高三级第一次综合测试理科数学(含答案详细讲解)

...wd......wd......wd...试卷类型：A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷〔理科〕2017.1本试题卷分选择题和非选择题，共6页，23小题,全卷总分值150分,考试时时间120分钟.本卷须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试完毕后，请将答题卡上交.第一局部选择题〔共60分〕选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合，，则〔〕A． B．C． D．2．设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图1，函数)的图象过点，则的图象的一个对称中心是〔〕A．B．C． D．4．设命题p：假设定义域为的函数不是偶函数，则，.命题q：在上是减函数,在上是增函数.则以下判断错误的选项是()A．p为假B．q为真C．p∨q为真D.p∧q为假5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何〞意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤〞根据上题的条件，假设金箠由粗到细的重量是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤6.定义域为R的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为〔〕A.B.C.D.7.执行如图2所示的程序框图，假设输出的结果是，则输入的a为〔〕A.3B.4C.5D.68.一个几何体的三视图如图3所示，其外表积为，则该几何体的体积为〔〕A．4B．2C．D．39.学校方案利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有() A．6种 B．24种 C．30种 D．36种10．过球O外表上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为，假设球半径为R，则弦AB的长度为〔〕A．B．C．D．11.过双曲线的右焦点作圆的切线，切点为M，延长交抛物线于点其中为坐标原点，假设，则双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．12．，又，假设满足的有四个，则的取值范围是〔〕A. B.C.D.第二局部非选择题〔共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题纸上．13.如图4为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为*．14．，则二项式展开式中的常数项是*．15.假设圆关于直线对称,动点P在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是*．16．数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且〔〕．假设不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是*．三、17．(本小题总分值12分)函数.〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；〔Ⅱ〕设△ABC内角A、B、C的对边分别为，假设，b=1，，且，求角B和角C．18．(本小题总分值12分)调查说明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进展量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，假设ω≥4，则长势为一级；假设2≤ω≤3，则长势为二级；假设0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如下表中结果：种植地编号A1A2A3A4A5〔x，y，z〕〔1，1，2〕〔2，1，1〕〔2，2，2〕〔0，0，1〕〔1，2，1〕种植地编号A6A7A8A9A10〔x，y，z〕〔1，1，2〕〔1，1，1〕〔1，2，2〕〔1，2，1〕〔1，1，1〕〔Ⅰ〕在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z一样的概率；〔Ⅱ〕从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A－B，求X的分布列及其数学期望．19．(本小题总分值12分)如图5，在边长为的正方形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点，沿EO将矩形ABOE折起使得，如图６所示，点G在BC上，，M、N分别为AB、EG中点.〔Ⅰ〕求证：MN∥平面OBC；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值．20．(本小题总分值12分)设，向量分别为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，假设向量,,且．〔Ⅰ〕求点的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕设椭圆，为曲线上一点，过点作曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.21.〔本小题总分值12分〕函数．〔Ⅰ〕求函数在点处的切线方程；〔Ⅱ〕令，假设函数在内有极值，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，对任意，求证：.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线〔Ⅰ〕写出曲线的普通方程；〔Ⅱ〕过曲线的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线于两点，求.23．〔本小题总分值10分〕选修4－5：不等式选讲函数，.〔Ⅰ〕假设，解不等式；〔Ⅱ〕假设对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.绝密★启用前试卷类型：A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷〔理科〕参考答案及评分标准选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕题号123456789101112答案ADBCABCDCADB提示：1．A解：依题意得，．2．D解：，共轭复数为，对应点为，在第四象限．应选D．3．B解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点〔0，〕，可得：，即，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f〔x〕=2sin〔2x+〕．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f〔x〕的图象的对称中心是：〔，0〕，k∈Z，当k=0时，f〔x〕的图象的对称中心是：〔，0〕．4.C解：函数不是偶函数，仍然可，p为假；在上都是增函数，q为假；以p∨q为假，选C．5.A解：每段重量构成等差数列，6.B解：是的偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，所以或或.答案B.7.C解：执行程序框图，第1次运算有n=1，S=;第2次运算有n=2，S=,…第5次运算有n=5，S=,故输入的a为5．8．D解：该几何体是一个圆锥、一个圆柱、一个半球的组合体，其外表积为：，该几何体的体积为．9.C解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为-=36-6=30．10.A解：由条件可知A-BCD是正四面体，法1：如图7：A、B、C、D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，则过点B、C、D的截面圆半径，正四面体A-BCD的高，则截面与球心的距离，所以，解得．法2：如图8：把正四面体A-BCD放置于正方体中，则正方体边长x与正四面体棱长满足，又正方体外接球半径R满足：，可解得：11.D解：如图9，∵，∴M是的中点.设抛物线的焦点为F1，则F1为〔-c，0〕，也是双曲线的焦点.连接PF1，OM.∵O、M分别是和的中点，∴OM为△PF2F1的中位线.∵OM=a，∴|PF1|=2a.∵OM⊥，∴⊥PF1，于是可得||=，设P〔x，y〕，则c-x=2a，于是有x=c-2a，y2=4c〔c2a〕，过点作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a.由勾股定理得y2+4a2=4b2，即4c(c-2a)+4a2=4(c2-a2)，变形可得c2-a2=ac，两边同除以a2有,所以,负值已经舍去.应选D.12．B解：令，则，由，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.作出图象，利用图象变换得图象〔如图10〕，令，则关于方程两根分别在时〔如图11〕，满足的有4个，由解得．二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13．133.814.24015.16.提示：13.解：由频率分布直方图得(0.008+0.02+0.048+x)10=1，解得x=0.024.估计工人生产能力的平均数为:1150.00810+1250.02010+1350.04810+1450.02410=133.8.14．解：=,则二项式＝展开式的通项公式为，令，求得，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．15．圆关于直线对称,所以圆心在直在线上，，表示的平面区域如图表示区域OAB内点P与点Q〔1，2〕连线的斜率.所以答案：16.解：，，〔Ⅰ〕当n为奇数时，是关于n()的增函数.所以n=1时最小值为，这时〔Ⅱ〕当n为偶数时，恒成立，n为偶数时，是增函数，当n=2时，最小值为，这时综上〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕实数的取值范围是.三、17.解：〔Ⅰ〕……………1分……………2分函数f〔x〕的最小正周期为…………3分当，即时，f〔x〕取最大值为，………4分这时x的集合为…………5分〔Ⅱ〕………6分………………7分………………8分…………9分…………………10分…………………11分……………………12分【点评】此题考察了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解此题的关键．18.解：〔Ⅰ〕由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10………1分空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，…………2分在这10块种植地中任取两块地，根本领件总数n=………………3分这两块地的空气温度的指标z一样包含的根本领件个数……………………5分∴这两地的空气温度的指标z一样的概率………6分〔Ⅱ〕由题意得10块种植地的综合指标如下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标4461443543其中长势等级是一级〔ω≥4〕有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，共7个，长势等级不是一级〔ω＜4〕的有A4，A7，A10，共3个，………………7分随机变量X=A-B的所有可能取值为1,2，3，4，5，………………8分w=4的有A1，A2，A5，A6，A9共5块地，w=3的有A7，A10共2块地，这时有X=4﹣3=1所以，…………9分同理，，……………10分∴X的分布列为：X12345P……………11分……12分19．〔Ⅰ〕证明：法一如图13取OG中点F，连结BF、FN，则中位线FN∥OE且FNOE，又BM∥OE且BMOE……1分所以FN∥BM且FNM，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，……2分又MN平面OBC，BF平面OBC，所以MN∥平面OBC.……4分法二：如图14，延长EM、OB交于点Q，连结GQ，因为BM∥OE且BMOE，所以，M为EQ中点，………………1分所以中位线MN∥QG…………2分又MN平面OBC，QG面OBC，所以MN∥平面OBC.………4分〔Ⅱ〕解：法一如图14，因为OB=OC=，，所以，……………5分又．所以，，，，……6分又平面OBC，OG面OBC…………………7分又，所以平面OBE，QE面OBEQE………………8分又M为EQ中点，所以OQ=OE，所以，所以平面OMG，，为二面角的平面角.………9分所以中，，，……11分，∴二面角的余弦值为……12分法二：如图15,OB=OC=，，，………5分又，，，，………………6分又平面OBC，………7分又，所以平面OBE，，…………8分建设如以以下列图的空间直角坐标系，则M〔，G〔,E〔，………………9分而是平面BOE的一个法向量………11分设平面MGE的法向量为则，令，则面MGE的一个法向量为，……………10分所以所以，二面角的余弦值为………12分20．(Ⅰ)解：∵，，且∴点M〔x，y〕到两个定点F1〔，0〕，F2〔，0〕的距离之和为4…………2分∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为,∴………………3分其方程为…………………4分〔Ⅱ〕证明：设，，将代入椭圆的方程，消去可得显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，：，.……………5分所以…………………6分因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积…7分…………8分设将代入椭圆的方程，可得………10分由，可得即，…………11分又因为，故为定值.…………………12分21.〔Ⅰ〕解：.………………1分…………………2分函数在点处的切线方程为：，即………………3分〔Ⅱ〕解：定义域为…4分则……………5分联立①②可得：……………6分〔Ⅲ〕证明：〔Ⅱ〕知，…………………7分……………………8分又………………10分…11分………12分请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22.解:〔Ⅰ〕………………1分即曲线的普通方程为…………………2分曲线的方程可化为……3分即.………………4分〔Ⅱ〕曲线左焦点为〔，0〕……………5分直线的倾斜角为,…………6分所以直线的参数方程为：………………7分将其代入曲线整理可得：，……8分设A,B对应的参数分别为则所以.………9分所以………10分解法二：〔Ⅰ〕同解法一.…………………