第五章 必刷题 平面向量与复数（解析版）

第五章必刷题平面向量与复数[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.设向量a＝(3，4)，b＝(－1，1)，则cos〈a，b〉等于()A.210 B.31010 C.2【答案】A【解析】因为a＝(3，4)，b＝(－1，1)，所以cos〈a，b〉＝a·2.(2025·新乡模拟)设z＝2＋4i1−3i，则zA.－1＋i B.－1－i C.1－i D.1＋i【答案】B【解析】z＝2＋4i1−3i＝(2＋4i)(1＋3i)(1−3i)(1＋3i)3.在四边形ABCD中，若AB＝DC，且AB·AD＝0，则四边形A.矩形 B.菱形C.正方形 D.梯形【答案】A【解析】∵AB＝DC，可知AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由AB·AD＝0可知AB⊥AD，∴四边形ABCD4.在复平面内，O是原点，向量OZ对应的复数是－1＋i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转π4A.－2 B.－2i C.－1 D.－i【答案】A【解析】如图，由题意可知OZ＝(－1，1)，OZ与x轴正方向的夹角为3π4，绕点O逆时针方向旋转π4后，Z到达x轴上的点Z1处，又|OZ1|＝|OZ|＝2，所以Z1的坐标为(－2，0)，所以O5.设M，N是圆O上两点，若MN＝2，则MO·MN等于()A.－4 B.－2 C.2 D.4【答案】C【解析】方法一设MN的中点为P，则OP⊥MN，如图1，所以MO·MN＝(MP＋PO)·MN＝MP·方法二MO·MN＝|MO||MN|cos∠OMN＝|MN|(|MO|cos∠OMN)＝|MN|·|MN方法三设MN的中点为P，以MN的方向为x轴正方向，线段MN的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，如图2，则M(－1，0)，N(1，0)，设O(0，－m)，所以MN＝(2，0)，MO＝(1，－m)，因此MO·MN＝2.6.设单位向量e1，e2的夹角为2π3，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在aA.－32a B.－3a C.3a D.3【答案】A【解析】依题意得e1·e2＝1×1×cos2π3＝－1|a|＝(ea·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e12－6e22＋e1·e因此b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉a|a|＝a·b|7.如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，OA·OB＝－1，过点O作OD⊥AB于点D，则()A.ODB.ODC.ODD.OD【答案】A【解析】∵OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB＝2cos∠AOB＝－1，∴cos∠AOB＝－12又∵0°<∠AOB<180°，∴∠AOB＝120°.在△AOB中，根据余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos120°＝7，解得AB＝7，根据三角形面积公式S△AOB＝12AB·OD＝12OA·OB·sin解得OD＝217∴AD＝OA∴AD＝∴OD＝OA＋AD8.已知△ABC的外接圆圆心为O，A＝120°，若AO＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋y的最小值为()A.12 B.23 C.3【答案】D【解析】设OA与BC交于点E，OE＝m，圆的半径为R，D为BC的中点，如图所示，则AO＝设AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，因为B，C，E三点共线，则λ＋μ＝1，所以AO＝xAB＋yAC＝RR−m(λ故x＋y＝RR−m(λ＋μ)因为∠BAC＝120°，则∠COD＝60°，所以OD＝Rcos60°＝R2则R2≤m<R，故RR−m所以x＋y的最小值为2.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·开封模拟)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋bi(其中i是虚数单位，a，b∈R)，若z1·z2为纯虚数，则()A.a－b＝0 B.a＋b＝0C.ab≠－1 D.ab≠1【答案】AC【解析】因为z1＝a＋i，z2＝1＋bi，所以z1·z2＝(a＋i)(1＋bi)＝a＋i＋abi＋bi2＝(a－b)＋(1＋ab)i，又z1·z2为纯虚数，所以a即a－b＝0且ab≠－1.10.已知z为复数，设z，z，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则()A.|OA|＝|OB| B.OA⊥OCC.|AC|＝|BC| D.OB∥AC【答案】AB【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴A(a，b)，z＝a－bi，∴B(a，－b)，iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai，∴C(－b，a)，OA＝(a，b)，OB＝(a，－b)，OC＝(－b，a)，AC＝(－b－a，a－b)，BC＝(－b－a，a＋b)，对于A，∵a2＋b2＝a2＋(−b对于B，∵a·(－b)＋ba＝0，∴OA⊥OC，故选项B正确；对于C，∵|AC|＝(−b−a)2＋(当ab≠0时，|AC|≠|BC|，故选项C错误；对于D，∵a(a－b)－(－b)(－b－a)＝a2－2ab－b2，a2－2ab－b2可以为零，也可以不为零，∴OB不一定平行于AC，故选项D错误.11.(2025·郑州模拟)已知O是坐标原点，平面向量a＝OA，b＝OB，c＝OC，且a是单位向量，a·b＝2，a·c＝12A.|c|＝|a－c|B.若A，B，C三点共线，则a＝23b＋1C.若向量b－a与c－a垂直，则|b＋c－2a|的最小值为1D.向量b－a与b的夹角正切值的最大值为2【答案】AD【解析】在平面直角坐标系中，令a＝(1，0)，b＝(x1，b)，c＝(x2，c)，由a·b＝2，a·c＝12得x1＝2，x2＝12，则b＝(2，b)，c＝1对于A，a－c＝12因此|a－c|＝14＋c2＝|c对于B，由A，B，C三点共线，得OA＝(1－λ)OB＋λOC，λ∈R，即(1，0)＝(1－λ)(2，b)＋λ12于是2(1－λ)＋12λ＝1，解得λ＝2即a＝13b＋23c，对于C，b－a＝(1，b)，c－a＝−1由向量b－a与c－a垂直，得bc＝12而b＋c－2a＝12则|b＋c－2a|＝14＋(b当且仅当b＝c时取等号，C错误；对于D，令向量b－a与b的夹角为θ，b－a＝(1，b)，当b＝0时，θ＝0，tanθ＝0，当b≠0时，根据对称性不妨令b>0，D(1，b)，则b－a＝OD，θ＝∠BOD，显然tan∠DOA＝b，tan∠BOA＝b2tanθ＝tan(∠DOA－∠BOA)＝tan∠＝b≤b2当且仅当b＝2时取等号，D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，那么实数m的值为.【答案】2【解析】因为向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，所以2a＋b＝(2＋m，8)，又因为a∥(2a＋b)，所以2(2＋m)＝1×8⇒m＝2.13.(2024·遵义模拟)已知复数z＝a－1＋(a＋3)i，a∈R，则|z|的最小值为.【答案】22【解析】|z|＝(＝a≥22，当且仅当a＝－1时取等号，所以|z|的最小值为22.14.若平面向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2