数轴的点常规运动模型-北师大版数学七（上）知识点训练

数轴的点常规运动模型一北师大版数学七（上）知识点训练

一、选择题

1.（【导学精练】初中数学七年级上册专题1.2数轴七年级上册同步课堂（浙教版））如图，已知4,B（B

在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12,且48=18,动点P从点A出发，以每秒2个单位长

度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M,N始终为AP,8P的中点，设运动时间为亡（£>

0）秒，则下列结论中正确的有（）

①B对应的数是一6；②点P到达点B时，£=9；③8P=2时，£=6；

④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化.

BN—PMA

11111A

A.I个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

2.（【导学精练】初中数学十年级卜册专题15数轴中的八类动杰问题（章节重难点））如图，已知数轴

上的点A表示的数为6,点B表示的数为-4,点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，

以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x（x大于0）秒.（1）点C表示的数

是;（2）当x=秒时，点P到达点A处?（3）运动过程中点P表示的数是

（用含字母x的式子表示）.

BA

-5-4-3-2-101234567

3.（2023七上•义乌月考）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为-2、4,若点M从A点出发以每

秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀

速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为

8个单位长度.

，，，，」............」,，A

-6-5^-3-2-10123456

4.（2023七上♦威县期中）动点48分别从数轴上表示10和-2的两点同时出发，并且分别以7个单位

长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，经过秒两点相遇，相遇时，

两点表示的数为.

三、解答题

5.（2024七上•青山湖月考）已知表示互为相反数的两个数的点A,B在数轴.卜.的距离是10,其中点

A在点B的左侧.现在点A沿着数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置.设点A的

运动速度为每秒1.5个单位长度，求点C在数轴上表示的数.

6.（2024七上•龙岗期末）如图，己知数轴上点A表示的数为8,点8是数轴上在点4左侧的一点，

且A，〃两点间的距离为12.点2从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，

同时，另一点。从原点。出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点夕的运动

时间为，秒.

BOA

BOA

_____I______I____________[

BOA

（i）数轴上点P表示的数为，点。表示的数为；（用含，的代数式表示）

（2）经过多少秒点8恰为PQ的中点？

（3）当点P运动多少秒时，点P与点。间的距离为7个单位长度？

7.（2023七上•南山期中）如图，己知数轴上原点为O,点B表示的数为-4,A在B的右边，且A与

B的距离是20,动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点

A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒.

--------•------------•------A

BOA

（1）写出数轴上点八表示的数,与点八的距离为3的点表示的数是.

（2）点P表示的数（用含I的代数式表示）；点Q表示的数（用含I的代数

式表示）

（3）假如Q先出发2秒，请问t为何值时PQ相距5个单位长度？

（4）若点x是数轴上一点，是否存在整数x,使得|X-3|+|K+2|的值最小？如果存在，请写出最小

整数x；如果不存在，请说明理由

8.（2024七，・广州期末）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点8也从原点出发向数轴正

方向运动，3秒后，48两点分别到达C,。两点处，C,。两点相距12个单位长度.已知动点4,B

的速度比是1：3（速度单位：单位长度秒）.

-12-9-6-3036912

（I）分别求出动点48运动的速度，并在如图所示的数轴上标出C,。两点；

（2）若4B两点分别从C,。点处同时出发，向数轴负方向运动，几秒后，A,B两点重合？

9.（2024七上•濠江期末）如图，数轴上点力表示的数为-4,点B表示的数为16,点P从点，出发，以

每秒3个单位长度的速度沿数粕向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向

左匀速运动，设运动时间为七秒(t>0)

AB

-------2_।-----------------1_>

一4016

(1)A,B两点间的距离等于,线段48的中点表示的数为；

(2)求当t为何值时，PQ=，B?

(3)若点M为PQ的中点,当点M到原点距离为9时，求t的值.

10.(2023七上•翁源月考。如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为-10、5、15,点P为数轴上一

动点，其对应的数为尤

APBC

------------1-------1_____1।______________1_________»

^100515

(1)点4到点C的距离为；

(2)数轴上是否存在点P,使得点P到点力、点B的距离之和为25个单位长度?若存在，请求出第

的值；若不存在，请说明理由；

(3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S.在动点P从点4开始沿数轴的正方向运动到达点。这一

运动过程中，求出S的最大值与最小值.

11.(2024七上•福田期末)如图，在数轴上原点。表示数0,/点表示数是小，8点表示的数是九，且点

A在原点右侧，点B在原点的左恻，点8到原点距离24个单位长度.m,几满足式子十(九一76)二

0.

----------------------1~>

B0A

11、

B0A

]]_______»>

B0A

]------------L—>

B0A

(I)求m,n的值;

(2)若动点P从点儿出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动：同时动点Q从点8出发以

每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间t为何值时，线段PQ的长为14个单位长

度.

(3)若动点E从点4出发沿数轴向左运动，到达原点之前的速度为每秒1个单位长度，到达原点之

后的速度为每秒4个单位长度；同时动点尸从点8出发以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右运动,

是，及n的值是.

（3）拓展延伸：若点P表示的数为・2,点P以每秒6个单位长度的速度向右运动，设运动的时

间为t秒.当t为何值时，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的率若此时点P为点A,B的

“n节点”，请求出t和n的值.

答案解析部分

1.【答案】B

【知识点】数轴的点常规运动模型

【解析】【解答】解：•••已知48(8在力的左侧)是数轴上的西点，点4对应的数为12,且48=18,

••.B对应的数为：12-18=-6；故①是正确的；•••18+2=9,故②是正确的；

•.•当BP=2时，4P=16,t=16+2=8,故③是错误的；

・•・在点P的运动过程中，MN=9,故④是错误的.

故答案为：B.

【分析】利用数轴上点的特征可以得到B点对应的数；计算出点P到达点B的时间；根据BP的长

可以求出点P的运动时间；利用数轴上中点的性质可以得到MN的长度.

2.【答案】1；5；-4+2x.

【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型

【解析】【解答】解：(1)设C表示的数为m,

•・•点C到点A、点B的距离相等，

m+4=6-m,

解得：m=l,

・••点C表示的数为1,

故答案为：1；

(2)•・•数轴上的点A表示的数为6,点B表示的数为-4,

/.AB=6-(-4)=10,

・••运动时间x=10-2=5,

故答案为：5；

⑶•・•动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

，运动过程中点P表示的数是-4+2x,

故答案为：-4+2x.

【分析】数轴上两点的距离等于数轴右边的点表示的数一数轴左边的点表示的数；(1)设点C表示

的数为m,用m表示出AC和BC,根据题意得AC=BC,可得关于m的方程，求解即可；

(2)计算出AB长，用AB+2,即可得到答案：

(3)根据数轴向右平移加，向左平移减，以及速度为2,故x秒时，移动路程2x,可得x秒时点P

表示的数.

3.【答案】14或等

【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型

【辞析】【解答】解：①•・•若点B向右运动，设m秒后，M、N之间的距离是8个单位长度。

，5m-4m=8+6,

m=!4.

・・・14秒后，M、N之间的距离是8个单位长度.

②若点B向左运动，m秒后，M、N之间的距离是8个单位长度.

A5m+4m=8+6.

m—14

V

综上所述，当M、N同时出发，14秒或等秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度.

故答案为：14或竽.

【分析】由于没有说点M的运动方向，那么只有按两种方向分别讨论，即可得出结论.

4.【答案】4；-18

【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型

【解析】【解答】设经过£秒时间力、B两点相遇，此时点A表示的数是：10-73点8表示的数是:

-2-4t,

则10—71=一2—43解得：t=4,

此时点4、8表示的数为10-7t=10-7x4=-18,

故答案为：4,—18.

【分析】设经过t秒时间小B相遇，此时点人表示的数是：10-73点8表示的数是：-2-4a根据

题意列出方程，解方程即可求出答案.

5.【答案】解：•・•表示互为相反数的两个数的点A,B在数轴上的距离是10,其中点A在点B的左

侧，

，点A表示的数为-5,点B表示的数为5,

•••点A沿着数轴先向右运动2秒，点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，

A2x1.5=3,

A-5+3=-2,

•・•点A再向左运动5秒到达点C的位置,

A5x1.5=7.5,

A-2-7.5=-9.5,

・,・点C在数轴上表示的数为-9.5,

【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；数轴的点常规运动模型

【解析】【分析】先求出点A表示的数为-5,点B表示的数为5,再结合点A再向左运动5秒到达

点C的位置，求出一2-7.5=-9.5,最后求出点C在数轴上表示的数为一9.5即可.

6.【答案】(1)8—2t;-C

(2)解：・・•A表示的数为8,A,B两点间的距离为12,

**•B点表不的数为—4,

ABP=8-2t-(-4)=12-2t,

BQ=-4—(―t)=-4+3

•・・B为PQ的中点，

:・BP=BQ,

/.12-2t=-4+t,

解得：t=竽;

(3)解：①当点P与点Q相遇之前

PQ=8-2"(一£)=8—£,

•:PQ=7,

/.8-t=7,

解得：t=l,

②当点P与点Q相遇之后，

PQ=一£一(8—20=-8+3

*：PQ=7,

•二-8+£=7,

解得：t=15,

，当点P运动1或15秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度.

【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型

【解析】【解答】解：(1)根据P点、Q点运动速度及运动时间t,可知t秒后，P点运动了2t个单位

长度，Q点运动了t个单位长度，则此时P点表示的数为8-2t,点Q表示的数为七

故答案为：8-23-1.

【分析】(1)利用两点的运动速度和运动时间，求出运动距离，即可表示出两点所表示的数；

(2)先根据题目所给条件，求出点B表示的数，再利用中点，得到8P=8Q,然后用〔再分别表示

出BP和BQ,继而可列出等式，求出t的值；

(3)根据P点、Q点的运动规律，可知，两点相遇前后，各有一次满足要求的情况，需分类讨论：

①当点P与点Q相遇之前，由(1)中结论，根据P点、Q点所表示的数，表示出PQ的长，再结

合条件”点。与点。间的距离为7个单位长度”，即可列出等式，求出此时t的值；

②当点P与点Q相遇之后，同样利用(1)中结论，表示出PQ的长，再结合条件“点尸与点。间

的距.离为7个单位长度”，即可列出等式，求出此时t的值；

综上可知，满足要求的I会有两个值.

7.【答案】(1)16；13或19

(2)-4+t；16-2t

(3)解：由(2)同理可知，点Q表示的数为：16-23

点P运动时间为(t-2),运动路桂为(t-2),此时点P表不的数为：-4+(t-2)=t-6,

若PQ=5,

即(16-2t)-(t-6)=5或(16—2£)—«—6)=-5,

解得£=学或t=9.

・••当t=,或t=9时，PQ相距5个单位长度.

(4)解：存在，当最小整数x=2时，|x3|+|x+2|的值最小，理由如下，

在数轴上，|%—3|可表示为数x与数3之间的距离，|无+2|=|%-(一2)|可表示为数乂与数-2之间的

距离，

则代数式|x-3|+|x+2|表示数x与数3及数-2之间的距离之和，如下图所示，

若x<-2或x>3时，此时两距离之和大于5；

若-2WXW3时，此时两距离之和恒等于5；

・••当且仅当-2Wx§时，|x-3|+|x+2|=5为最小值，其中最小整数x=-2.

【知识点】两个绝对值的和的最值；用代数式表示数值变化规律；数轴的点常规运动模型

【解析】【解答】(1)解：•・•点B表示的数为-4,点A在点B的右边，且A与B的距离是20,

・••点A表示的数是：-4+20=16.

此时距离点A左边距离为3的数是；16-3=13；距离点A右边距离为3的数是；16+3=19.

故填：16；13或19.

（2）解：由点P运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为I,

・••点P运动的路程为3

同理点Q运动的路程为2t,

又・••点P从点B向右运动，点Q从点A向左运动，

此时运动后点P表示的数为：-4十I：运动后点Q表示的数为：16-21；

【分析】（1）由数与距离的关系，即大数-小数=两数之间的距离，进而由距离表示数即可；

（2）同理根据运动路程表示运动后的数即可；

（3）同理表示运动后的数，根据两数距离为5建立等量关系解之即可；

（4）通过一般性规律发现数与距离的关系，即可以利用绝对值进行表示，进而将目标代数式转化为

数轴上的距离之和，利用落点位置进行分析得出其距离之和最小，并找出最小整数即可.

8.【答案】（1）解：设点A的运动速度为x个单位长度/杪，则点B的运动速度为3x个单位长度/

秒，

由题意得，3x3x+3x=12,

解得：x=1,

/.3%=3,

・••点A的运动速度为1个单位长度/秒，点B的运动速度为3个单位长度/秒，

・•・点C和点D表示的数分别为一（1x3）=—3,3x3=9,

在数轴上表示如下图：

CD

1।।]।।।1।

-12-9-64036912

（2）解：设t秒后，A,B两点重合，

・••点A、B运动后表示的数分别为-3-1,9-31,

—3—£=9—33

解得：t=6,

，6秒后，A,B两点重合.

【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴的点常规运动模型

【解析】【分析】（1）设点4的运动速度为『个单位长度/秒，据此可表示出点8的运动速度.根据路

程二速度X时间可列出方程3X3%+3x=12,解方程可求出点A的速度和点B的速度，再求出点C

和点。表示的数，最后在数轴二表示出点。和点。；

（2）设I秒后，A,8两点重合，先求出A、B运动t秒后所表示的数，然后根据A、8两点重合

时，点A和点B表示的数相同，得关于I的一元一次方程-3-t=9-33解方程求出t的值即可.

9.【答案】（1）20；6

（2）解：•・•点P表示的数为一4+33点Q表示的数为16-23

：.PQ=|（-4+3t）-（16-2t）l=|5t-20|,

V.45=20,

A|5t-20|=>20,

A5t-20=10或5£-20=-10,

解得：t=6或£=2：

（3）解：•・,点P表示的数为一4+33点Q表示的数为16-23

・•・点M表示的数为土空驶3t+12

~2~9

丁点M到原点距离为9,

・11+12

=9,

，号^=9或£岁=一％

解得：t=6或£=-30（舍去）.

【知识点】线段的中点；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型

【解析】【解答】（1）A,8两点间的距离=16-（-4）=20,线段AB的中点表示的数为三矍士=6-

故答案为：20,6.

【分析】（1）数轴上两点间的距离，为这两点所对应的坐标差的绝对值，中点即为两个点的坐标和

的二分之一；

（2）先用含I的式子把点P和点Q表示的数分别表示出来，在表示出线段PQ的长度，由运动可

知，PQ相遇前后，均有满足题目的要求的情况，故在求PQ长度时加上绝对值符号，由（1）可知

AB的长，即可列等式求出满足要求的t：

（3）由（2）中结论，先用点P和点Q表示出点M的数，然后再根据条件“点M到原点距离为

9。列出等式，即可求出I的值.

10.【答案】（1）25

（2）设点P表示的数为X,

当P点在A点的左侧（含4点）归:

—10—x+5­x=25>

解得：x=-15,

当P点在4点和B点的之间（含B点）时：

x—（—10）+5—x=25»

解得：无解；

当P点在8点的右侧时：

%-（-10）+%-5=25,

解得：x=10,

数轴上存在点P,使得点P到点4、点8的距离之和为25个单位长度，当％=-15或10,使得点P到

点A、点B的距离之和为25单位长度；

（3）由题意知：点P到力、B、C的距离和等于P4+PB+PC,

•••点P在点/、C之间，

PA+PB+PC=AC+PB=25+PB,

当点P与点A重合时，PB最大，此时PB=5-（-10）=15,

・•・PA+PB+PC的最大值为25+15=40,

当点P与点8重合时，PB最小，此时PB=0,

：,PA+PB+PC的最小值为25,

・•・5的最大值为40,最小值为25.

【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运

动模型

【解析】【解答】解：（1）丁点A、C表示的数分别为-10、15,

・••点4到点C的距离为15-（-10）=25.

故答案为：25.

【分析】（1）利用点C表示的数减去点A表示的数即得结论；

（2）设点P表示的数为，分三种情况：当P点在A点的左侧（含/点）时，当P点在4点和8点的之间

（含B点）时和当P点在B点的右侧时，根据“点P到点4、点8的距离之和为25个单位长度”分别列

方程解答即可；

（3）由于点P在点力、C之间，可知点P到4、B、C的距离和等于/M+P8+PC=25+PB,当点P与点

4宣合时，PB最大,当点P与点B重合时，PB最小，据此分别求解即可.

11.【答案】（1）解：・•・B点表示的数是m点B在原点的左侧，旦点8到原点的距离为24个单位长

度,

•••n=—24；

又；m2+(n-76)=0,即m2+(—24—76)=0,

TH=+10.

・•・A点表示数是m,且点A在原点右侧，

•••m=10.

(2)解：当运动时间为t秒时，P点表示的数为10-£,Q点表示的数为3£-24.

依题意，得：|10-t-(3t-24)|=14,

即34-4t=14或4t-34=14,

解得：t=5或£=12.

答：运动时间t为5或12秒时，线段PQ的长为14个单位长度.

(3)解：①当OWtWlO时，£点表示的数为10-3F点表示的数为3~24.

,:0E=OF,

•••|10-t|=|3t-24|,

即10-t=24-3t或10-t=3t-24,

解得：£=7或£=呈

②当10时，E点表示的数为一4(£一10),尸点表示的数为3t-24.

•:OE=OF,

•%|-4(t-10)|=|3t-24|,

即4«-10)=3t-24,

解得：£=16.

答：运动时间t为7或学或16秒时，E、F两点到原点。的距离相等.

【知识点】一元一次方程的实际应用•行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型；判断数

轴上未知数的数量关系

【解析】【分析】(1)利用已知点在原点的左侧，点到原点距离24个单位长度，可得到n的值，将n

的值代入已知方程可求出m的值，再根据点A所在的位置，可求出m的值.

(2)利用点的运动方向和速度，当运动时间为I秒时，可得到点P,Q表示的数，再根据PQ=14,

可得到关于I的方程，解方程求出I的值.

(3)利用点的运动速度和方向，分情况讨论：当gtWO时，可得到点E,F表示的数，再根据E、

F两点到原点。的距离相等，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当t>10时，可得到点E,b

表示的数，根据OE=OF,可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到符合题意的I的

值.

12.【答案】（1）12

（2）解：由题意得：2t=1x12,

解得：t=3,

答：当户运动到4B的中点时，t的值为3；

（3）解：点P表示的点为：一4+2a点Q表示的数为：8-53

则：|（一4+2。一（8-501=^x53

解得："符或£="不合题意，舍去），

答：当PQ=/Q时，t的值为善

【知识点】i次函数的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型

【解析】【解答】解：⑴AB=|-4-8|=12.

故答案为：12.

【分析】（1）根据数轴两点之间的距离等于两坐标差的绝对谊，即可求得；

（2）根据路程=时间x速度列出一元一次方程，解方程，即可求得；

（3）先用t分别表示出点P和点Q表示的数，再根据PQ=^BQ列出一元一次方程，求解，即可

求得.

13.【答案】（1）14；3

（2）x+5；3或・13

（3）解：设运动时间为t秒，则点P运动后所对应的点为-4+61,点Q运动后所对应的点为10-

2t,

，PQ之间的距离为1-4+61-（10-21）1-1-4+61-IO+2i|-81-14|,

当P、Q两点相距6个单位长度时，|8t-14|=6,解得t=2.5或t=l,

，经过1秒或2.5秒时，P、Q两点相距6个单位长度.

【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型；数轴的的

中点与n等分点模型

【解析】【解答］解：（1）依题意得，AB=|a-b|=|10-（-4）|=14,

AB中点表示的数为4(a+》)=*x(-4+10)=3,

故答案填：14；3.

（2）同理，表示x和・5的两点之间的距离|无一（-5）|二|%+5|,

若|工+5|=8,即％+5=8或x+5=-8,

解得x=3或x=・13,

故填：x+5；3或-13.

【分析】（1）根据题意代入公式即可计算目标线段长即中点表示的数；

（2）同理代入题干公式利用含绝对值的式子表示距离，进而由距离为8建立绝对值方程，解之即

可；

（3）直接设运动时间，进而得出动点P,Q的运动路程，根据题意