信号与系统新教材课件 03-第三章 连续时间系统的频域分析

第三章连续时间系统的频域分析南京航空航天大学电子信息工程学院主要内容周期信号表示为傅里叶级数引言13信号表示为正交函数集2非周期信号的傅里叶变换4连续系统的频域分析5调幅信号6主要内容周期信号表示为傅里叶级数引言13信号表示为正交函数集2非周期信号的傅里叶变换4连续系统的频域分析5调幅信号63.1引言在时域中，求系统的零输入响应是比较简单的，关键在于求出特征根。3.1引言在时域中，求系统的零输入响应是比较简单的，关键在于求出特征根。为了求零状态响应，首先需要将信号在时域中分解为简单信号的叠加，然后求出系统对这些简单信号的响应，再根据线性时不变系统的性质将这些响应叠加起来。3.1引言在这一章中，我们首先研究信号的另一种分解方法，这种分解方法将赋予信号新的物理意义，即信号频率。因此，这种分解方法也称为信号的频域分解，建立在此基础上的系统分析方法称为频域分析。主要内容周期信号表示为傅里叶级数引言13信号表示为正交函数集2非周期信号的傅里叶变换4连续系统的频域分析5调幅信号63.2信号表示为正交函数集信号的频域分解与向量（或矢量）的分解十分相似，所以，我们先从向量的分解与合成谈起。3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成力的分解与合成符合平行四边形法则：3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成现在将力抽象成向量，这样所得出的一些结论就具有普遍性。3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成现在将力抽象成向量，这样所得出的一些结论就具有普遍性。分量系数3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成平面上的一个向量必须在两个不同方向上分解为两个分量才能完全代表原来的向量；而三维空间中的向量必须分解为三个不同方向上的分量；也可推广到n维空间。3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成平面上的一个向量必须在两个不同方向上分解为两个分量才能完全代表原来的向量；而三维空间中的向量必须分解为三个不同方向上的分量；也可推广到n维空间。在线性代数中，称这些不同方向的向量是线性无关的。3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成由这些线性无关向量组成的向量集合，称为一组基。完备；正交基；正交完备基。3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成在n维空间中，一个向量要分解为n个分量来精确地表示，但在实际工程中只需要达到一定的精度就可以了，并不需要取所有n个分量。当取的分量数比空间维数小时，就必然会产生误差。然而，我们可使误差最小化。3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成设平面上两个向量，用在上的分量来近似地表示，那么就会产生误差，如图：3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成由余弦定理可得：为使误差最小，对分量系数求导并令其等于零，则有：3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成写成向量内积的形式，则有：此时，在上的分量大小为要使误差最小，应取在上的垂直投影。3.2信号表示为正交函数集一、向量的分解与合成当两个向量正交时，内积为零，分量系数也为零；当两个向量相等时，内积最大，等于该向量模的平方，分量系数为1。因此，两个向量的内积为零，就成了判别两个向量是否正交的准则。而分量系数反映了两个向量的相似程度。3.2信号表示为正交函数集二、正交向量集和正交函数集正交向量集：3.2信号表示为正交函数集二、正交向量集和正交函数集关于向量的分解，有如下结论：1、n维向量空间中的任一向量可分解为n个分量；2、如果分量小于n个，则产生误差，如果平方误差最小，应取其垂直投影；3、向量的分解一般采用正交向量集，即正交分解。3.2信号表示为正交函数集二、正交向量集和正交函数集现在，我们把正交向量集推广到正交函数集的情形。两个函数的内积定义为：如果两个函数的内积为零，就称它们是正交的。3.2信号表示为正交函数集二、正交向量集和正交函数集正交函数集：3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解现在，我们来研究函数的分解问题。假设两函数定义在区间上，取在

上的分量来近似，那么将产生误差，记为：。3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解为了使误差最小，我们做如下定义。定义均方误差：为使均方误差最小，求导，分量系数应取：3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解关于函数的分解，有如下结论：1、n维函数空间中的任一函数可分解为n个分量；2、如果分量小于n个，则产生误差，如果平方误差最小，分量系数应取上式值；3、函数的分解一般采用正交函数集，即正交分解。3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解现在我们举一个例子。例3.1：对于以下三个函数，研究它们的关系。其中，A和T都是实常数。3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解解：首先，画出这三个函数的图形：3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解解：首先，画出这三个函数的图形：显然，，说明这两个函数正交，可作为二维函数空间的正交基。3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解解：实际中通常采用归一化的正交基：求出第二个函数在这组基上的垂直投影，即它的坐标：3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解解：这样，第二个函数就可以分解为3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解解：另外两个函数也可以分解为3.2信号表示为正交函数集三、函数的分解解：这样，这三个信号就可以在这组基下用它们的坐标表示，如下图所示：主要内容周期信号表示为傅里叶级数引言13信号表示为正交函数集2非周期信号的傅里叶变换4连续系统的频域分析5调幅信号63.3周期信号表示为傅里叶级数对于周期信号，每个周期的波形都是一样的，因此，只要研究它的一个周期就可以了。现在，我们研究一个公共周期是T的函数集，记，通常称为基波频率。一、三角傅里叶级数对于由无穷多个三角函数组成的一个函数集：通常视计算方便，积分区间可取或

等，积分区间应为函数的一个周期。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数下式表明，是一个正交函数集，可以作为一组基。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数对于一个周期为T的周期函数，就可以在这组基上分解。这样的分解，称傅里叶级数展开，三角傅里叶级数一般表示为：3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数其中，分量系数为：3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数其中，分量系数为：当给定一个周期是T的周期函数时，只要代入上式计算出这些分量系数，就完成了傅里叶级数展开。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数三角傅里叶级数的物理意义是明显的：3.3周期信号表示为傅里叶级数直流分量一、三角傅里叶级数三角傅里叶级数的物理意义是明显的：3.3周期信号表示为傅里叶级数直流分量不同频率的余弦分量不同频率的正弦分量一、三角傅里叶级数下式的三角傅立叶级数展开式中只含有基波频率整数倍的频率分量，这就是其称为基波频率的原因，周期信号的这个特性称为谐波性。其中，频率为的信号称为基波，频率为的信号称为二次、三次谐波3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数三角傅里叶级数还可以写成：其中，或者3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数三角傅里叶级数还可以写成：其中，或者3.3周期信号表示为傅里叶级数关于n偶对称一、三角傅里叶级数三角傅里叶级数还可以写成：其中，或者3.3周期信号表示为傅里叶级数关于n偶对称关于n奇对称一、三角傅里叶级数上式表明，一个周期信号可以分解为直流分量以及许多振幅为、相位为的余弦函数。也可以说，直流分量以及无穷多的频率分量合起来等于原来的周期信号。后面还将画出这个信号的频谱分布图。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数下面，用一个具体的例子来说明傅里叶级数的一些其他问题。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数下面，用一个具体的例子来说明傅里叶级数的一些其他问题。例3.2：下图是实际中常见的一种周期信号，称方波信号。请将它展开傅里叶级数。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数解：根据分量系数公式，容易求出：3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数解：于是，可写出方波信号的傅里叶级数展开式为：3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数解：于是，可写出方波信号的傅里叶级数展开式为：注：这样就将周期方波分解为无穷多个不同频率和大小的正弦分量。或者说，将这些不同频率和大小的正弦分量叠加起来就等于这个周期方波。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数解：于是，可写出方波信号的傅里叶级数展开式为：显然，要正确地表达这个信号，需要无穷多项。但是，如果只取它的前N项，会怎样呢？3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数答案是显然的：会有误差！3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数答案是显然的：会有误差！记傅里叶展开式的前N项为。下图给出了N取不同值时的情况，阴影部分显示了它们与原方波的误差。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数我们发现，N越大，曲线越接近原方波，误差也就越小。当N趋于无穷大时，曲线的上部和下部会越来越平坦，最终与方波吻合；交界处也越来越陡峭，最终与原信号吻合。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数当N趋于无穷大时，其中，。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数当N趋于无穷大时，的值比原函数值大，这个值大约是方波跳跃量的9%，即3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数当N趋于无穷大时，的值比原函数值大，这个值大约是方波跳跃量的9%，即这一现象称为Gibbs现象。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数周期信号展开成傅里叶级数还需要该函数满足狄利克雷（Dirichlet）条件。实际中的周期信号，一般可认为是满足这个条件的。3.3周期信号表示为傅里叶级数一、三角傅里叶级数周期信号展开成傅里叶级数还需要该函数满足狄利克雷（Dirichlet）条件。实际中的周期信号，一般可认为是满足这个条件的。狄利克雷条件的具体内容引述如下：1、函数在一个周期内绝对可积；2、函数在一个周期内极值数目有限；3、函数在一个周期内或连续或具有有限的第一类间断点。3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数根据欧拉公式，三角函数可以用指数表示，可以写成指数的形式：3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数根据欧拉公式，三角函数可以用指数表示，可以写成指数的形式：3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数根据欧拉公式，三角函数可以用指数表示，可以写成指数的形式：3.3周期信号表示为傅里叶级数关于n偶对称二、指数傅里叶级数根据欧拉公式，三角函数可以用指数表示，可以写成指数的形式：3.3周期信号表示为傅里叶级数关于n偶对称关于n奇对称二、指数傅里叶级数于是，得到：3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数于是，得到：记，通常是一个复数，则有：3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数于是，得到：记，通常是一个复数，则有：因此，3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数从而，指数傅里叶级数的一般形式为：注：虽然有两种形式的傅里叶级数——三角级数和指数级数，但两者本质上是相同的。指数傅里叶级数在实际中更常用，只需计算一个分量系数，即可确定三角级数中的其他参数。3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数下面，再举一个指数傅里叶级数的例子。例3.3：下图是非常典型的一种周期信号，称为周期矩形脉冲。请将它展开成傅里叶级数。3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数解：首先，计算分量系数：3.3周期信号表示为傅里叶级数二、指数傅里叶级数解：首先，计算分量系数：因此，周期矩形脉冲的傅里叶级数展开式为：3.3周期信号表示为傅里叶级数（偶函数）二、指数傅里叶级数解：上式也可以写成三角级数的形式：3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量前面章节讲到，傅里叶级数展开本质上是将一个周期信号分解为振幅和相位不同的正弦函数，并且这些正弦函数的频率一定是基波频率的整数倍。如果周期信号本身就具有某种奇偶关系，那么它的谐波分量就更为确切。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量研究函数的奇偶性与谐波含量的关系可以帮助我们在计算之前确定傅里叶级数中的谐波结构，这样可以减小计算工作量。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量研究函数的奇偶性与谐波含量的关系可以帮助我们在计算之前确定傅里叶级数中的谐波结构，这样可以减小计算工作量。通常，周期信号可分为4种奇偶关系：偶函数、奇函数、奇谐函数、偶谐函数。下面我们一一讨论。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量1、偶函数偶函数的波形关于纵轴对称，即：下图就是一个偶函数的例子。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量1、偶函数在这种情况下，因此，偶函数的三角傅里叶级数展开式中只含有余弦项，还可能还有直流分量，但一定不含有正弦项。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量1、偶函数在这种情况下，因此，偶函数的三角傅里叶级数展开式中只含有余弦项，还可能还有直流分量，但一定不含有正弦项。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量2、奇函数奇函数的波形关于原点对称，即：下图就是一个奇函数的例子。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量2、奇函数在这种情况下，因此，奇函数的三角傅里叶级数展开式中只含有正弦项，不含余弦项和直流分量。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量2、奇函数在这种情况下，因此，奇函数的三角傅里叶级数展开式中只含有正弦项，不含余弦项和直流分量。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量3、奇谐函数奇谐函数中任意的半个周期与其相邻的半个周期的波形关于横轴成镜像关系，即：3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量3、奇谐函数经推导，得到：上式表明，奇谐函数的傅里叶级数展开式只含有奇次谐波，而没有偶次谐波。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量4、偶谐函数偶谐函数中任意的半个周期与其相邻的半个周期的波形相同，即：3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量4、偶谐函数偶谐函数的傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波，而没有奇次谐波。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量有些函数可能包含双重奇偶关系。例如，例3.2中的方波不仅是奇函数，而且是奇谐函数。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量有些函数可能包含双重奇偶关系。例如，例3.2中的方波不仅是奇函数，而且是奇谐函数。有些函数通过适当的坐标变换就可改变它的奇偶性。3.3周期信号表示为傅里叶级数三、信号的奇偶性与谐波含量有些函数可能包含双重奇偶关系。例如，例3.2中的方波不仅是奇函数，而且是奇谐函数。有些函数通过适当的坐标变换就可改变它的奇偶性。另外，一个非奇非偶函数可分解为一个奇分量和一个偶分量的叠加。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱傅里叶级数展开本质上是将周期函数分解为不同频率、不同大小和不同相位的正弦信号。如果用图形表示出来，将会更加直观。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱傅里叶级数展开本质上是将周期函数分解为不同频率、不同大小和不同相位的正弦信号。如果用图形表示出来，将会更加直观。一般而言，频谱包括幅度谱和相位谱：3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱傅里叶级数展开本质上是将周期函数分解为不同频率、不同大小和不同相位的正弦信号。如果用图形表示出来，将会更加直观。一般而言，频谱包括幅度谱和相位谱：以角频率或频率为横坐标，幅度为纵坐标画出的图形称幅度谱；3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱傅里叶级数展开本质上是将周期函数分解为不同频率、不同大小和不同相位的正弦信号。如果用图形表示出来，将会更加直观。一般而言，频谱包括幅度谱和相位谱：以角频率或频率为横坐标，幅度为纵坐标画出的图形称幅度谱；以角频率或频率为横坐标，相位为纵坐标画出的图形称相位谱。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱通常，周期信号的相位比较简单，有时省略不画或直接标注在幅度谱上。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱1、周期方波的频谱现在以例3.2中的方波为例，说明频谱图的画法。方波的傅里叶级数展开式可写为：3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱1、周期方波的频谱现在以例3.2中的方波为例，说明频谱图的画法。方波的傅里叶级数展开式可写为：对照式，就可以画出方波信号的频谱：3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱1、周期方波的频谱3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱1、周期方波的频谱3.3周期信号表示为傅里叶级数各次谐波相位相同，故略去相位谱，将相位直接标注在幅度谱中。四、周期信号的频谱2、周期信号频谱的特征从方波信号的频谱中可以看出，周期信号的频谱具有如下三个特征：3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱2、周期信号频谱的特征从方波信号的频谱中可以看出，周期信号的频谱具有如下三个特征：3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱2、周期信号频谱的特征从方波信号的频谱中可以看出，周期信号的频谱具有如下三个特征：1、离散性：频谱由一些离散的线条构成，是离散谱；3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱2、周期信号频谱的特征从方波信号的频谱中可以看出，周期信号的频谱具有如下三个特征：1、离散性：频谱由一些离散的线条构成，是离散谱；2、谐波性：每条谱线表示信号的一个分量，其频率都是基波频率的整数倍；3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱2、周期信号频谱的特征从方波信号的频谱中可以看出，周期信号的频谱具有如下三个特征：3、收敛性：谐波振幅随谐波的次数增加而减小，谐波次数无线增大则振幅无限趋小。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱事实上，作频谱图只需要求出傅里叶级数的系数就可以得到模和幅角，并不需要写出级数的具体表达式。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱事实上，作频谱图只需要求出傅里叶级数的系数就可以得到模和幅角，并不需要写出级数的具体表达式。对于周期矩形脉冲，可见幅度谱的包络是一个抽样函数。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱下图给出了一个周期矩形脉冲的幅度谱。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的相位也是简单的，不需要另外作图。相位值可直接在幅度谱中标注。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的相位也是简单的，不需要另外作图。相位值可直接在幅度谱中标注。幅度谱中的每一根谱线代表了一个正弦（余弦）分量，谱线的长度表示正弦信号的大小；而相位谱中的相位表示这个正弦信号的相位。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱频谱图的作法是灵活的。如果当函数值为负时，让它保持负值，这样画出的频谱称为复数谱，如下所示：3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱复数谱的意义与通常的频谱类似，每一根谱线也代表一个正弦分量。只是当谱线为负值时，它所代表的正弦分量的振幅是它的绝对值，而这时它的相位是。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱还可以直接根据指数级数的系数画出，这种频谱称为双边复数谱，如下所示：3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱3、周期矩形脉冲的频谱双边复数谱的意义与通常的频谱图略有不同，它的每一根谱线代表的是一个指数分量，并非一个正弦分量，即一正一负两个指数分量合起来才是一个正弦分量。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱4、周期矩形脉冲频谱的特点周期矩形脉冲是一种非常典型的周期信号，它的频谱非常重要。首先，它是一个离散谱，谱线间隔是一个基波，因此具有周期信号频谱的前两个特征，即离散性和谐波性。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱4、周期矩形脉冲频谱的特点周期矩形脉冲是一种非常典型的周期信号，它的频谱非常重要。其次，频谱的包络是抽样函数n越小，幅度也越小，符合周期信号频谱的第三个特征——收敛性。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱4、周期矩形脉冲频谱的特点周期矩形脉冲的相位谱也是简单的，不必另做相位谱，可以在幅度谱中标注或者直接用复数谱、双边复数谱将相位信息表达出来。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱5、信号的频带宽度信号的频带宽度简称带宽。确切地说，应该是信号的有效带宽。由于频谱的幅度具有收敛性，随着n的增大，幅度减小。因此，可将幅度较小的频率分量忽略，而把信号幅度较大的一段频率范围称为信号的有效带宽。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱5、信号的频带宽度频带宽度的定义方法有多种。工程上，常将信号功率下降到最大值的一半，也就是信号幅度下降到最大值的作为标准，此时的带宽称为半功率带宽或3dB带宽。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱5、信号的频带宽度特别地，对于周期矩形脉冲，将它的第一个过零点作为它的宽度，即：。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系周期矩形脉冲有三个脉冲参数：脉冲幅度

，脉冲宽度，周期。幅度只对频谱的整体幅度产生影响，而与频谱的结构没有关系。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系周期矩形脉冲有三个脉冲参数：脉冲幅度

，脉冲宽度，周期。幅度只对频谱的整体幅度产生影响，而与频谱的结构没有关系。因此，只讨论脉冲宽度和周期与频谱结构的关系即可。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（1）脉冲周期不变，脉冲宽度改变

不变，基波频率不变，则谱线的间隔就不变。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（1）脉冲周期不变，脉冲宽度改变

不变，基波频率不变，则谱线的间隔就不变。

变小，频谱的零点变大，即频带宽度增大，频谱的收敛速度变慢。反之，频带变小，收敛速度变快。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（2）脉冲周期改变，脉冲宽度不变

不变，则频谱的零点位置不变，信号的带宽也不变。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（2）脉冲周期改变，脉冲宽度不变

不变，则频谱的零点位置不变，信号的带宽也不变。

改变，基波频率改变，因此谱线的间隔就改变。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（2）脉冲周期改变，脉冲宽度不变3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（2）脉冲周期改变，脉冲宽度不变3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（2）脉冲周期改变，脉冲宽度不变可以看到，周期增大，基波频率变小，谱线变密，但频谱的整体幅度变小。在极端情况下，如周期趋于无穷大时，周期矩形脉冲就变成单个脉冲，即非周期信号，而其谱线间隔变得无限的密，成为连续谱。3.3周期信号表示为傅里叶级数四、周期信号的频谱6、周期矩形脉冲的脉冲参数与频谱结构的关系（2）脉冲周期改变，脉冲宽度不变由此可以推测，非周期信号的频谱是连续谱。然而，当周期趋于无穷大时，频谱的整体幅度变成无穷小，这就没有意义了。3.3周期信号表示为傅里叶级数主要内容周期信号表示为傅里叶级数引言13信号表示为正交函数集2非周期信号的傅里叶变换4连续系统的频域分析5调幅信号6一、傅里叶变换与反变换当时，趋于无穷小，用表示；而变成一个连续的变量，用表示。于是，这个积分的结果是的函数，也可将它看成是的函数，记为：3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换上式称为函数的傅里叶变换，记为：

，表示对时域函数作傅里叶变换，其结果是一个的函数，记为：，也称频谱密度函数，简称频谱函数、频谱等。3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换反之，在已知的情况下可以反过来求出：上式称为的傅里叶反变换，记为：

，表示对频域函数作傅里叶反变换，其结果就是原函数。3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换傅里叶变换对：从数学上说，它们是一一对应的，知道其中一个，可以求出另外一个。3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换傅里叶变换对：从数学上说，它们是一一对应的，知道其中一个，可以求出另外一个。从物理上说，两者是同一个信号的不同表示形式，前者是信号的时域表示，后者是同一信号的频域表示。3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换需要说明的是，傅里叶变换并不总是存在的，对于有些函数，在无限区间上积分，并不能得到一个确切的结果。3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换需要说明的是，傅里叶变换并不总是存在的，对于有些函数，在无限区间上积分，并不能得到一个确切的结果。傅里叶变换存在的充分条件是绝对可积：3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换需要说明的是，傅里叶变换并不总是存在的，对于有些函数，在无限区间上积分，并不能得到一个确切的结果。傅里叶变换存在的充分条件是绝对可积：3.4非周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换与反变换需要说明的是，傅里叶变换并不总是存在的，对于有些函数，在无限区间上积分，并不能得到一个确切的结果。傅里叶变换存在的充分条件是绝对可积：满足这个条件，傅里叶变换一定存在；否则，其傅里叶变换就不一定存在。3.4非周期信号的傅里叶变换二、傅里叶变换的奇偶性1、实函数的傅里叶变换一个实函数的傅里叶变换通常也是复函数，复函数可用实部和虚部表示，也可以用模和幅角表示。3.4非周期信号的傅里叶变换二、傅里叶变换的奇偶性1、实函数的傅里叶变换一个实函数的傅里叶变换通常也是复函数，复函数可用实部和虚部表示，也可以用模和幅角表示。其中，3.4非周期信号的傅里叶变换实部虚部二、傅里叶变换的奇偶性1、实函数的傅里叶变换一个实函数的傅里叶变换通常也是复函数，复函数可用实部和虚部表示，也可以用模和幅角表示。其中，3.4非周期信号的傅里叶变换偶函数奇函数二、傅里叶变换的奇偶性1、实函数的傅里叶变换一个实函数的傅里叶变换通常也是复函数，复函数可用实部和虚部表示，也可以用模和幅角表示。其中，3.4非周期信号的傅里叶变换模幅角二、傅里叶变换的奇偶性1、实函数的傅里叶变换一个实函数的傅里叶变换通常也是复函数，复函数可用实部和虚部表示，也可以用模和幅角表示。其中，3.4非周期信号的傅里叶变换偶函数奇函数二、傅里叶变换的奇偶性1、实函数的傅里叶变换实函数的傅里叶变换符合下式的共轭对称性：3.4非周期信号的傅里叶变换二、傅里叶变换的奇偶性2、信号的时域反折信号在时域反折，其傅里叶变换在频域中也反折：3.4非周期信号的傅里叶变换二、傅里叶变换的奇偶性2、信号的时域反折信号在时域反折，其傅里叶变换在频域中也反折：如果信号是一个实函数，那么该信号在时域中反折也等价于其傅里叶变换在频域中的共轭：3.4非周期信号的傅里叶变换二、傅里叶变换的奇偶性3、实偶函数的傅里叶变换如果信号是一个实偶函数，则是一个奇函数，奇函数在对称区间上积分为零，于是，有：因此，实偶函数的傅里叶变换也是一个实偶函数。3.4非周期信号的傅里叶变换二、傅里叶变换的奇偶性4、实奇函数的傅里叶变换如果信号是一个实奇函数，则是一个奇函数，于是，有：因此，实奇函数的傅里叶变换也是一个虚奇函数。3.4非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的物理意义先来回顾下傅里叶级数的物理意义。三角傅立叶级数，表示一个周期信号可以分解为一个直流分量，以及许多频率是基波频率整数倍的余弦函数。另外，三角傅立叶级数与指数傅里叶级数本质上是一样的。3.4非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义可以从其反变换公式看出，将其改写为：3.4非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义可以从其反变换公式看出，将其改写为：上式表明，傅里叶变换是将一个非周期信号分解为在时域和频域中都连续的指数函数。3.4非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义可以从其反变换公式看出，将其改写为：上式中，它的分量系数为，这是一个无穷小的量，反映了在无限小的频带内指数函数的大小和相位。这也是称为频谱密度函数的原因。3.4非周期信号的傅里叶变换三、傅里叶变换的物理意义严格地说，指数分量的大小是，而的幅角就是指数函数的相位。由于这里的指数函数是的连续函数，因此，上式中将这些指数函数叠加是一个求积分的过程。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱由傅里叶反变换的表达式可以看到，非周期信号可以表示成指数函数的积分。频谱密度函数反映了指数函数的幅度和相位在频域中的分布情况。如果将函数画成曲线，就是非周期信号的频谱。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱由于频谱密度函数是一个复函数，因此与周期信号一样，也分为幅度谱和相位谱。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱由于频谱密度函数是一个复函数，因此与周期信号一样，也分为幅度谱和相位谱。以角频率或频率为横坐标，幅度为纵坐标画出的图形称幅度谱；3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱由于频谱密度函数是一个复函数，因此与周期信号一样，也分为幅度谱和相位谱。以角频率或频率为横坐标，幅度为纵坐标画出的图形称幅度谱；以角频率或频率为横坐标，相位为纵坐标画出的图形称相位谱。如果相位谱比较简单，也可以省略不画。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱1、门函数的傅里叶变换及频谱下面，举一个例子来说明非周期信号的频谱。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱1、门函数的傅里叶变换及频谱例3.4：已知门函数，如图所示。求频谱密度函数，并画出其幅度谱和相位谱。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱1、门函数的傅里叶变换及频谱解：3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱1、门函数的傅里叶变换及频谱解：3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱1、门函数的傅里叶变换及频谱解：门函数的傅里叶变换是一个抽样函数，它的幅度谱就是抽样函数的绝对值；3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱1、门函数的傅里叶变换及频谱解：相位谱只要参照门函数的符号变化即可求得，函数值为负值时，相位就是或，函数值为正时相位为零。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱1、门函数的傅里叶变换及频谱解：也可直接画出频谱密度函数曲线：3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较门函数是一个很典型的信号，它的频谱很重要。门函数可以看成是周期脉冲在周期趋于无穷大时的结果。因此，它们的频谱由相似之处，主要有以下三点：3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较1、包络形状相同，都是抽样函数；3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较1、包络形状相同，都是抽样函数；2、零点位置相同，信号带宽不变；3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较1、包络形状相同，都是抽样函数；2、零点位置相同，信号带宽不变；3、幅度具有收敛性。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较不同之处也很明显。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较不同之处也很明显。首先，频谱从离散谱变为连续谱。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较另外，当脉冲宽度变化时，信号的频带宽度也将改变，脉宽越小，则带宽越宽。3.4非周期信号的傅里叶变换四、非周期信号的幅度谱和相位谱2、周期矩形脉冲的频谱与门函数频谱的比较另外，当脉冲宽度变化时，信号的频带宽度也将改变，脉宽越小，则带宽越宽。当脉宽趋于零时，带宽趋于无穷大，这时门函数就是一个宽度为无限小的脉冲，而它的频谱函数，即门函数的面积。由此，单位冲激函数的傅里叶变换是1。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对频谱密度函数反映了信号的幅度和相位在频域中的分布情况。因而，傅里叶变换和反变换时信号分析的重要手段，也可用于系统分析中。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对频谱密度函数反映了信号的幅度和相位在频域中的分布情况。因而，傅里叶变换和反变换时信号分析的重要手段，也可用于系统分析中。然而，在实际计算信号的傅里叶变换和反变换时，一般不（避免）代入公式直接计算，而是熟记常用变换对，再结合傅里叶变换性质，来推演得到结果。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对在记忆时，应记住原函数和它的频谱函数，要成对地记，因此称其为傅里叶变换对。这样既可以用于求傅里叶正变换，有可用于求傅里叶反变换。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对1、单位冲激函数3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对1、单位冲激函数证明：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对2、门函数对于幅度和宽度都为1的门函数：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数单边指数函数的定义为：其中，是大于零的实常数。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数单边指数函数的频谱函数为：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数单边指数函数的频谱函数为：需要记住单边指数函数的傅里叶变换对：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数单边指数函数的幅度谱和相位谱表达式：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数单边指数函数的幅度谱和相位谱表达式：3.4非周期信号的傅里叶变换偶函数五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数单边指数函数的幅度谱和相位谱表达式：3.4非周期信号的傅里叶变换偶函数奇函数五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数双边指数函数的定义为：其中，是大于零的实常数。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数双边指数函数的频谱函数为：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3、单边指数函数与双边指数函数双边指数函数的频谱函数为：需要记住双边指数函数的傅里叶变换对：注：由于双边指数函数是一个实偶函数，因而其傅里叶变换也是一个实偶函数。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对4、高斯脉冲高斯脉冲的定义为：这是一个均值为0、方差为1的正态分布概率密度函数。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对4、高斯脉冲将其代入傅里叶变换公式，得到：即：注：这是一个实偶函数。因此，原函数和频谱函数都是实偶函数。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对5、单位阶跃函数与符号函数3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对5、单位阶跃函数与符号函数注：由于符号函数是一个实奇函数，所以它的频谱函数是一个虚奇函数。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对6、复指数函数与正弦函数复指数函数是指，其中，是实常数。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对6、复指数函数与正弦函数复指数函数是指，其中，是实常数。由这个变换对，可以立即推出正弦和余弦函数的傅里叶变换对。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对6、复指数函数与正弦函数3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对7、周期冲激序列周期冲激序列记为，它是一个以T为周期、周期重复的单位冲激函数，如下图所示：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对7、周期冲激序列周期冲激序列的频谱也是一个周期冲激序列，只是周期变成了，冲激强度也变成了

。其频谱图下所示：3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对本节给出的7个变换对是最基本的，有它们可以推出许多其他的变换。而对于更复杂的变换，还需要结合傅里叶变换的性质来推演。下表给出了常用的傅里叶变换对。3.4非周期信号的傅里叶变换五、常用函数的傅里叶变换对3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质一个信号的时域表示与其在频域中的傅里叶变换，具有一一对应的关系，是对同一个信号的两种不同表示形式。本节介绍的傅里叶变换的性质将进一步阐明信号时域和频域之间的关系。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质熟练掌握这些性质，不仅可以对信号的时域和频域特性有更深的理解，而且可以使对复杂函数求傅里叶变换、反变换更简便易行。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质1、线性性质时域中信号的线性叠加对应频域中频谱函数的线性叠加。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质2、尺度变换性质

表示信号时域扩展；表示信号时域压缩；表示信号时域反折。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质2、尺度变换性质

表示信号时域扩展；表示信号时域压缩；表示信号时域反折。从上式中可以看出，如果信号时域压缩，则在频域中信号扩展；如果信号时域扩展，则频域压缩。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质2、尺度变换性质3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质信号在时域中的移位，相当于频域中乘以一个复指数函数。或者说，信号在时域中移位，则幅度谱不变，而相位叠加一个的线性相位。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质例3.5：下图是一个单边门函数，利用傅里叶变换的性质计算它的，并画出频谱图。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质解：由于则：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质解：单边门函数的频谱图如下所示：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质解：单边门函数的频谱图如下所示：3.4非周期信号的傅里叶变换幅度谱完全相同六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质解：单边门函数的频谱图如下所示：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质解：单边门函数的频谱图如下所示：3.4非周期信号的傅里叶变换相位谱叠加了一个线性相位六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质3、时域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质信号在频域中的移位，相当于在时域中乘以一个复指数函数。需要注意的是，前后的正负号是相反的。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质例3.6：已知，求的频谱函数。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质例3.6：已知，求的频谱函数。解：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质注：一个信号乘以余弦函数后，原来的频谱一分为二，左右各移位。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质下图给出了门函数频域移位的情形。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质注：这就是通信中的调制理论。通常携带有信息的信号在频域中主要集中在频率比较低的范围，称为基带信号。为了传输信息，需要将信号的频谱搬移到适合信道传输的频带内。可以通过将信号乘以一个高频的正弦信号来达到目的，这个高频的正弦信号称为载波，而称为载波频率或载频。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质4、频域移位性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质现举几个简单的例子来说明这个性质的应用。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质现举几个简单的例子来说明这个性质的应用。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质现举几个简单的例子来说明这个性质的应用。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质现举几个简单的例子来说明这个性质的应用。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质由此可见，利用已有的变换对和性质，不仅可以求傅里叶正变换，也可以求傅里叶反变换。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质例3.7：求抽样函数的傅里叶变换，其中，a是不等于0的实常数。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质例3.7：求抽样函数的傅里叶变换，其中，a是不等于0的实常数。解：根据门函数变换对，应用对称性质和尺度变换，可得：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质5、对称性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理卷积定理分为时域卷积定理和频域卷积定理两种。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理卷积定理分为时域卷积定理和频域卷积定理两种。（1）时域卷积定理时域中的卷积对应频域中的乘积。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理卷积定理分为时域卷积定理和频域卷积定理两种。（2）频域卷积定理频域中的卷积对应时域中的乘积，但有一个常数。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理例3.8：下图中的信号称为三角脉冲，记为，求三角脉冲的频谱函数。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理例3.8：下图中的信号称为三角脉冲，记为，求三角脉冲的频谱函数。解：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理例3.9：求的傅里叶变换.3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理例3.9：求的傅里叶变换.解：由于，根据频域卷积定理，3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理例3.9：求的傅里叶变换.解：由于，根据频域卷积定理，可以得到：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质6、卷积定理例3.9：求的傅里叶变换.解：由于，根据频域卷积定理，可以得到：于是，3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质（1）时域微分性质信号在时域中的微分对应频域中频谱函数乘以一个。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质（1）时域微分性质如果该信号存在n阶导数，这个性质可以推广到更一般的情形：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质（2）频域微分性质信号在频域中的微分对应时域中原函数乘以一个。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质（2）频域微分性质如果该信号的傅里叶变换存在n阶导数，这个性质也可以推广到更一般的情形：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质7、微分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质（1）时域积分性质3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质（2）频域积分性质3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质注：为了求出某个函数的傅里叶变换，可以先求出其导数的傅里叶变换，然后再用性质求出这个函数的傅里叶变换。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质8、积分性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质9、由导数的傅里叶变换求频谱函数如果，并且，则：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理周期信号和非周期信号的频谱，是在频域中描述信号的一种方法，它反映信号所含频率分量的幅度和相位在频域中的分布情况。帕塞瓦尔定理揭示了信号的能量或功率在时域和频域中的关系。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（1）周期信号对于周期为T的实信号，其平均功率的时域计算公式为：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（1）周期信号对于周期为T的实信号，其平均功率的频域计算公式为：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（1）周期信号对于周期为T的实信号，其平均功率的频域计算公式为：上式说明，周期信号的功率等于直流功率以及各次谐波功率之和。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（2）非周期信号对于非周期信号，其能量的时域计算公式为：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（2）非周期信号对于非周期信号，其能量的频域计算公式为：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（2）非周期信号对于非周期信号，其能量的频域计算公式为：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（2）非周期信号为研究信号的能量在频域中的分布情况，可以定义一个函数，称为能量谱密度函数，表示单位频带内信号的能量。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（2）非周期信号为研究信号的能量在频域中的分布情况，可以定义一个函数，称为能量谱密度函数，表示单位频带内信号的能量。于是，有：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（2）非周期信号由此，可得能量谱密度函数：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质10、帕塞瓦尔定理（2）非周期信号由此，可得能量谱密度函数：根据画成的曲线称为信号的能量谱。信号能量谱的形状与幅度谱的平方相同，而与相位无关，或者说信号在时域中移位，其能量谱不变。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质记住常用函数的傅里叶变换和傅里叶变换的性质十分重要。傅里叶变换的一些重要性质如下表中所示。3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换六、傅里叶变换的性质课堂练习：3.4非周期信号的傅里叶变换主要内容周期信号表示为傅里叶级数引言13信号表示为正交函数集2非周期信号的傅里叶变换4连续系统的频域分析5调幅信号63.5连续系统的频域分析周期信号的傅里叶展开，本质上是将一个周期信号分解为时域上连续、频域上离散的正弦函数或指数函数的叠加；而非周期信号的傅里叶变换，是将非周期信号分解为时域、频域都连续的指数函数的叠加积分。3.5连续系统的频域分析周期信号的傅里叶展开，本质上是将一个周期信号分解为时域上连续、频域上离散的正弦函数或指数函数的叠加；而非周期信号的傅里叶变换，是将非周期信号分解为时域、频域都连续的指数函数的叠加积分。因此，在求系统对周期信号的响应时，只要求出系统对这些正弦函数或指数函数的响应，然后将它们叠加起来即可。3.5连续系统的频域分析另外，周期信号是无始无终的，它早就加入到系统中，系统瞬态过程已结束，处于稳定状态。因此，只要求出系统在稳定状态下的响应就可以了，这种分析方法称为稳态分析。3.5连续系统的频域分析如果系统的激励是一个非周期信号，只要求出系统对指数信号的响应并将各响应叠加，就可得到系统对非周期信号的零状态响应；对于零输入响应，需要用上一章介绍的求解齐次方程的方法求得。3.5连续系统的频域分析如果系统的激励是一个非周期信号，只要求出系统对指数信号的响应并将各响应叠加，就可得到系统对非周期信号的零状态响应；对于零输入响应，需要用上一章介绍的求解齐次方程的方法求得。非周期信号往往是有始的，或者有始无终、或者有始有终的脉冲。从激励加入到产生稳定的响应有一个建立的过程。因此，对于非周期信号，这种系统分析法称瞬态分析。一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析对于一个非周期信号，因为：系统的零状态响应为：3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析对于一个非周期信号，因为：系统的零状态响应为：3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析其中，3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析其中，3.5连续系统的频域分析转移函数（系统频率响应）一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析其中，3.5连续系统的频域分析转移函数（系统频率响应）一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析其中，3.5连续系统的频域分析转移函数（系统频率响应）响应的傅里叶变换一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析在频域中求系统对激励的零状态响应步骤如下：3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析在频域中求系统对激励的零状态响应步骤如下：1、计算激励信号的傅里叶变换；3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析在频域中求系统对激励的零状态响应步骤如下：1、计算激励信号的傅里叶变换；2、求系统转移函数；3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析在频域中求系统对激励的零状态响应步骤如下：1、计算激励信号的傅里叶变换；2、求系统转移函数；3、将与相乘便得到响应的傅里叶变换；3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析在频域中求系统对激励的零状态响应步骤如下：1、计算激励信号的傅里叶变换；2、求系统转移函数；3、将与相乘便得到响应的傅里叶变换；4、计算的傅里叶反变换。3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析在频域中求系统对激励的零状态响应步骤如下：1、计算激励信号的傅里叶变换；2、求系统转移函数；（关键）3、将与相乘便得到响应的傅里叶变换；4、计算的傅里叶反变换。3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析1、系统转移函数及频率响应系统转移函数是反映系统本身特性的一个重要函数，若已知系统冲激响应，可直接求其傅里叶变换得到，可写为：3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析1、系统转移函数及频率响应系统转移函数是反映系统本身特性的一个重要函数，若已知系统冲激响应，可直接求其傅里叶变换得到，可写为：3.5连续系统的频域分析响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析1、系统转移函数及频率响应给定一个系统有多种方法。通常可以用具体电路表示，也可以用系统的输入输出方程来表示。3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析1、系统转移函数及频率响应给定一个系统有多种方法。通常可以用具体电路表示，也可以用系统的输入输出方程来表示。对于一个n阶线性常系数微分方程：3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析1、系统转移函数及频率响应利用傅里叶变换的微分性质对以上方程两边做傅里叶变换，得到：3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析1、系统转移函数及频率响应利用傅里叶变换的微分性质对以上方程两边做傅里叶变换，得到：于是，3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统的瞬态分析1、系统转移函数及频率响应如果已知具体的电路，当然可以先列出方程，然后根据上式写出转移函数。3.5连续系统的频域分析一、非周期信号通过线性系统