆半径为「=’（后产一（除）2=竽.

而△4BC的内切圆半径为华，

3

故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，

・•・正四面体表面与球面的交线的总长度为：4X2兀x型=里互九.

故答案为：工婆m

3

四、解答题（

17.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.己知甲

9Q

每次击中目标的概率为等乙每次击中目标的概率为*

（I）求甲两次都没有击中目标的概率；

（II）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率.

解：（I）设甲两次都没有击中目标为事件4

991

则〃（4）=（1.争（1■母）=点

（II）设甲、乙恰好各击中一次目标为事件以

•・•甲恰好击中一次目标的概率为C；x*x（1-善）=共

乙恰好击中一次目标的概率为C；x9x（1-4）=日

/448

4?1

，甲、乙恰好各击中一次目标的概率为〃（8）=£><得=!.

986

18.如图，三棱柱AAC-AMG中，“，N分别是AH，81G上的点，且m7=24",

B

（1）试用，B，；：表示向量面V；

(2)若N胡C=90。，ZBA4,=ZCA4,=60°,A8=AC==1,求MN的长及MN

与AC所成的角的余弦值.

【来源】江苏省扬州市第一中学2020-2021学年高二上学期教学质量调研评（2）数学试题

【答案】(1)MN=5〃+§〃+§c；(2)|A/yv|=-

【分析】

（1）由于砺=国+宿+不，结合空间向量的线性运算法则即可得结果;

（2）根据空间向量数量积的运算法则，求|丽|的平方即可得结果.

【详解】

(1)丽=碉+而+空=-两+/+-函

33

=_;荏+;您+/+|回_/)

=-AB4--A4+AC

33"

XAB=a»AC=b»AA,=c,MN=-ci+—b+-c.

(2)♦:AB=AC=AAi=I,/.«=S=|c|=1.

VZBAC=90°,Aa^=O.

VZBAA]=ZCAAi=60°,：.ac=h-c=^,

|Af/v|="(〃+B+C)="卜+B+c+2aZ?+2ac+2^c)=^,

・“砌=容

【点睛】

本题主要考查了空间向量的线性运算，利用向量的数量积求线段的长，考查了学生的计算能

力，属于基础题.

19.在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为小b,。，且2c-〃=2/?cos4,b=3.

(1)求B的大小；

(II)若a二日,求△A8C的面积：

(III)求上的最大值.

a+c

解：(1)因为2c-〃=2bcosA,乂「二}二F,

sinAsinBsmC

所以2sinC-sin4=2sinBcosA,

所以2sin(A+B)-sinA=2sinBcos,

所以2sinAcosB-sinA=0,

因为AW(0,n),sinA#0,

所以COSB=£,

可得B=j

o

(II)因为b2=a2+c2-ac>所以c?--6=0,

所以c=2立，

所以AABC的面积为S=与csinB=W返.

22

(III)由。2+。2-讹=9,得(a+c)2=9+3ac,

因为acW，(a+c)：所以(a+c)2<9+-|(a+c)2,

44

所以3Va+cW6(当且仅当a=c=3时取等号).

2

设f=〃+c,则任(3,6],所以a上c=主二电

a+c3t

设/⑺=1L±=A(广9),

3t3t

2

则/(f)在区间(3,6］上单调递增，所以/(f)的最大值为/(6)=5,

所以，上的最大值熄■.

a+c2

20.如图，四楼台A3CO-E/G〃的底面是矩形，EH=DH=\,AO=2,A6=4,ADA.DH.

(I)证明：8C_L平面DCG；

(II)设平面DBG与平面ADHE的交线为/,求直线I与平面BCG所成角的正弦值的取

值