高中数学必修第二章知识点+习题+答案

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1平面含义：平面是无限延展的

2平面的画法与表示

(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450,且横边画成

邻边的2倍长(如图)

(2)平面通常用希腊字母a、8、Y等表示，如平面平面B等,

也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的

大写字母来表不，如平面AC.平面ABCD等。

3三个公理：

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在

此平面内

符号表示为

AFL[/A7

BeLJ二，La乙-------------/

Aea

Bea

公理1作用：判断直线是否在平面内

(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面。，

使AWa、Bea.Ceao

公理2作用：确定一个平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,则它们有日只有一条过该点的公共有线.

符号表示为：pean0=>aA3=L,且P《L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：可一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a〃b}=>a〃c

c〃b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都

适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相

等或互补

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为了简便，点0

一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角0e(0,);

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互

相垂直记作aJLb；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成

的角。

—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1.直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内一一有无数个公共点

（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行一一没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aa来表示

aCaaAa=Aa〃a

2.2.直线、平面平行的判定与其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条

直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

b正=>a〃a

a〃b

平面与平面平行的判定

1.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平

面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

aCr

b二Ba

aAb=PB〃a

a〃Q

b〃a

2.判断两平面平行的方法有三种:

（1）用定义;

（2）判定定理;

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1.定理.：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此

平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

3〃Q}

aPa//b

aCB=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。

符号表示：

a〃B►

aPly=aa//b

BCly=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定与其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L

与平面Q互相垂直，记作L_LQ,直线L叫做平面a的垂线，平面a

叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫

做垂足。

T

2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直。

注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可

忽视；

b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”

互相转化的数学思想。

平面与平面垂直的判定

1.二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所

组成的图形

2.二面角的记法：二面角0-1-8或Q-AB-B

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则

这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1.定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另

一个平面垂直。

第二章点、直线、平面之间的位置关系

A组

一、选择题

1.设，为两个不同的平面，1,m为两条不同的直线，且

1,m,有如下的两个命题：①若〃，则1〃叱②若1

±m,则±.则().

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命

题

C.①②都是真命题D.①②都是假命题

2.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是

().

A.BD〃平面CB1D1

B.AC11BD

C.AC1,平面CB1D1

D.异面直线AD与CB1角为60。

3.关于直线m,n与平面，有下列四个命题:

①m〃,n〃且〃则01〃11；②m_L,n_L

且_1.，则m±n；

③m_L,n〃且〃则m±n；④m〃,n_L

且，则m〃n.

其中真命题的序号是（）.

A.①②B.③④C.①④D.

②③

4.给出下列四个命题:

①垂直于同一直线的两条直线互相平行

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线11,12与同一平面所成的角相等，则11,12互相平行

④若直线11,12是异面直线，则与11,12都相交的两条直线是

异面直线

其中假命题的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

5.下列命题中正确的个数是（）.

①若直线1上有无数个点不在平面（（（内，则1〃（

②若直线1与平面（（（平行，则1与平面（（（内的任意一条直线都

平行

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一条

直线也与这个平面平行

④若直线1与平面（（（平行，贝IJ1与平面（（（内的任意一条直线都

没有公共点

A.0个B.1个C.2个D.

3个

6.两直线11与12异面，过11作平面与12平行，这样的平面

（）.

A.不存在B.有唯一的一个C.有无数个

D.只有两个

7.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶

点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为

（）.

A.90°B.

60°C.

45°D.

30°

8.下列说法中不正确的是（）.

A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B.同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直

线都在同一个平面内

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9.给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和

这个平面相交，则这条直线和交线平行

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条

直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面，则这两条直线互相平行

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则些两个平面互

相垂直

其中真命题的个数是（）.

A.4B.3C.2

D.1

10.异面直线a,b所成的角60。，直线a_Lc,则直线b与c所

成的角的范围为（）.

A.[30°,90°]B.[60°,90°]C.[30°,

60°]D.[30°,120°]

二、填空题

11.已知三棱锥P—ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两相互垂直，

且三个侧面的面积分别为SI,S2,S3,则这个三棱锥的体积

为.

12.P是aABC所在平面外一点，过P作P0J_平面,

垂足是0,连PA,PB,PC.

(1)若PA=PB=PC,则0为AABC的心;

（2）PA±PB,PA±PC,PC±PB,则。是4ABC的心;

（3）若点P到三边AB,BC,CA的距离相等，则0是△ABC的

心；

⑷若PA=PB=PC,ZC=90°,则（）是AB边的点;

⑸若PA=PB=PC,AB=AC,则点。在aABC的线上.

13.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别为各边的中点，G,II,

I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将AABC沿DE,EF,DF折

成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为

14.直线1与平面（（所成角为30°,1A（=A,直线m£（,则m与

1所成角的取值范围

是.

15.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线，垂线

段长度分别为dl,d2,d3,d4,则dl+d2+d3+d4的值为.

16.直二面角（（一1一（（的棱上有一点A,在平面（（，（（内各有

一条射线AB,AC与1成45°,AB（,AC（,则NBAC

三、解答题

17.在四面体ABCD中，AABC与ADBC都是边长为4的正三角

形.

(D求证:BC±AD；

(2)若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A-BC-D的正弦值；

(3)设二面角A—BC—D的大小为(,猜想((为何值时，四面体

A—BCD的体积最大.(不要求证明)

18.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点，连

结ED.EGEB和DB.

⑴求证：平面EDB_L平面EBC；

(2)求二面角£一/厉一C的正切值.

(第18题)

19*.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD〃BC,Z

ABC=90°,

SAJ•面ABCD,SA=AE=BC=1,AD=O.

（1）求四棱锥s一力四的体积；

（2）求面SCD与面S3A所成的二面角的正切值.

（提示：延长BA,CD相交于点E,则直线SE是

所求二面角的棱.）

（第19题）

20*,斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱

柱的体积.（提示：在AA1上取一点P,过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.）

（第20题）

第二章点、直线、平面之间的位置关系

参考答案

一、选择题

1.D解析：命题②有反例，如图中平面0平面=直线n,

1，/〃，

且l〃n,m_Ln,则m_Ll,显然平面不垂直平面，

（第1题）

故②是假命题；命题①显然也是假命题，

2.D解析：异面直线AD与CB1角为45°.

3.D解析：在①、④的条件下，m,n的位置关系不确定.

4.D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,

故选择答案D.

5.B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面

ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1〃平面ABCD,

显然A1B1不平行于BD,②不正确；A1B1〃AB,A1B1〃平面ABCD,

但AB平面ABCD内，③不正确；1与平面a平行，则1与（（（无公共

点，1与平面（（（内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B.

（第5题）

6.B解析：设平.（（过11,.12〃（，.11上一定・・.L确定一平.（（，

（（・（（的交线13〃12,.1.过.P.又过...1.平行的直线只有一条，.1.

有唯一性，所以经.1..1.的平面是唯一的，即.1.且平行.1.的平面是

唯一的.

7.C解析：当三棱锥D—ABC体积最大时，平面DACJ_ABC,取

AC的中点0,则△DB。是等腰直角三角形，即NDB0=45°.

8.D解析：A.一组对边平行就决定了共面；B.同一平面的两条

垂线互相平行，因而共面；C.这些直线都在同一个平面内即直线的

垂面；D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.

9.B解析：因为①②④正确，故选B.

10.A解析：异面直线,所成的角为60。，直线!，过

空间任一.P,作直.a'//a.b'〃b.c'〃c.若a',b',c.共面.b..c..30.

角，否....所成的角的范围为(30。，90°],所以直线b与c所

成角的范围为[30。，90。..

二、填空题

11..解析：设三条侧棱长为a,b,c.

则ab=Sl,bc=S2,ca=S3三式相乘：

Ja2b2C2=S1S2S3,

abc=2.

・・・三侧棱两两垂直，

V=abc•=.

12.外，垂，内，中，BC边的垂直平分.

解析：(1)由三角形全等可证得0为aABC的外心；

(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，0为4ABC的垂心；

(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，0为4ABC的内心；

（4）由三角形全等可证得，。为AB边的中点；

（5）由（1）知，0在BC边的垂直平分线上，或说0在NBAC的

平分线上.

13.60°.解析：将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后，GH与

IJ所成角的度数为60°.

14.[30°,90°].解析：直线1与平面所成的30°的角

为m与1所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到1_L

m,即m与1所成角的的最大值为90°.

15..解析：作等积变换：X（dl+d2+d3+d4）=-h,而

h=.

16.60°或120°.解析：不妨固定AB,则AC有两种可能.

三、解答题A

17.证明：⑴取BC中点0,连结AO,DO./

・・•AABC,ABCD都是边长为4的正三角形/:二小。歹”

AA0±BC,D01BC,且A0GD0=0,

・・・BC_L平面A0。.又AD平面AOD,

ABC!AD.

（第17题）

解：（2）由（1）知NA0D为二面角A—BC—D的平面角，设NA0D=

,则过点D作DELAD,垂足为E.

平面ADO,且BC平面ABC,

・•・平面ADO_L平面ABC.又平面AD0G平面ABC=AO,

・・・DE_L平面ABC.

・・・线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE=3.

又D0=BD=2,

在RtZ\DEO中，sin==,

故二面角A—BC—D的正弦值为.

(3)当=90。时，四面体ABCD的体积最大.

18.证明：(1)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2,BB1=BC

=1,E为D1C1的中点.•••△DD1E为等腰直角三角形，ZD1ED=45°.

同理NC1EC=45。,I,即DEJ_EC.

在长方体ABCD—中，BC_L平面，又DE平面，

ABCIDE.又，；.DEJL平面EBC.，・•平面DEB过DE,.•・平面DEBJ.

平面EBC.

(2)解：如图，过E在平面口中作E0_LDC于0.在长方体ABCD一口中，二面ABCD