高考数学三轮冲刺 专题提升训练 三角函数六试题

三角函数(6)

评卷入得分

一、简答题

(每空？分,共？分)

1、已知<<<,

(D求的值.

(2)求.

/(x)--V2sin|2x*-♦6anrcosr-2cos,x*l.r€R

2、已知函数14)

(I)求f(x)的最小正周期；

(II)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

3、已知，.

(I)求的值；

(H)求函数的值域.

4、对于定义域分别为的函数，规定：

函数

(1)若函数，求函数的取值集合;

（2）若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存

在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。

5、已知向量与共线，设函数。

（I）求函数的周期及最大值；

（II）已知锐角AABC中的三个内角分别为A、B、C,若有，边BC=,，求的

面积.

（X）=tPX+COS20）

6、己知函数-2其最小正周期为

（1）求的表达式；

（II）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标

不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值

范围.

7、已知向量，，函数.

（1）求的最大值，并求取最大值时的取值集合：

（2）已知..分别为内角.•的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值.

8、已知函数，

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）设的内角的对边分别且，，若,求的值.

9、若函数对任意的实数，，均有，则称函数

是区间上的“平缓函数”.

（1）判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；

（2）若数列对所有的正整数都有，设，

求证：,

10、如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性

质”.

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请

说明理由.

（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值.

（3）设函数具有“性质”，且当时，.若与交点个数为2013个，求的值.

11、在中，分别为角的对边，向量，且.

（I）求角的大小；

（II）若，求的值.

12、已知函数（其中）的国象如图所示.

（1）求的解析式：

（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到

原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称轴方程;

(3)当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围,

记(其中都为常数，且).

(I)若，，求的最大值及此时的值；

(II)若，①证明：的最大值是；

②证明：.

14、已知函数

(1)若函数的图像关于点对称，且，求的值：

(2)设若的充分条件，求实数的取值范围

15、如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC,

该曲线段是函数，时的图象，旦图象的最高点为B(-1,2).赛道的中间部分为长千米

的直线跑道CD,且CD〃EFo赛道的后一部分是以。为圆心的一段圆弧.

(1)求的值和的大小；

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道珞EF

上，一个顶点在半径0D上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最

大值时的值.

16、已知向量，，函数.

（1）求的最小正周期；

（2）已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，且恰是在，上的最大值，求，和的面积.

17、已知函数

（1）在锐角中，，，分别是角，，的对边；若，sin（AC）=sinC,求的面积.

（2）若，求的值；

18、已知函数（，，）。的部分图象如右图所示，点为图象的最高点。

⑴求的最小正周期及的值；

⑵若，且（），求当取什么值（用集合表示）时，函数有最大值和函数的单调增区间。

19、已知函数.

（I）求函数的最小值和最小正周期；

（H）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值.

20、关于函数有下列命题:

⑴为偶函数

⑵要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位。

⑶的图象关于直线对称

⑷在［］内的增区间为

其中正确命题的序号为

评卷人得分二、选择题

----------------------（每空？分,共？分）

21、方程有且仅有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论正确的是（）

A.B.

C.D.

22、若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且,

则（）

A.B.C.D.

23、当时，函数的最小值

是

（）

A.B.C.2D.1

24、定义一种运算，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最

小值是（）

A.B.C.

D.

25、给定实数集合满足（其中表不小超过的最大整数，），，则（）

A.B.C.I）.

/=2anx+4cos2|---1-2,兀句

26、下列关于函数142）的单调性的叙述，正确

的

是

A在上是增函数，在上是减函数

B在上是增函数，在及上是减函数

C在上是减函数，在上是增函数

D在及上是增函数，在上是减函数

评卷人得分

三、填空题

(每空？分，共？分)

27、设为坐标平面内一点，0为坐标原点，记/'(x)=|()V|,当彳变化时，函数/(*)的最

小正周期是_______________

28、函数为上的奇函数，该函数的部分图像如下图所表示，

、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，现有下面的3个命题：

(1)函数的最小正周期是；

(2)函数在区间上单调递减：

(3)直线是函数的图象的一条对称轴。

其中正确的命题是.

29、给出下列命题：

①存在实数使得②若为第一象限角且，则③函数的最小正周期为，④函数是奇函

数⑤函数的图像向左平移个单位，得到的图像。其中正确命题的序号

是(把你认为正确的序号都填上)

30、(理科)三个数a、b、c£(0,),且cosa二a,sin(cosb)=b,cos(sinc)=c,则a、b、c

从小到大的顺序是.

31、设动直线与函数和的图象分别交于两点，则的最大值为

32、如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动。设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间

的图像与轴所围区域的面积为。

33、设，则函数(的最小值是_________.

34、设，满足，则函数在上的最大值为________.

35、若函数，对任意都使为常数，则正整数为________

评卷人得分四、计算题

----------------------(每空？分，共？分)

36、己知函数，在时的最大值是。

(1)求的值；

(2)当时，求函数的值域；

(3)若点是图象的对称中心，且，求点/I的坐标.

37、设，定义一种向量的运算：，点P(x,y)在函数的图像上运动，点Q在的图像上运

动，且满足(其中0为坐标原点)

(1)求函数f(x)的解析式；

力(x)■为sm'x.—且h(x)的定义域为Jx.

(2)若函数24L2」值

域为，求a,b的值。

38、设是某平面内的四个单位向量，其中_L与的夹角为45°,对这个平面内的任一个向量,

规定经过一次“斜二测变换”得到向量。设向量，是经过一次“斜二测变换”得到的何鼎

是（）

A.5B.

C.73D.

39、已知函数.

（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数的图像与直线有且仅有三个公共点，且公共点的横坐标的最大值为，求证：.

40、设，函数的定义域为且，当时有

⑴求；

（2）求的值;

（3）求函数的单调区间.

参考答案

一、简答题

1、解：（1）由，得

•••，于是

（2）由，得

sin(a_尸)=J-cos'(a-£)

乂•，••

由得:

所以

2、

3、解：（I）因为，且,

所以，.

因为

所以.6

分

（II）因为

因为，所以，当时，取最大值;

当时，取最小值.

所以函数的值域为...............13分

4、.解(1)由函数

可得

从

而.....................................2分

当时，

0、X2+2x+2(x+l)a+1,1

A(x)=-------------=-——-——=+----->2

x+lx+lx+l.........................4分

当时，

x2+2x4-2(x+1)3+1..1、

A(x)=-------------=-——-——="(-X-1+--------)<-2

X+lX+l-X-1..........6分

所以的取值集合为........................7分

（2）由函数的定义域为，得的定义域为

所以，对于任意，都有

即对于任意，都有

所以，我们考虑将分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互

转化

cosx=cos2--stn2-=(cos-+sin-)(cos--sin-)

222222

所以，令，且，即可..14分

co$x=l-2sm3-=0H-A/2sm-)(l-V2sin-)

又222

所以，令，且，即可(答案不唯一)

5、解(1)因为，所以

则j=/O)=2sin(x+g),所以“£的周期T二2元

■

当x=2依一三,.............6分

因为2sin(j4-—+-)=sini4=—

(2)3332

因为0<ac工厂.a=［由正弦定理得匹=三£：又sin5=零

23sinAsinB

a八出吧闻由人步

sinA14

6、解：(I)

冬n2皈令...

由题意知的最小正周期,

所以5分

所以16分

(II)将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再洛所得图

象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.

所以9分

因为，所以

在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可

知或

所以或.

20.解：(I)/(x)=(掰+冷加-2=sin。x+l+/sinxcos彳+―-2

2

l-cos2x^3.1V3.91o,gn

----------H----sin—=——sin2x---cos2汗=sin(2x---).

222226

故/0)由=1，此时2x-2=2k"+工代wZ，得工=上1+二,归金2

623

二.取最大值时五的取值集合为｛x|工=上升+1,上亡2).........

(II)/(5)=sin(25--)=l,v0<^<-,<—t

62666

7T7T7T

2B--=-tB=-.................

623

由之,-ac及正强定理得sin25=sin^4sinC于是

11cosAcosCsinCcos/+cosCsin^4

----+-----=------1—----

tanAtanCsinAsinCsinj4sinC

sin(j+C)_1_24

2

7、sinBsinB32

〃、^3.1+cos2x1n

/(x)=—sm2x----------------=$m(2x--)-1

8、解析:(1)2226.3分

则的最大值为o.

最小正周期是......................................6分

(2)则

0<2C<2n*.--<2C--<—/r

666

由正弦定理得①.........................9分

由余弦定理得

即②

由①©解得12分

9、

⑴解：贰v)=sin丁是R上的“平缓函数”，但；：8=丁-工不是区间R的“平缓的数”;

设0(x)=x-sinx,则e'(x)=1-cosx之0,贝II。(.工)=x-sin工是实数集R上的噜函数，

不妨设X：<.v:,则v：Q(七)，即x:-sinx<.v:-sinx：,

贝IJsin£-sin&v、：一项.①..........1分

又i=x+sinm也是R上的噌函数，则“-sinx<x,+sinx、>

RPsinx.-sin>x-x.,②.........2分

由①、②得-(x;-x:)<sinx;-sinxz<x：-±•

因此/sinx：—sinxjv一工1，对.巧ex：都成立...........3分

当时，同理有成立

又当时，不等式，

故对任意的实数，R,均有.

因此是R上的“平缓函

数”...........5分

由于..........6分

取，，则，..........7分

因此，不是区间R的“平缓函数”...........8

分

⑵证明：由⑴得：g(\)=sin工是R上的"平缓函数",

则sin-sinM氏_：-.q],所以|j小-JJW-KJ...............9分

而|x.：-xA<----------r,

jrJ（、叶1）・

iI.111/1、八

--民7-JrI-----------r，：----:-------=-l——------）•...................10分

1-1m（>：十1）•不丁+4%4*二一1

丁卜—―JiI=|（3-i-”）+（八-J-i）+（v5：-i->,,：.：）+•••+（”->i）|,...........11分

••卜11一内|三卜一1_JJ+h・i_J=I+…+卜：_]'」•..........12分

・'•口工：—>1|g~—~7）+（—7--）+•••+（1_=）]

4W圣+1^-1K.

11,

=-1-.............................13分

4；n+1,•

<—....................14分

4

10、解：（1）由得，根据诱导公式得.具有“性质”，其中.

......................4分

(2)•・•：=，(的具有“尸(0)性贸'，=

>0,则一;vEO,f(x)=f(—k)=(一\+"7)：二代一

—卜―................6分

l(x-w)-x>0

当，”与0时，•.•\在［0：1］递噌，,x=l时3al:

当0<冷?V:时，­,*y=/(.V)在［0：刈上递减，在［W,1］上递增，且

■

：

/(0)=</(l)=(l-w),「.X=1时；IN.=Q-川)二一

当>4时，VV=/(.V)在电间上递减，在［叽1；上递常，且

一

/(0)=nr>/(I)=q—>或)二,二.工=0时j=.=«?•

综上所述：当me(时，=/(I)=(1-^?):；当生2二时，？.工=/⑼=叫：

.....................11分

(3)具有“性质”，，，

,从而得到是以2为周期的函数.

又设，贝IJ,

g(x)=g(x-2)=g(-l+x-l)=g(-x+l)=|-x+l|=|x-l|=g(x-5

再设()，

当()，则,

当()，则，；

对于，()，都有，而，，是周期为1的函数.

①当＞0时，要使得.1=，，求与\=f（.V）有20：3个交点，只要.1=心,与A=g（.p在

[0,1006）有2012个交点，而在[1006,1001有一个交点.、=”；工•过（二三二，g）,

■一

从而得":=1、

2013

②当也＜0时,同理可得"；=-―--

2013

③当＞"=0时，不合题意.

综上所述M..................：8分

11,（I）或；（n）或。

解：⑴

,...................4

分

因为

所

以或

...................6分

（2）在中，因为b＜a，所以....................

8分

由余弦定理

得

10

分

所以

或，…

..................12分

12、解：(1)由图知，.--------1分

,-----2分

由，即，故，所以

又，所以一一3分

故-------4分

(2)将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来

的倍，

纵坐标不变，得到的图象，

g(x)=-£)=2sin[2(=-y)+y]=2sm(1一y)

所以4646626-------6分

令，--------7分

则()，所以的对称轴方程为0-8分

(3)/.--------9分

・•・当方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点

--------11分

12分

(法一)当时，，所以

所以

(法二)令，则，()

所以的对称轴方程为，。

又丁»所以一14

分

13、解：(I)若时，

F(^)=4(l-2$in^)+3-4cos35=4($in5-l)a-l

则，此时的；

(II)证明：

Q

F(ff)=a(l-2sin0)+8(3-4cos?0)=4!>($in

46荔

令，记

则其对称轴

①当，即时,

当，即时,

/弘一。(42。)

故―

②即求证,

其中

当，即时，6彳）..+|24.°|+占=5。）+2&_0+8=⑦>0

当，即时，

%)■1+所划出=G(a)+|%-a|+jY-%W-小5

当，即时，

G(力..+|2A・a|+b=G(l)+a-2i+6=%>0

综上：

解[(1)V/(x)=2sxn*(―+x)-73cos2x-1=2sm(2x--)

A3

h(x)=f(x+r)=2sin(2x+2/-y)

%(x制图像的对称中心为(竺+--/.0)keZ

26

又已知(--,0)为方(x曲的像的一个对称中心

6

k7TJT."Y"/c-v/Tt*J天

/./=—•十—(zk6z)•rnZ€(0.7f)•1£=—或—

2336

・r-

(2)若p成立,即xw时,2x-fc工.卫，/(X)€(1,2]

・」LJ

由|/(x)-T<3=切-3v/(x)<加+3

是g的充分条件，附一3<L且w+3>2,解得-1<%<4

即加的取值范I困是(-1,4)

14、

解：(1)由条件,得L-3......................................................2分

4

a.fv»2■JTa/\

»1-....»•.G=一•...................................47T

go

/.曲线段玄的解析式为y=25in(3r+?).

63

当x=0时,/=00=5/3.又CD=/，；・4COD=±,且口〃。£=上.・・・7分

(2)由(1),可知。£)=加.

又易知当"矩形草坪''的面积最大时，点尸在弧加上，取OP=&……8分

设乙丝U<6W“矩形草坪”的面积为

4

S.京sindl-8s8-*丽臼-61smecosg-sin'6\

=6(lsm2^+lcos2^-l)=3V25in(2^+-)-3..........................13分

2224

V故当2d+2=¥时，A一时,S取得最大值...........15分

4428

15、

PJR:(I)/(x)=(w+w)w=sin*x+l+>/3sinxcosx+i..............2分

1-8S2X-3r,J3-1,一

=-------------41+—sin2x+-=—sin2x—cos2x+2

16、22222

5分

因为，所以

⑵由(I)知：〃力)=皿(2/-3+2

6

.八7Tn-L/T7T5/T

1e[0亍]y时，-T&2x-/工

N600

-7TJT

由正无函数图象可知兰2K-2=三时/⑶取得最大值3

62

所以2力_2=乙，A=^............*8分

623

由余弦定理，。2=乂+―-次co$<「.12=b?+16-2x45X」・•・6=2

2

从而S=LesinA=­x2x4$m60'=2>/5..............12分

22

17、解:

(1).

，所以.

又因为，所以，所以，即.-T分

又因为sin(AC)=sinC,即sinB=sinC.由正弦定理得,

又.

(2),则

，——“分

Cf.木代、•zrk江北.友，八."、2/6-1

sm2a=$in(2a+-----)=sin(2a4-)cos—sin-cos(2a+-)=---------

6666666

18、解:

(1)所以的最小正周期是；

点在曲线上，得即

⑵若得

二g(x)=l-/3(x)=l-2$m\^x+^)=cos(-^x+^)

5655

当时，即时，函数有最大值。

由时，即时，单调递

增。

因此，当函数有最大值。

函数的单调增区间是：

S*/x、1+8"1

17/(x)=-ySin2x-----------------

»WW

=sm(2x-^)-1

贝H/(x)N-2,T=〃....................6

/(Q=sin(2C-J)-l=0,

6

TT—一

则C=§又R=(LsinA),〃=(2,gin5).

桁与打共线，则$m3=2smAb=2a

又9anCJUU

19、a=j,b=2也...12

20、