云南省临沧地区中学2024~2025学年高二下册5月月考数学试题附解析

/2024-2025学年临沧地区中学高二（下）5月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=2exx，则A.0 B.e22 C.e 2.已知(1+x)8=C8A.127 B.128 C.255 D.2563.已知数列{an}的前n项和为SA.若Sn>0，则an>0 B.若Sn>0，则an+Sn4.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.菪这五项测试每天进行一项，连续5天完成，且超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有(

)A.36种 B.48种 C.60种 D.72种5.已知函数f(x)=2aex与g(x)=lnx+1存在公切线，则实数a的最小值为(

)A.1e B.12e C.14e6.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，三角形是底边和腰长分别为8cm和12cm的等腰三角形的纸片，将它沿虚线(中位线)折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄(近似于球).则蛋黄的半径的最大值为(    )cm．A.142 B.144 C.7.已知数列{an}满足a1=10，aA.112 B.203 C.7 8.已知正实数x，y满足x3+3y−2=lnx+lny，则x+y=(

)A.2 B.52 C.14 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.2024年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人滑航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取A，B，C，B，E这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的(

)A.A，B都在后3天介绍的方法种数为36

B.A不在第一天，B不在最后一天介绍的方法种数为92

C.A，B相隔一天介绍的方法种数为36

D.A在B，C之前介绍的方法种数为4010.对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当其可被互不重叠的四个形状相同的区域分割，且每个区域各相邻最小正方形有一条边重合，同时恰含有1个A和1个B.给出下列方格图，可“连续完美分割”的是(

)A. B.

C. D.11.已知定义在R上的奇函数f(x)连续，函数f(x)的导函数为f′(x).当x>0时，f′(x)(ex+e−xA.当x<0时，f(x)>0 B.f(x)在R上有且只有1个零点

C.f(1)>f(−1) D.f(x)在R上为增函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=a+i1+i(a∈R)为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a=13.用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案．

14.已知函数f(x)=ax+eax−lnx，g(x)=x39，设φ(x)=f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|2.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知一个不透明的盒中有n个小球(小球除编号不同外其余均相同)，这n个小球的编号分别为1，2，3，…，(n≥3,n∈N∗).现进行如下摸球活动：

(1)若n=5，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率；

(2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中k个小球(0<k≤n,k∈N∗)，记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为X．

(ⅰ)若n=6，k=2，求概率P(X=1)；

(ⅱ)求使概率16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−ax，a∈R．

(1)若a=2，求f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在(1,e)上的最小值是3217.(本小题15分)

设等差数列{an}的公差为d，记Sn是数列{an}的前n项和，若S5=a3+20，S15=a2a3a8．18.(本小题17分)

已知函数fk(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+k)，其中k为正整数．

(1)当k=2时，求f2(x)在R上极值点；

(2)当1≤n≤k=100时，记数列an=fk′(0)fn′(0)fk−n′(0)19.(本小题17分)

类比高中函数的定义，引入虚数单位i，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数f(x)=(x−i)n+1(x−i)n，x∈C且x≠i，n∈N∗．

(1)当n=1时，解关于x的方程：f(x+i)=1；

(2)当n=2时，

①若|x−i|=1，求f(x)的最小值．

②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数答案和解析1.【答案】B

【解析】解：根据题意，函数f(x)=2exx，其导数f′(x)=2ex(x−1)x2，

当x=2时，有f′(2)=【解析】解：因为(1+x)8=C80+C81x+C82【解析】解：对于A，若数列为3，−1，−1，则S1>0，S2=2>0，S3=1>0，但a2=−1<0，故A错误；

对于B，若数列为1，−0.5，2，则S1>0，S2=0.5>0，但a2+S2=−0.5+0.5=0，故B错误；

对于C，当a1=0时，S1=a1，但a1=0，不满足an>0，故C错误；

对于D，当n=1时，a1+S1=2a1≥0，则a1≥0，

当n=2时，a2+S【解析】解：先安排前庭功能、飞行跳伞、着陆冲击这共有A33=3×2=6种方法，

再安排超重耐力和失重飞行，共有A42=4×3=12种方法，

一共有5.【答案】B

【解析】解：设公切线与函数f(x)=2aex及函数g(x)=lnx+1的切点分别为(m,2aem)，(n,lnn+1)，且f′(m)=2aem，g′(n)=1n，

故两切线方程为y−2aem=2aem(x−m)，y−(lnn+1)=1n(x−n)，

即y=2aemx+(−m+1)2aem，y=1nx+lnn，

f(x)与g(x)存在公切线，所以2aem=1n(−m+1)2aem=lnn有解，

消去m后得：ln2a=(n−1)lnn−1，

令ℎ(x)=(x−1)lnx−1，ℎ′(x)=lnx−1x+1，

易得ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，且x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0；x∈(1,+∞)【解析】解：如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中，

设长方体的长宽高分别为x，y，z，

则x2+y2=36y2+z2=16x2+z2=36，

解得x=27y=22z=22，

所以四面体ADEF为7.【答案】B

【解析】解：因为数列{an}满足a1=10，an+1−ann+1=2，即an+1−an=2(n+1)，

当n≥2时，an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(an−an−1)=10+4+6+...+2n

=8+2n+12n(n−1)×2=n2+n+8(符合首项)，

故对任意的【解析】解：已知x3+3y−2=lnx+lny变形可得x3−lnx+3y−lny=2，

设f(t)=t−lnt，t>0，求导可得f′(t)=1−1t=t−1t，

当0<t<1时，t−1<0，f′(t)<0，f(t)单调递减；

当t>1时，t−1>0，f′(t)>0，f(t)单调递增，

所以f(t)在t=1处取得最小值为f(1)=1，

因为x3−lnx+3y−lny=2，

且f(x3)+f(3y)=x3−lnx3+3y−ln(3y)=x3−lnx+ln3+3y−lny−ln3=x3−lnx+3y−lny=2，

又因为f(x【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，若A、B都在后3天介绍，需要将A、B安排在后三天，剩下的3个领域全排列即可，有种介绍方法，A正确；

对于B，分2种情况讨论：若A在最后一天介绍，有A44=24种介绍方法，

若A不在最后一天介绍，有C31C31A33=54种介绍方法，

则有24+54=78种介绍方法，B错误；

对于C，若A，B相隔一天介绍，在C、D、E中任选1个，安排在A、B中间，

再将其与A、B看成一个整体，有C31A22=6种情况，

再将整个整体与剩下的2个全排列，有A33=6种情况，则有6×6=36种介绍方法，C正确；

对于D，先将A安排在B、C之前，有2种情况，

将D插在A、B、C中，有4种安排方法，

最后将E插在A、B、【解析】解：A，C，D可“连续完美分割”，如图：

对于B，对于4×4的方格，其可行的“连续完美分割”，仅有以下4种情形或其旋转图形，经验证，分割条件的分割方式不存在；

故答案为：ACD．11.【答案】BCD

【解析】解：导函数f′(x)(ex+e−x−1)−f(x)(ex−e−x)>0，

即f′(x)(ex+e−x−1)−f(x)(ex+e−x−1)′>0，

由于x>0时ex+e−x−1>0，因此f′(x)(ex+e−x−1)−f(x)(ex+e−x−1)′(ex+e−x−1)2>0．

即[f(x)ex+e−x−1]′>0，即函数F(x)=f(x)ex+e−x−1在区间(0,+∞)单调递增，

又因为函数y=f(x)为奇函数且在R上连续，函数y=ex+e−x−1为偶函数且恒正，

因此函数F(x)=f(x)ex+e−x−1为奇函数在R上连续，且单调递增，

对于选项A：

x<0时，函数F(x)=f(x)ex+e−x−1<F(0)=0⇒f(x)<0，因此选项A错误．

对于选项B：

函数F(x)=f(x)ex+e−x−1为奇函数，并且在【解析】解：化简已知复数可得z=a+i1+i=(a+i)(1−i)(1+i)(1−i)=a+12+(1−a)i2，

由纯虚数的定义可得a+1=013.【答案】600

【解析】解：完成工作可分四步，第一步，“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法；

第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有5种不同的选法；

第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有4种不同的选法；

第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有5种不同的选法．

由分步计数原理知，该板报共有6×5×4×5=600(种)不同的书写方案．

故答案为：600．

14.【答案】[1【解析】解：f(x)=ax+eax−lnx，g(x)=x39，

当f(x)≥g(x)时，φ(x)=f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|2=f(x)，

当f(x)<g(x)时，φ(x)=g(x)，

则φ(x)=max{f(x),g(x)}，

当g(x)=x39≥x在(0,+∞)上恒成立，则x≥3，

也就是说，此时φ(x)=max{f(x),g(x)}≥x在x≥3必然恒成立，

则只需要f(x)=ax+eax−lnx在(0,3)上恒成立，

则有f(x)=ax+eax−lnx≥x⇒lneax+eax≥x+lnx，

构造ℎ(x)=x+lnx，由于y=x与y=lnx在(0,+∞)上均是增函数，

所以ℎ(x)=x+lnx在(0,+∞)上是增函数，

而lneax+eax≥x+lnx⇔ℎ(eax)≥ℎ(x)，

则有eax≥x⇒ax≥lnx⇒a≥lnxx(x>0)，

又构造m(x)=lnxx(x>0)，则m′(x)=1−lnx【解析】(1)根据题意，若n=5，从盒中一次性摸取2个小球，有Cn5种取法，

其中编号相邻的可能情况有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”，共4种可能情况，

故2个小球编号不相邻的概率P=1−4C52=1−410=35；

(2)(ⅰ)根据题意，P(X=1)=C62⋅C21⋅C41C62⋅C62=815，

(ⅱ)根据题意，当0<k<n时，整数m满足t≤m≤k，其中t=max{0,2k−n}，

“X=m”所包含的事件总数为Cnk⋅Ckm⋅Cn−kk−m，

由古典概型公式，有P(X=m)=Cnk⋅Ckm⋅Cn−kk−m(Cnk)2，

设f(m)=P(X=m)=Cnk⋅Ckm⋅Cn−kk−m(Cnk)2=Ckm⋅Cn−kk−mCnk，

则f(m)f(m−1)=Ckm⋅C【解析】(1)函数f(x)=lnx−ax(a∈R)的定义域为(0,+∞)，

当a=2时，f(x)=lnx−2x(x>0)，f(1)=−2，

又f′(x)=1x+2x2，则f′(1)=3，

所以函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=3(x−1)，

即3x−y−5=0．

(2)由f(x)=lnx−ax(x>0)，

则f′(x)=1x+ax2=x+ax2，

当a≥0时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

此时函数f(x)在(1,e)上没有最小值，不符合题意；

当a<0时，由f′(x)>0，得x>−a，由f′(x)<0，得0<x<−a，

所以函数f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增，

若−a>e，即a<−e时，函数f(x)在(1,e)上单调递减，

此时函数f(x)在(1,e)上没有最小值，不符合题意；

若−a<1，即−1<a<0时，函数f(x)在(1,e)上单调递增，

此时函数f(x)在(1,e)上没有最小值，不符合题意；

若1≤−a≤e，即−