第16讲　导数与函数的单调性-2026高考数学大一轮全面复习资料（提高版）学生版

第16讲导数与函数的单调性链教材夯基固本激活思维1.(人A选必二P87练习T1(2)改)函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为()A.(1，＋∞) B.(0，＋∞)C.(－∞，0) D.(－∞，1)2.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为()A.－2 B.2C.－3 D.13.(人A选必二P89练习T3改)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是()(第3题)A.在区间(0，a)上，f(x)为定值B.函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增C.函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增D.函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减(人A选必二P89练习T1(2)改)函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为____________5.若函数f(x)＝－x2＋4x＋blnx在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是____________．聚焦知识1.求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)确定f(x)的_____________；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)__0(或f′(x)__0)，得函数f(x)的单调递增(减)区间；(4)当_____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当______________时，f(x)在相应区间上是减函数．2.常用结论(1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．(3)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．研题型素养养成举题说法函数单调性的判断视角1不含参函数例1-1(1)(2024·怀化二模)已知f(x)＝2x2－3x－lnx，则f(x)的单调递增区间为____________．(2)(2024·淮北二模节选)已知函数f(x)＝cos2x＋x2－1，记g(x)＝f′(x)，试判断g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性．变式1-1(2024·开封三模节选)已知函数f(x)＝x3－3lnx，f′(x)为f(x)的导函数，求函数g(x)＝f(x)－f′(x)－eq\f(9,x)的单调区间．视角2含参函数例1-2(1)(2025·肇庆期初联考)已知a＞0，函数f(x)＝ex－(a－1)x－lna，讨论f(x)的单调性．(2)(2025·德州期初节选)已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(a＋2)x.若0＜a≤2，讨论函数f(x)的单调性．变式1-2(2024·武汉4月调研)已知函数f(x)＝lnx－ax＋x2.(1)若a＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性．结合函数单调性确定参数例2(1)若函数f(x)＝(x2＋mx)ex在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上存在单调递减区间，则实数m的取值范围是____________．(2)(2024·上饶一模)若函数f(x)＝x3－eq\f(1,2)ax2＋6x在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围为______________．1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)上单调递增，则实数a的最小值为()A.e2 B.eC.e-1 D.e-22.若函数h(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_____________．3.若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是()A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)B.(－3，－1)∪(1，3)C.(－2，2)D.不存在这样的实数k随堂内化1.(2025·烟台期中)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x.若函数y＝f(x)在区间[a－1，a]上单调递减，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－2] B.(－∞，－1]C.[－1，2] D.[2，＋∞)2.(2024·北京卷改编)函数f(x)＝x－ln(1＋x)的单调递减区间是______________；单调递增区间是____________．3.(2024·滨州二模)若函数f(x)＝kx2－ex在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是______________．4.(2025·八省联考)已知曲线C：y＝x3－eq\f(2,x)，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点．若△OPM的面积为eq\r(2)，则△MNQ的面积为______________.配套精练A组夯基精练一、单项选择题1.函数f(x)＝x2－4lnx＋2x－3的单调递减区间是()A.(1，＋∞)B.(－2，1)C.(0，1)D.(－∞，－2)和(1，＋∞)2.(2024·上饶一模)已知函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是()A.f(x)的导函数为f′(x)＝(x－1)exB.f(x)在(－1，＋∞)上单调递减C.f(x)的最小值为－eq\f(1,e)D.f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x3.若函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.(1，2] D.[1，2)4.(2024·汕头二模)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，3)上单调递减，则实数a的最大值为()A.eq\f(1,e) B.eq\f(1,3e)C.eq\f(1,3e3) D.eq\f(1,e3)二、多项选择题5.若函数y＝eq\f(f(x),lnx)在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为“P函数”．下列函数中为“P函数”的为()A.f(x)＝1 B.f(x)＝xC.f(x)＝eq\f(1,x) D.f(x)＝eq\r(x)6.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则g(x)＝eq\f(ex,f(x))在区间()(第6题)A.(0，1)上单调递增B.(1，4)上单调递减C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))上单调递减D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4))上单调递减7.(2024·南昌二模)已知f(x)＝x＋acosx(a≠0)，则下列说法正确的是()A.f(x)在R上可能单调递减B.若f(x)在R上单调递增，则a∈[－1，0)∪(0，1]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(π,2)))是f(x)的一个对称中心D.f(x)图象所有的对称中心在同一条直线上三、填空题8.若函数g(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是_____________．9.(2024·广州一模节选)已知函数f(x)＝cosx＋xsinx，x∈(－π，π)，那么f(x)的单调递增区间为____________，单调递减区间为______________.10.(2024·苏锡常镇二调)如果函数f(x)在区间[a，b]上为增函数，则记为f(x)[a，b]，函数f(x)在区间[a，b]上为减函数，则记为f(x)[a，b].如果eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(4,\r(x))))eq\s\up12([m，8])，则实数m的最小值为_4_；如果函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)ax2＋2a2x，且f(x)[1，2]，f(x)[2，3]，则实数a＝____________．四、解答题11.(2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1.(1)求a，b的值；(2)设g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．12.(1)(2024·烟台、德州二模节选)已知函数f(x)＝mx－lnx，x∈(1，＋∞)，讨论f(x)的单调性．(2)(2024·青岛一模节选)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx，讨论f(x)的单调性．B组创新题体验13.(2025·烟台期中)(多选)设在区间D上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，函数f′(x)的导函数为f″(x).若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．又当函数f′(x)在区间D上单调递减时，称函数y＝f(x)为区间D上的“上凸函数”，则()A.任何一个三