2023届高三数学第二次月考押题卷（测试范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形）（解析版）

2023届高三第二次月考押题卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由不等式，即，解得，即；又，故，解得，即.所以.故选：C2．设非零向量满足，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，代入得，又故夹角为．故选：C3．若，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，解得，所以．故选：B．4．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据函数图象可得函数为偶函数，A选项，B选项，所以AB选项为奇函数，故AB选项不正确；根据函数图象可得，而C选项，D选项，所以C选项不正确，D选项正确.故选：D.5．已知函数，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数定义域为R，求导得，因此函数在R上单调递减，而，则有，所以的大小关系是，A正确.故选：A6．在中，，，A的角平分线，则（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】如图，由正弦定理可得，，，，，，得，，，，，由正弦定理得，.故选：C．7．设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，由基本不等式，，..故选：A．8．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（

）①的图象关于直线对称；②在上是增函数；③的最大值为；④若，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①因为，所以的图象不关于直线对称，错误；②，当时，，则，所以在上是增函数，正确；③因为的周期为，的周期为，所以的周期为，不妨取一个周期上求其最值，令得或，当或时，，此时，所以在和上递增，当时，，此时，但不恒为零，所以在上递减，又，所以，，所以正确；④若，不妨取，，因为，，，所以，正确．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数，则（

）A．的图象可由函数的图象向右平移个单位B．在上递减C．的图象关于直线对称D．当时，的取值范围是【答案】BCD【解析】由得，对于A:向右平移得到，故错误；对于B:当时，，故在上递减，B正确;对于C:,故是的对称轴；故C对；对于D：当时，，当时，取最大值2，当时，取最小值，故值域为，D正确；故选：BCD10．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（

）A．为奇函数 B．周期为2C． D．是奇函数【答案】AD【解析】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；因为关于直线对称，即，所以，所以函数的周期，故B项错误；，故C项错误；，所以是奇函数，故D项正确.故选：AD.11．在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．若向量在向量上的投影向量是，则C．若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是D．若，则的值为【答案】AC【解析】对于A，若，则为中点，，A正确；对于B，由正六边形的性质知向量与的夹角为，则向量在上的投影向量为，，B错误；对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，，，，C正确；对于D，由题意知：，，，设，，，，解得：，，，，即，D错误.故选：AC.12．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（

）A． B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】AD【解析】在中，由正弦定理可将式子化为，把代入整理得，，解得或，即或(舍去).所以.选项A正确.选项B：因为为锐角三角形，，所以.由解得，故选项B错误.选项C：，因为，所以，，即的取值范围.故选项C错误.选项D：.因为，所以，.令，，则.由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.又，，所以.即的取值范围为.故选项D正确.故选：AD.第ⅠⅠ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】因为命题“，”为真命题则，有解，设，则，当时，单调递减，所以，所以.故答案为：.14．某游乐场的摩天轮示意图如图所示，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间的函数关系的解析式为___________；【答案】【解析】设函数解析式为：，因为最小正周期，所以，的最大值为62，最小值为2，所以，摩天轮正中心离地面32米，所以，当时，，所以，.所以解析式为：.故答案为：.15．在中，，，，为边的中点，为中线的中点，则向量的模为_________.【答案】【解析】如图所示：因为，，，所以，所以，从而.因为是的中点，所以.因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：16．定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】记，则由可得所以为偶函数记，则因为当时，，当时，所以，当时，有最小值又因为在上，即所以所以在上单调递增，由可得即所以，即，解得.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求时，的解析式；(2)问是否存在这样的正数：当时，的值域为？若存在，求出所有的的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）当时，，于是，因为是定义在上的奇函数，所以，即；（2）假设存在正实数，当时，的值域为，根据题意，，因为，则，得，又函数在上是减函数，所以，由此得到：是方程的两个根，即，解方程求得，所以，存在正实数，当时，的值域为.18．（12分）哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层.本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：当时，；当时，；若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小.并求最小值.【解析】（1）由题意知若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元，解得，当时，当时，，（2）当时，，当且仅当时等号成立.当时，当时，，所以，当时，取得最小值，且最小值为万元.19．（12分）已知向量，，.(1)求函数的最小正周期，并求当时的取值范围；(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的面积．【解析】（1）∵，∴函数的最小正周期；当时，，所以，即，∴的取值范围为：.（2）∵∴，即，又∵，∴，又∵在中，，∴，即，即，∴，∴.20．（12分）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)如果在上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）时，，故，故切线方程是：，即；（2），①当时，由于，故，∴，∴的单调递增区间为，无单调减区间；②当时，令，得，在区间上，；在区间上，；∴的单调递增区间为，单调递减区间为；综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）如果在上恒成立，即在上恒成立，令，则，令，解得：；令，解得：；故在递增，在递减，而，∴在上，故．21．（12分）在中，角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．【解析】（1）∵，由正弦定理可得：，又∵，∴，即：∵，∴，即（2）为锐角三角形，所以，解得，∵，由正弦定理得，即，∴，∴，∵，∴，∴．∴的面积的取值范围为．22．（12分）已知函数有两个不同的零点，.(1)当时，求证：；(2)求实数a的取值范围；(3)求证：.【解析】（1）令，则，当时，，得在上单调递减，所以，所以.（2）当a≥0时，，此时为增函数，不