高考数学模拟试卷及答案

高考数学模拟试卷及答案

题号―•二三总分

得分

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合/=｛力，=1。82&-1）｝，B=｛y\y=2+yfx^l],则An8=（）

A.[2,+8）B.（1,2）C.（1,2]D.（t+oo）

2.已知a,匕£/?+,且Qb=2,那么下列结论一定成立的是（）

A.a+b>4B.a+Z）<4C.a2+d2>4D.a2+b2<4

3.如图正方体485-必中,p、Q、R、S分别为棱48、BC、叫、CD的中点,联结&S,%D.

空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线段力iS、8山上，则称MN两点可视，则下列选项中与

点名可视的为（）

A.点PB.点BC.点RD.点Q

4.已知a,bER,则“2a=3b”是“：=g”的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.已知z=l+i（其中i为虚数单位），则>=

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6.双曲线*y2=i的实轴长为.

7.函数/"(%)=|€3(2%+》在7?上的单调递减区间为.

8.已知QCR行列式空的值与行列式]；|的值相等，则。=.

9.已知圆柱的高为4,底面积为9TT,则圆柱的侧面积为.

10.x+y<0,x-y-1<0,求z=x+2y的最小值.

11.二项式(3+乃”的展开式中，/项的系数是常数项的5倍，则九=.

a2x-lx<0

12.若函数/'(%)=%+。为奇函数，求参数a的值为.

0x=0

13.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行

检测，则每一类都被抽到的概率为.

14.已知等差数列｛册｝的公差不为零.S”为其前九项和，若Ss=0,则$(i=0,l,2,…,100)中不同的数值有

个.

15.若1；1=0=匚1=乙且满足]£=o,；[=2,；；=1,则入=.

16.设函数/(约满足/(%)=〃Jr),定义域为。=[0,+8),值域为4若集合｛y|y=f(6NE[0,a]｝可

取得4中所有值，则参数a的取值范围为.

三、解答题(本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题14.0分)

如图所示三棱锥，底面为等边△ABC,。为AC边中点，且PO_L底面ABC,AP=AC=2.

(1)求三棱锥体积VpTBC:

(2)若M为BC中点，求PM与面P4C所成角大小.

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18.(本小题14.0分)

/W=log3®+乃+1/3(6一盼.

(1)若将函数f(x)图像向下移m(m>0)后,图像经过(3,0),(5,0),求实数a,m的值.

(2)若Q>-3且aH0,求解不等式/(%)W/(6-x).

19.(本小题14.0分)

在如图所示的五边形中，AD=BC=6,AB=20f。为4B中点，曲线。。上任一点到。距离相等，角

乙。/18=乙43c=120。，P,Q关于OM对称；

(1)若点尸与点G重合，求4P05的大小；

(2)P在何位置，求五边形面积S的最大值.

20.(本小题16.0分)

设有椭圆方程小，+(=l(Q>b>0),直线，：％+y-4业=0,八下端点为4M在I上，左、右焦点

分别为F式一典0)、&(惚0).

(l)a=2,4M中点在%轴上,求点M的坐标；

(2)直线/与y轴交于氏直线经过右焦点尸2,在△4BM中有一内角余弦值为E，求b：

(3)在椭圆r上存在一点P到I距离为d,使|PRI+|P&l+d=6,随Q的变化，求d的最小值.

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21.(本小题18.0分)

数列｛4J对任意？IEN”且nN2,均存在正整数i6满足%+1=2%-％,%=1,a2=3,

(1)求。4可能值；

(2)命题p：若内,出，…，&成等差数列，则。9V30,证明p为真，同时写出p逆命题q,并判断命题q

是真是假，说明理由；

(3)若g,“=才”，(m€N")成立，求数列｛4｝的通项公式.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

可解出集合4B,然后进行交集的运算即可.

考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算.

【解答】

解：-:A=｛x\x>l],B=｛y\y>2)；

・•・4n3=[2,+oo).

故选:A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了重用不等式和不等式的基本性质，属基础题.

根据重要不等式可得d+必22ab=%从而得到正确选项.

【解答】

解：因为。，匕€/?+，且ab=2,

所以1+匕222ab=4,

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当且仅当a=b=隹时取等号，

故选：C.

3.【答案】。

【解析】解：线段MN上不存在点在线段&S、/。上，即直线MN与线段&S、不相交,

因此所求与％可视的点，即求哪条线段不与线段4止、相交，

对4选项，如图，连接为P、PS、%S,因为P、S分别为CO的中点，

・•・易证4%〃PS,故4八以、P、S四点共面，••・/「与&S相交，M错误；

对B、C选项，如图，连接/8、DB,易证。1、B］、B、71四点共面,

故D1B、。次都与相交，・・・氏C错误；

对。选项，连接分Q，由力选项分析知为、。1、P、S四点共面记为平面为%PS,

.••%E平面4/iPS,QC平面为D1PS,且&SU平面&D1PS,点名任&S,

•••%Q与41s为异面直线，

同理由以C选项的分析知。1、B］、B、A四点共面记为平面%比84，

•••。1七平面。1%氏4,Q4平面5%氏4,且%Du平面%%氏4,点

•••%Q与名。为异面直线，

故D1Q与4S,/0都没有公共点，.•./）选项正确.

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故选:D.

线段MN上不存在点在线段&S、力。上，即直线MN与线段&S、不相交，因此所求与％可视的点，即

求哪条线段不与线段为S、/D相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断.

本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题.

4.【答案】D

【解析】解：因为2a=3b,若当。=8=0时，则不成立，故充分性不成立,

又因为2=（则2a=3b,故必要性成立，

则"2a=3b”是"2=：”的必要不充分条件，

故选:D.

举反例Q=b=O时，充分性不成立，利用等式性质必要性成立，从而可解.

本题考查充分条件、必要条件，属于基础题.

5.【答案】2-2i

【解析】解：z=l+i,则，=IT，所以2，=2.2i-

故答案为：2-2i.

直接利用共挽更数的概念得答案.

本题考查了共场复数的概念，是基础题.

6.【答案】6

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【解析】解：由双曲线：_丁=1，可知：。=3,

所以双曲线的实轴长2。=6.

故答案为：6.

根据双曲线的性质可得a=3,实轴长为2Q=6.

本题考查双曲线的性质，是基础题.

7.【答案】［kzr-+万kEZ

【解析】

【分析】

本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题.

由题意利用余弦函数的单调性，求得函数/"(%)=装5(24+3在/?上的单调递减区间.

【解答】

解：对于函数/'(%)=*OS(2K+3),

令2kzr42%+：42k7r+4，kEZ,

求得上几一:4工工1兀+1,kEZ,

oO

可得函数的减区间为［而一也加+乱kWZ,

故答案为：［kn-Q,kn+-g-］»kEZ.

8.【答案】3

【解析】解:因为|£；|=2a—3,1J|=a,

所以2a-3=*解得a=3.

故答案为：3.

根据行列式所表示的值求解即可.

本题考查了行列式表示的值，属于基础题.

9.【答案】247r.

【解析】解：因为圆柱的底面积为9九，即42=9公

所以R=3,

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所以S恻=27rR/i=247T.

故答案为：247r.

由底面积为97r解出底面半径R=3,再代入侧面积公式求解即可.

本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题.

1（）.【答案】一］

由x+yWO,x-y-1<0,可知行域为直线x+y=0的右上方和x-y-l=0的左上方的公共部分,

联立｛上J27Vo,可得X=2

__2»即图中点八（5，—万），

/_~2

当目标函数Z=x+2y沿着与正方向向量£=（1,2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值,

即目标函数z=x+2y过点涡£）时，取最小值：；2x：=—；.

故答案为：

根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可.

本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题.

11.【答案】10

【解析】解：•••二项式（3+乃”的展开式中，为2项的系数是常数项的5倍,

即C：x3A2=56^X3。即告3=5x9,

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**,71—10f

故答案为：10.

由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得九的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

12.【答案】1

a2x-lx<0

【解析】解：•・•函数f(%)=%+a%>0,为奇函数，・・・f(-x)=-f(%),

0x=0

=一/(1),-a2-l=-(a+1)»即矶。-1)=0,求得a=0或a=l.

—l,x<0

当a=0时，fW=0A=0,不是奇函数，故QXO；

x,x>0

x—1A<0

当a=l时，fW=0A=0是奇函数，故满足条件，

x+l,x>0

综上，a=1,

故答案为：1.

由题意，利用奇函数的定义可得/(-%)=-/(%),故有f(-l)=-f(l),由此求得Q的值.

本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.

3

13.【答案】

【解析】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，

则每一类都被抽到的方法共有•月•*+C：・C；•C：种,

而所有的抽取方法共有《种，

C：・C』,C；+C：・Ci・C：303

故每一类都被抽到的概率为‘3''34=3

C：707

故答案为：3

由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果.

本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.

14.【答案】98

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【解析】解：・・,等差数列｛%J的公差不为零,%为其前九项和，§5=0,

.•.55=5^+—d=0,解得%=-2应

...5.=眄+竽4=-2nd+口=*2_5九),

d=0,S'。=0,1,2,100)中So=S5=0,

S2ns3=-3d,=54=-2d,

其余各项均不相等，

•••5,(i=0,1,21100)中不同的数值有：101-3=98.

故答案为：98.

由等差数前n项和公式求出与二-2叱从而sn=g(n2-5m，由此能求出结果.

本题考查等差数列的前九项和公式、通项公式等基础知识，考杳运算求解能力，是中档题.

15.【答案】V5

【解析】解：由题意，有］£=0,则晟遥，设＜；，；＞=»

「「=2「|「|皿8=2,①

ac=aC兀

丁；=1卜;ll；|cos(》)=l,②

则令得，tanO=

由同角三角函数的基本关系得：ese=孕，

则f•"*=「|「|cos。=A'A,=2,

acac

下=曲

则;i=5.

故答案为：事.

利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果.

本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题.

16.【答案】,+°°)

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【解析】解：令4=武1得，

%=竽或%=与(舍去)：

当心与时，

11J5-1

x+1-~~+~17-2，

故对任意%>

都存在％oe[0,-^-]>7TT=x0，

故f(x)=/(%),

故A={y|y=fW，xc[o,写]卜

51114T

而当OWxvt-时，=二一^一，

故当4={y\y=/(x)Ae[0,Q]}时,

参数a的最小值为学，

故参数Q的取值范围为[冬+8),

故答案为：[J1，+8).

由4=占可得”=写，可判断当％之亨时，去式早；当OW%V丝时，亨；从而可得

A={y[y=/(X),XE[O,Q]}时，参数Q的最小值为与，从而求得.

本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)在三棱锥P-/18C中，因为P01底面/BC,所以P014C,

又。为AC边中点，所以△P/1C为等腰三角形，

又HP=AC=2.所以△P/1C是边长为2的为等边三角形，

・・・P0=3三棱锥体积/TBC=$△ABC，P0=gX¥/2?X/=1,

(2)以0为坐标原点，。8为x轴，0C为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，

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则P（0,0,避），B（乔,0,0）,C（0,l,0）,M序,0），

用一弼'

平面P4C的法向量如=“5。。),

设直线PM与平面PAC所成角为仇

则直线PM与平面P"所成角的正弦值为sMG=■猾I=/=§

所以PM与面弘C所成角大小为arcsin?

【解析】(1)直接利用体积公式求解:

(2)以。为坐标原点，。3为％轴，0C为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面24。的法向量，即可

求解.

本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

18.【答案】解:⑴因为函数f(%)=log3(a+%)+log3(6-%),

将函数/(%)图像向下移m(m>0)后，得y=fW-m=log3(a+x)+log3(6一乃一m的图像,

由函数图像经过点(3,0)和(5,0),

，。。3(3+a)+1-m=0

所以||0。3(5+a)+0—m=0»

解得。=-2,m=l.

(2)a>-3且aH0时，不等式/(%)</(6-%)可化为唾3(。+%)+瞰3(6一为工幅(。+6r)+log3x,

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a+x>0

6-x>0

a+6—x>0

等价于

x>0

(a+x)(6—x)<x(a+6-x)

x>—a

x<6

x<a+6

解得

x>0

a(x—3)20

当-3<a<0时，0<-a<3,3<a+6<6,解不等式得-a<xW3,

当a>0时，-Q<0,Q+6>6,解不等式得3WXV6；

综上知，-3VQV0时,不等式/a)4/(6-幻的解集是(-Q,3],

a>0时，不等式/(%)4/(6-%)的解集是[3,6).

【解析】(1)写出函数图像下移租个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m和Q的值.

(2)不等式化为bg3®+乃+唾3(6-幻工唾3(。+6T)+log3xr写出等价不等式组，求出解集即可.

本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题.

19.【答案】解：⑴点P与点C重合，由题意可得OB=10,BC=6,

乙ABC=120°,

由余弦定理可得

OP1=OB2+BC2-2OB-BCcosUBC=36+100-2X6X10X(-3=

所以OP=14,在AOBP中，由正弦定理得诉7=菽刖，

14634

所以亘=sin，P08，解得sinzJ,OB=百，

所以/P。。的大小为arcsin居：

(2)如图，设。。与M。相交于点N,由题意知五边形CDQMP关于MN对称，

^^SEH1^CDQMP=2s四边形CPMN=2(S四边形OCPM—SAONC)，

设，COM=。，结合⑴可知cos”除所以=3且。为锐角，

因为。。=OP=OM=14,所以。仞2=oc2+。时2-2。。•OM•cos。=28X(14一3遍)，

故CM=v'28X(14-3V5),

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显然，△CMP的底边CM为定值，则P在劣弧CM中点位置时，CM边上的高最大，

此时OP1CM,故S四边形0cpM=：0P•CM=卜14X^28x^14-3^=14(7X(14-3福),

H1139击

而S^ONC=qONx/VC=2x14xcos6x14xsinO=

故S的最大值为2(14,7X(14-3,3)一写3=28v'7X(14-3<13)-39^,

同理，当P在劣弧0M中点时，S也取得相同的最大值，

故P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置时，五边形CDQMP的面积最大，且为28rs4调一硒一39叵

【解析】(1)在△OBC中，直接利用余弦定理求出0P,再结合正弦定理求解；

(2)利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质,

找到最大值点，从而解决问题.

本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理

能力、运算能力等，属于中档题.

20.【答案】解：⑴由题意可得a=2,b=c=企，

x2/X

r：不+万=1,i4(o,-v2),

,-AM的中点在％轴上，

的纵坐标为也，

代入％+y—4j2=0得M(3j2,j2).

(2)由直线方程可知B(0,瘀)，

344

4)若cos乙BAM=才则tanz.8/4M=即tanz.。力&=§，

.•.OA=loF2=^j2,

•,・力=迈.

②若cos/BMA=则siniBMA=士

71J23J24J2

VLMBA=7，ACQS{LMBA+LAMB)="yXXT=，

COSLBAM=奈,Xanz.BAM=7.

gptanzO4F2=7,...=号，...)=号,

综上匕=］隹或#.

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(3)设P(QCos8,bsin。),

由点到直线距离公式可得也圣粤"迪=6-2a,

很明显椭圆在直线的左下方，则-吧竺等*=6-2a,

*

即4^-\|谭+/)2sin(0+*)=6V2-2但Q,

J=房+2,,2Q2—2sin(6+</>)=242a—2点，

据此可得\'o^lsin(e+w)=2。-2,|sin(O+a)|=^=<1,

整理可得(。-1)(30-5)40,即

58

从而d=6—2a>6-2x-=-.

即d的最小值为2.

„2„2

【解析】⑴由题意可得椭圆方程为千+5=1，从而确定M点的纵坐标，进一步可得点M的坐标；

(2)由直线方程可知矶0,短)，分类讨论cos4B4M=杀cos匕BAM=辆种情况确定b的值即可；

OO

(3)设P(acos6,bsin。)，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得的吧士等暂=6-2a，正一步整理计

算，结合三角函数的有界性求得即可确定d的最小值.

本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，屈于中等

题.

21.【答案]解：(1)。3=2。2_%=5,a4=2a3-a2=7^a4=la3-a1=9.

(2)・・q,a2fa3fa4,a5,a6,a7,为为等差数列，»d=2tan=2n-l(nG[1,8],nGN*),

a9=2a8-a4=30-%V30.

逆命题q：若a9V30,则%,%，。3，。4,。5,。6，。7,他为等差数列是假命题，举例：

===

Q]=1,。2=3,。3=5,=7,。5=9,。611,。713,C1Q=2a7—。5=