2023-2025北京高三一模数学汇编：集合间的基本关系

2023-2025北京高三一模数学汇编

集合间的基本关系

一、单选题

1.(2025北京通州高三一模)已知全集为R,集合A={x|-l〈xV2},B={x|x>0),贝i](4A)cB=

()

A.1x|x<-l|B.{x|x>2}C.{A:|-1<x<O}D.{尤[0<尤42}

2.(2025北京石景山高三一模)已知全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={xe4无?<2},则即A=(

A.{-1,0,1}B.{-2,2,3}C.{-2,1,2)D.{-2,0,3)

3.(2025北京顺义高三一模)已知集合。=k归+320},集合A={R-2<x<2},则为A=()

A.[―3,—2)u(2,+oo)B.[—3,2)

C.[—3,—2]I[2,+co)D.[—2,3)

4.(2025北京朝阳高三一模)已知集合4={尤料<2},集合8={x|04尤42},则A|B=()

A.{x|0Wx<2}B,30VxV2}C.{x|-2<x<2}D.{x[0<xW2}

5.(2025北京平谷高三一模)已知集合4={彳|一1<》<1},3={或)4％42},则A3=()

A.{x|-l<x<2}B,^x|0<x<2}

C.{x|O<x<l}D.{x|-l<x<2}

6.(2024北京房山高三一模)已知全集。={-2,—l,0,l,2},集合A={1,2京则”=()

A.{-2,—1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1}

7.(2024北京延庆高三一模)已知集合4={%|%<3},八{1,2,3},则AB=()

A.(-oo,3)B.y，3]

C.{1,2}D.{1,2,3}

8.(2024北京朝阳高三一模)已知全集。={123,4},A={x&U\x<2},则gA=()

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

9.(2024北京海淀高三一模)已知全集。={*|-24》42},集合4={司-1Wx<2},则乐4=()

A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(-2,-1){2}D.[-2,-1)..1{2}

10.(2024北京西城高三一模)已知全集0=11,集合A={x|x<3},3={x|-2<x<2},则41^8=

()

A.(2,3)B.(―,一2)"2,3)C.[2,3)D.(一叫-2]口[2,3)

11.（2024北京东城高三一模）如图所示，U是全集，是U的子集，则阴影部分所表示的集合是

A.AnBB.ABC.g（Ac3）D.

12.（2024北京门头沟高三一模）已知集合A={0,l,2,3},集合3={xl<x<4},贝I]AnB=（）

A.{2,3}B.{0,1,2}

C.{1,2}D.{1,2,3}

13.（2023北京顺义高三一模）己知集合4={尤卜2Vx<2},B={x|0<%<3）,则AB=（）

A.{x|-2<x<3jB.{x[0<x<2}C.{x|-2<x<0}D.{x[2<x<3}

14.（2023北京海淀高三一模）已知集合A={X|1<X<3},8={0,1,2},则AB=（）

A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2）

15.（2023北京房山高三一模）已知集合4={娟-1<尤<1},2={X|0VXV3},则AB=（）

A.[0,1）B.[0,1]C.（-1,3]D.（-1.3）

16.（2023北京丰台高三一模）已知集合人={》|-14*41},8={x]0<xW2},则A3=（）

A.{x|-l<x<l}B.{x|0<x<l}C.{x\O<x<2}D.{x|-l<x<2}

17.（2023北京平谷高三一模）已知集合4={尤1-2（尤<1},8={X|X>0},则A3=（）

A.（-2,0）B.（0,1）C.（-2,+oo）D.（0,+oo）

二、填空题

18.（2024北京朝阳高三一模）设A,8为两个非空有限集合，定义〃A,0=1-■其中间表示集合$

的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业

水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为H，S2,S3,

S4.已知，={物理，化学，生物},S?={地理，物理，化学},$3={思想政治，历史，地理},给出下列四

个结论：

①若J（S2，S4）=1,则邑={思想政治，历史，生物};

②若J（H，S2）=J（H，Sj,则邑={地理，物理，化学};

③若邑={思想政治，物理，生物},则J（E，S4）<J（S2，S4）=J（S3，S4）；

④若J（H，S4）>J（S2，S4）=J（S3，S4）,则S“={思想政治，地理，化学}.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

19.（2024北京丰台高三一模）己知集合M“={xeN*|xV2a}（neN,〃24）,若存在数阵

①{《,%,,a“}」他也，•,"}=",；

@ak-bk=k(k=1,2,■■,«).

则称集合M”为“好集合”，并称数阵T为M”的一个“好数阵”.

xyz6

⑴已知数阵7=’,c是加4的一个“好数阵”，试写出X,九Z,W的值；

7w12

(2)若集合叫为“好集合”，证明：集合加“的“好数阵”必有偶数个；

(3)判断M7M=5,6)是否为“好集合”.若是，求出满足条件“e{4生，见}的所有“好数阵”；若不是，说

明理由.

20.(2023北京门头沟高三一模)已知集合/={±1,±2,土3,，土"}("23).若对于集合"的任意上元子集A,

A中必有4个元素的和为-1,则称这样的正整数上为“好数”，所有“好数”的最小值记作g(M).

(1)当〃=3,即集合〃={-3,-2,-1,1,2,3}.

(i)写出M的一个子集8,且8中存在4个元素的和为-1；

(ii)写出M的一个5元子集C,使得C中任意4个元素的和大于-1；

⑵证明：g(M)>77+2；

(3)证明：g(M)="+3.

21.(2023北京西城高三一模)给定正整数"W2,设集合M={a|a=&,jL,匕),友©{0,1},4=1,2,L,”}.对于

集合M中的任意元素夕=(外,％,L,兑)和，=(%,%,L,%),记P望=占乂+%%+L+%%.设4屋“，且集合

,[p,i=/,

A={%|%=&“2，L,%),i=l,2,L川，对于A中任意元素%,%,若巴.•%={,..则称A具有性质T(〃,P).

U，I手J,

⑴判断集合A={(U，0)，(I，。/)，OU)}是否具有性质？(3,2)?说明理由；

(2)判断是否存在具有性质？(4,p)的集合A,并加以证明；

(3)若集合A具有性质T(〃,P),证明：力+0+L+%=P(/=L2,L,〃).

参考答案

1.B

【分析】由补集及交集运算即可求解.

【详解】由4=卜|-"%42},可得"A={x[x<-l或x>2},

所以(4A)c3={x|x>2},

故选：B

2.B

【分析】利用集合的补集运算求解.

【详解】因为全集。={-2,-1,0』,2,3},集合A={T,O,1},

所以街A={-2,2,3},

故选：B

3.C

【分析】先确定集合U,再根据补集的定义运算即可.

【详解】因为。={小+320}=[-3,+8),A=(x|-2<%<2]=(-2,2).

所以必4=[一3,—2]。[2,+“).

故选：C

4.A

【分析】求出集合4然后根据交集运算求解即可.

【详解】A={x\\x\<2}={x\-2<x<2},

所以AcB={x[0<x<2},

故选：A.

5.D

【分析】根据并集的定义即可求.

【详解】AB={x|-l<x<2},

故选：D

6.B

【分析】根据补集的定义即可得解.

【详解】因为全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={1,2},

所以备4={一2-1,0}.

故选：B.

7.B

【分析】根据题意，由并集的运算，即可得到结果.

【详解】因为A={无,<3},3={1,2,3},则A8=(—,3].

故选：B

8.D

【分析】求出集合4再利用补集的定义求解即得.

【详解】全集U={L2,3,4},则4={1},

所以34={2,3,4}.

故选：D

9.D

【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.

【详解】全集U={x|-2WxW2},集合A={R-l<x<2},

所以={2}.

故选：D

10.B

【分析】利用补集和交集运算求解即可.

【详解】因为集合3={x|-2Wx<2},所以23={x[x<-2或x>2},

又集合A={x|x<3},所以AI电8={#<-2或2cx<3}=(-e,-2)"2,3).

故选：B

11.D

【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得

解.

【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是6(4B).

故选：D.

12.A

【分析】求AcB,判断选项.

【详解】根据题意可得，Ac3={2,3},

故选：A

13.A

【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案.

【详解】根据并集的运算可知，AuB={x|-2<%<2)u{x|0<x<3}={%|-2<x<3].

故选：A.

14.A

【分析】求交集可得答案.

【详解】因为集合4={才1口<3},3={0,1,2},所以AB={2}.

故选：A.

15.C

【分析】直接求并集得到答案.

【详解】集合4=｛川一1<尤<1｝,8=｛XIOVXV3｝,则4口3=｛引―1<"43｝.

故选：C

16.D

【分析】根据并集运算求解.

【详解】因为集合4=｛彳|-1<尤VI｝,B=｛x|0<x^2｝,

所以AB=｛x\-l<x<2｝,

故选:D.

17.C

【分析】由并集的定义求解即可.

【详解】因为集合A=3—2<X<1｝,2=｛X|X>0｝,

所以AB=（-2,+co）.

故选：C.

18.①③

【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到国以必为偶数，讨论

|斗邑|=6和见=4两种情况下的求解即可；对于④：通过举例邑=｛物理，地理，历史｝来说明.

【详解】对于①：“凡，54）=1-去停=1,所以|邑2|=0,所以邑S4=0,

又邑=｛地理，物理，化学｝,所以S4=｛思想政治，历史，生物｝,①正确;

S|sj_21

对于②：J（&S2）=J（Si，S4）,即--,

S,S4|42

所以2图S/=|&S4|,所以因S/必为偶数，又345S4H6,

当四邑|=6时,国S4|=|0|=O,不符合2|»5/=四S4|,

所以昌邑|=4,且国Sj=2,此时用情况较多，比如$4=｛物理，地理，生物｝,②错误;

对于③：若邑=｛思想政治，物理，生物｝,则

211414

J（S1,S4）=l-^=-,J（S2,S4）=l--=-,J（S3,S4）=l--=-,

所以“冬邑）＜J（S2，Sj=J（S3，S4）,③正确；

对于④：当邑=｛物理，地理，历史｝时，

J（51,S4）=l-1=^,J（52,54）=l-|=1,J（S3,54）=l-|=p

满足/⑸.”/⑸•人/区.），但不是邑=｛思想政治，地理，化学｝,④错误.

故选：①③

【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义,然后套用定义进行计算即可，很多时

候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.

19.（l）x=8,y=5,z=4,w=3

⑵证明见解析

⑶M是“好集合”，满足5e{%%...,%}的“好数阵”有:

410957954107

；加6不是“好集合”，证明见解析

3861283162

【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；

（2）可构造恰当的映射，以证明结论；

（3）第三问可通过分类讨论求解问题.

【详解】（1）由“好数阵''的定义，知x—7=1,y-w=2,z-l=3,{尤,y,z,w}={3,4,5,8},故x=8,

z=4,y-w^2,{y,z}={3,5},进一步得到y=5,w=3.

从而尤=8,y=5,z=4,w=3.

a

⑵如果?/；是一个“好数阵"，则{qa,,an}^{bl,b2,..；bn}=M„,

国b2bn]

ak-bk=k（k=l,2,,n）.

从而{2几+1—,2H+1—4,,2几+1—Z?〃}D{2〃+1—%,2〃+l—a?,,2n+l—1,

（2几十1—4）一（2〃+1—%）=1（左=1,2,,n）,

2n+l—bln+l—b2n+l-b

X2n也是一个“好数阵”.

2〃+1—62〃+1—%2n+1—an

由于〃2+a=2d+2是偶数,故死+2。2〃+1,从而%w2〃+l—d.

dyC^2ci2〃+1—h2M+1—b-.2n+l—bn

这就说明两数阵"和I2的第1行第2列的数不相等,

2n+1

4b2打」L~«i2〃+l-%2n+\-an

从而是不同的数阵.

设全体“好数阵”构成的集合为S,并定义映射尸:SfS如下:

%a2n+l—b2rl+1-Z?22n+1—b

对7=2规定尸（T）xn

b2n+1—%2n+l—a

422Tl+1—%n

因为由M“中的元素构成的2x〃数阵只有不超过（2〃户种，故S是有限集合.

2〃+1-（2〃+1-6）2几+1-（2〃+1-。2）2〃+1-（2〃+1-）

而尸仍（T））=

2〃+1-（2〃+1-bj2〃+1-（2〃+1-Z?2）2〃+1-（2〃+1-2）

4b2bn

这就表明尸（尸（T））=T,从而尸是满射，由S是有限集，知产也是单射，从而P是一一对应.

aa、a„qa2an2〃+1—b]2〃+1—Z?22几十l-b及

对“好数阵’，已证两数阵和是不

bb

?12„瓦b2b“2〃+1—62〃+1—%2n+l-an

同的数阵，故网T）wT.

同时，对两个“好数阵叼，T2,如果（="7；）,贝”（©=/仍（7]））=4；如果7；=尸（力，则

F（7；）=F（F（7；））=7^.所以（=r口）当且仅当Z=/（4）.

最后，对TeS,由尸（T）W7,称2元集合｛Tj（T）｝为一个“好对”.对"eS,若丸属于某个“好对”

{r,F(T)},则7=4或/(T)=",即7="或7=/(4).

由于忆，（3｝=｛爪幻，/仍（幻）｝,故无论是7还是7=尸（幻，都有｛T,尸（T）｝=｛"1（幻｝.

这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有

偶数个.

an

（3）若是"好数阵"，贝!]有1+2+3+…+2〃=(0[+%+…+。“)+(4+白+…+〃)

b

ab2„

=((4+1)+(2+2)+…+(b,+〃))+(白+b2+…+6“)=2+伍+…+b“)+(1+2+…+”),

〃(〃+1+2〃)〃(3〃+1)，这表明叱一定是偶数.

以2(4+b,+...+/?”)=(w+1)+(〃+2)+...+2〃=

22

qaa是“好数阵”，则2仅+%+...+2）="3；+1）=40,从而

若〃=5,设25

42b5

"1+"2+4+04+05=20，

%+%+/+包+。5=("i+1)+("2+2)+…+(4+5)=4+4+♦♦•+&+1+2+...+5=20+15—35.

由于%一24+122(4=1,2,...,5),故le他也，…也},同理10€{%,%,...,外}.

若,设以=2,贝1]2=4=4+左Nl+左，故左=1,从而q=2.

进一步有4=1,而效24+223+2=5（左=2,...,5）,故3,4e他,4也，4｝.

假设5e{%,%,%，/},设即=5,则3＜鬣=%-左'=5-〃，故〃=2,贝1]。2=5,仇=3.

由于与《。5-545,{%,4,伪也}={1,2,3,5},故于=4,%=9.此时{%,%也也}={6,7,8,10},从而

%=10,"=6,但此时生-&=8-7=1,矛盾;

所以5e也也也,&｝,故3,4,5e他也，如&｝，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数

296810261098

阵”有

1734514753

若2e｛4也,…也｝,则1,2©｛4也从而4Kl.

若3e｛%生，…，%｝，则％=3或%=3.若%=3,贝岫=2,若他也,4｝,分别尝试3种可能,知符合条

310796381059

件的“好数阵”有

2845126714

若%=3,则d=1,2G{Z?3,Z?4,/?5},若6£{4%…,。5}，则4=6,或仇=2且〃4=6,分别尝试所有可

937610

能，知符合条件的“好数阵”有

81425

若6£但也，…力5},贝也也为5},分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有

835109

71264

若3£佑也,…您},则1,2,3£但也假设4c{4也,•..,々},由于伪+%+%+&+。=20,

10£{q,…,故20=4+J+4+%+々41+2+3+4+9=19,矛盾,所以4£{4,％,

104876107468

对1,2,3£俗也，…力5}尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有

9253195123

410957954107

3861283162

296810261098310796381059

综上,全部的“好数阵”有］

7345147532845126714

937610835109104876107468410957

8142571264925319512338612

954107

83162

381059835109410957

其中,满足5£也,外,…,应}的有

267147126438612

954107

83162

381059835109

综上,M是“好集合”,满足5£{oM2，…,为}的“好数阵”有

12671471264

410957954107

3861283162

若"=6,由于此时吗』

57不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而知6不是“好集合”.

【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.

20.(1)(i)B=3,—1,1,21；(ii)C={-2,—1,1,2,31

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)取3={-3,-1,1,2},C={—2,—1,1,2,3}验证得到答案.

(2)若g(M)=，W〃+2,a>4f〃EN*,从大到小取〃个元素，得到A中任意4个元素之和20,得到证

明.

(3)集合M的元素按和为T分组，和把集合加的元素按和为0分组，确定以,中必有一个与X。没有

公共元素，设X0匕=0,X.i工的4个元素满足条件，得到左=〃+3时成立，得到证明.

【详解】(1)IXB={-3,-1,1,2},则一3+(-1)+1+2=-1,满足条件；

取。={-2,—1,1,2,3},则—1+1+2+3=5>—1；—2+1+2+3=4>—1；

-2+(-1)+2+3=2>-1；-2+(-1)+1+3=1>-1；-2+(-1)+1+2=0>-1；

满足条件.

(2)若g(Af)=4<九+2,a>4,oeN*,从大到小取。个元素，

A={n,n-1,-,n-a+l\,a<n,^,A=[n,n-l,-,1,-1,n-a\,n<a<n+2,

贝ijA中任意4个元素之和2—1-2+1+2=0,不成立，故g(M)>〃+2.

(3)当左=〃+3时，把集合M的元素按和为-1分组，得：

M={±1,±2,±3,,±n}={-n,M—1}u{—n+1,«—2}u{—n+2,AZ—3}uu{-2,l}o{-1,M},

易得，A中至少有2个二元子集满足Xa={a,—a—l},X6={A,—b—l}(—〃<avZ?K—2).

若把集合M的元素按和为0分组，得：

M={±l,zt2,±3,,±n]={-n,n\{—n+1,M-1},{—n+2,«-2}{-1,1}.

易得,A中至少有3个二元子集满足工二匕-乙匕虫〃,-〃},}；^^^}.

而集合4，为以两两互不相交，X”与工.，匕％中每一个至多有一个公共元素，

所以，中必有一个与X”没有公共元素，不妨设X“Yr=0,

则X“UX的4个元素就是A的4个互异元素，而这4个元素的和为-1.

又g(M)>〃+2,所以g(Af)="+3.

【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能

力，其中，将集合按照和为-1与和为0分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.

21.(1)具有，理由见解析

(2)不存在，证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据集合具有性质T(〃，P)的特征，即可根据集合A中的元素进行检验求解，

(2)假设集合A具有性质T(4,p),分别考虑。=1,2,3,4时，集合A中的元素，即可根据?(〃,初的定义求解.

(3)根据假设存在，使得J，P+1,考虑当Q=〃时以及P+lWq<〃时，分量为1的个数即可讨论求解.

【详解】(1)因为(U,0>(1,1,0)31x1+1x1+0x0=2,同理(1,0,1>(1,0,1)=