2025年高考数学加练半小时-专题7第58练空间直线、平面的平行

第58练空间直线、平面的平行一、单项选择题1．(★)(2023·大连模拟)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是()A．l⊂α，m⊂β，α∥βB．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝mC．l∥α，m⊂αD．l⊂α，α∩β＝m答案B解析选项A中，直线l，m可能平行或异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m可能平行或异面；选项D中，直线l，m可能平行或相交．2．(★)(2024·威海模拟)过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条答案D解析如图，过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线有12条．3.(★★)(2023·杭州模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng)是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中△BCF是正三角形，AB＝2BC＝2EF，现有以下两个结论：①AB∥EF；②BF⊥ED，则()A．①和②都不成立B．①成立，但②不一定成立C．①不成立，但②成立D．①和②都成立答案B解析由AB∥CD，CD⊂平面CDEF，AB⊄平面CDEF，得AB∥平面CDEF，又AB⊂平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF＝EF，∴AB∥EF，故①成立；如图，取CD的中点G，连接BG，FG，由AB＝CD＝2EF，易知四边形EFGD为平行四边形，则DE∥GF，DE＝GF，不妨设EF＝1，在矩形ABCD中，BG＝eq\r(2)BC＝eq\r(2)EF＝eq\r(2)，假设BF⊥ED，则BF⊥GF，又△BCF为正三角形，即满足BF2＋FG2＝BG2，即FG＝1，但FG的长度不定，故假设不一定成立．即②不一定成立．4．(★★)(2024·石家庄模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1；⑤平面EFG∥平面A1C1B.其中推断正确的序号是()A．①③⑤B．①④C．②③⑤D．②④答案A解析对①，由正方体性质可知，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，又FG⊂平面BB1C1C，故FG∥平面AA1D1D，①正确；对②，因为直线EF与D1C1的延长线相交，故EF不平行于平面BC1D1，②错误；对③，因为F，G分别为B1C1和BB1的中点，所以FG∥BC1，又因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，③正确；对④，由②知直线EF与D1C1的延长线相交，故平面EFG不平行于平面BC1D1，④错误；对⑤，由③知FG∥BC1，又因为FG⊄平面A1C1B，所以FG∥平面A1C1B，同理可证EG∥平面A1C1B，又FG∩EG＝G，所以平面EFG∥平面A1C1B，⑤正确．5．(★★)(2023·西安模拟)若α，β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线()A．只有1条 B．只有2条C．只有4条 D．有无数条答案A解析设α∩β＝l，∵A∉α，A∉β，∴A∉l，则A，l确定一个平面γ，在γ内有且只有一条过A与l平行的直线，记作a，由于a∥l，a⊄α，a⊄β，l⊂α，l⊂β，由线面平行的判定定理得a∥α，a∥β，由此证明了存在性；假设过A平行于α，β的直线还有一条，记为b，则a∩b＝A.过b作平面α′与α相交于直线m，作平面β′与β相交于直线n(适当调整，可以使m，n都不与l重合)，由线面平行的性质定理可得b∥m，b∥n，由平行公理得m∥n，∵m⊄β，n⊂β，∴m∥β，又∵m⊂α，α∩β＝l，由线面平行的性质定理得m∥l，从而b∥l，又∵a∥l，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾，由此证明了唯一性．故过点A且与α和β都平行的直线有且只有1条．6．(★★)(2024·兰州模拟)如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则eq\f(SN,SM)的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案C解析连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC，则平面NAC即为平面α，因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝eq\f(1,2)AB，所以MC∥AB且MC＝eq\f(1,2)AB，所以eq\f(DM,DB)＝eq\f(MC,AB)＝eq\f(1,2)，又SB∥DN，所以eq\f(MN,SN)＝eq\f(DM,DB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(SN,SM)＝eq\f(2,3).二、多项选择题7．(★★)(2023·周口模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法不正确的为()A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α答案AB解析对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n可能平行或异面，所以A不正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，所以B不正确；对于C，若α∥β，m∥α，当m⊄β时，可得m∥β，或者m⊂β，所以C正确；对于D，若m∥n，m⊂α，根据线面平行的判定定理，可得n∥α或n⊂α，所以D正确．8．(★★)(2023·无锡模拟)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B两点，交β于C，D两点，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为()A．20B．16C．12D．4答案AD解析因为过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B两点，交β于C，D两点，且平面α∥平面β，所以可得AB∥CD，分两种情况：当点P在两平行平面之外时，eq\f(PA,PC)＝eq\f(AB,CD)，则CD＝20；当点P在两平行平面之间时，得PC＝AC－AP＝3，eq\f(AP,PC)＝eq\f(AB,CD)，则CD＝4.三、填空题9．(★★)(2024·南京模拟)在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．答案8解析如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，FM＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.10．(★★)(2023·合肥模拟)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足______________时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q为CC1的中点解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故当Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.四、解答题11．(★★)(2024·南宁模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，F，G分别是棱CC1，BC上的动点(不与顶点重合)．作出平面A1DG与平面CBB1C1的交线(要求写出作图过程)，并证明：若平面A1DG∥平面D1EF，则EF∥A1D.解如图，延长DG交AB的延长线于点P，连接A1P交BB1于点Q，则GQ所在的直线即为平面A1DG与平面CBB1C1的交线．证明：∵平面CBB1C1∥平面ADD1A1，平面CBB1C1∩平面A1DG＝GQ，平面ADD1A1∩平面A1DG＝A1D，∴GQ∥A1D.又∵平面A1DG∥平面D1EF，平面CBB1C1∩平面A1DG＝GQ，平面CBB1C1∩平面D1EF＝EF，∴GQ∥EF，∴EF∥A1D.12．(★★)(2023·福州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．(1)求证：EF∥平面BCC1B1.(2)在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由．(1)证明因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A.因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B.又因为EF⊄平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC