2023-2025北京高三一模数学汇编：数列的概念

2023-2025北京高三一模数学汇编

数列的概念

一、单选题

1.（2025北京海淀高三一模）对于无穷数列｛%｝和正整数左传上2）,若存在八力,…,改满足<敢

且%="一••=①，则称数列｛%｝具有性质片.下列选项中错误的是（）

n

«1«2k

A.若则数列｛%｝不具有性质心

B.若%=〃-l+COS（"7t）,则数列｛%｝具有性质%25

C.存在数列｛%｝和也｝，使得｛%｝和｛"｝均不具有性质且｛%+“｝具有性质刍25

D.若数列｛4｝和低｝均具有性质Eg，贝£4+，｝具有性质,25

—=2k,左eN*),

2则(

2.（2024北京丰台高三一模）已知数列｛%,｝满足％M)

^-[n^2k-\,左eN*),

A.当为<0时，｛%,｝为递增数列，且存在常数M>0,使得%<M恒成立

B.当q>1时，｛%｝为递减数列，且存在常数M>0,使得恒成立

C.当0<%<1时，存在正整数N。，当">N。时，。“-；<击

D.当0<%<1时，对于任意正整数N。，存在〃>N°,使得a“-;>高

3.（2023北京房山高三一模）已知数列｛%｝对任意”eN*满足。“+%=。可，且%=1,则应等于（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2023北京石景山高三一模）已知数列｛%｝满足：对任意的犯〃eN*,都有。叫。“=册+,，且。2=3,贝！l%o=

（）

610

A.3.B.3sc.3D.3

二、填空题

5.（2025北京东城高三一模）已知数列｛%｝满足。“+2=。用+2«“（〃=1,2,3,--），且％=1.给出下列四个结论:

①若。2«0,+8）,当“23时，an+1>a„；

②若%e（-2,0）,当〃23时，an+l<an.

③若/e（TO）,对任意正数M,存在正整数N0,当〃>N0时，an>M-

④若出€（-叱-1）,对任意负数存在正整数N。，当〃>N。时，an<M.

其中正确结论的序号是.

6.（2025北京顺义高三一模）已知函数/（x）=<x'°d',数列｛g｝满足q=/（%>0）,a„+1=/（«„）.

x-l,x>1.

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给出下列四个结论：

①若%=3,则加有3个不同的可能取值；

②若m=>/2-1>贝！I4+3-£N)；

③对于任意"?>2,存在正整数T,使得%+「=〃"(〃©N*)；

④对于任意大于2的正整数T,存在优>1,使得%+7=%("eN*)；

其中所有正确结论的序号是.

7.(2024北京东城高三一模)已知数列{%}的各项均为正数，满足%「ca：+a"，其中常数ceR.给出下

列四个判断：

①若<?!=l,c<0,则a<----{n>2)；

nn+1

②若c=T,贝！<—^(〃>2)；

③若c=l,。"则为>1；

④4=1,存在实数。，使得

其中所有正确判断的序号是.

三、解答题

8.(2025北京石景山高三一模)已知有穷数列4：4，4，…，23)经过一次M变换后得到数列4：

min(a1,a2},min(a2,a3},min,min{a“,1}.

其中，min{a,6}表示0,6中的最小者.记数列N的所有项之和为S(/).

⑴若4：1，3,2,4,写出数列4并求s(4)；

⑵若4：%，?，…，氏("23)是1,2,3,…，〃的一个排列，例如，当〃=4时，4,1,3,2可以为1,

2,3,4的一个排列.

⑴当〃=5时，求s(4)的最小值；

(ii)若4经过一次又变换后得到数列4,求s(4)的最小值.

9.(2025北京海淀高三一模)设正整数“N2,对于数列4：qg,L此，定义变换T,T将数列A变换成数列

7(4)：%右，%/，…，%%，%%.已知数列4：%，电，…,为满足Ge{-l,l}(i=l,2,…记

九=7(4)(左=0/，2,…).

⑴若4：-LU，写出数列4，4；

(2)若〃为奇数且4不是常数列，求证：对任意正整数无，4都不是常数列；

⑶求证：当且仅当〃=2"[〃zeN*)时，对任意4,都存在正整数左，使得4为常数列.

10.(2025北京朝阳高三一模)已知。：%,«2,L,6("23,"eN*)为有穷正整数数列，若存在

Z,JG(1,2,•••,«}(/<；),其使得s,q+sMaM+---+sjaj=0,其中s”s,”,e{-1,1},则称。为连续可归零数

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列.

(1)判断2：1，3,2和。2：4,2,4是否为连续可归零数列？并说明理由；

(2)对任意的正整数，，记v(i)=/Max{veN|i="-2\"eN"},其中maxS表示数集S中最大的数.令

”,=2"咽("1,2,…,7),求证：数列。：%,出，L,%不是连续可归零数列；

(3)若a2,L,%的每一项均为不大于左々eN*)的正整数，求证：当“22上时，0是连续可归零数

列.

11.(2024北京朝阳高三一模)若有穷自然数数列A：q吗,…,。“(心2)满足如下两个性质，则称A为坊数

列：

@ak>max{aj+at_i,a2+at_2,---,ak_i=2,3,---,n),其中，max"],%,…,xj表示西,马，…,阳，这s个数

中最大的数；

②。斤Wmingi+a"],出+怎-2,…，°"1+%}+1(左=2,3,…其中，min(x1,x2,---,xs}^^x1,x2,---,xi,这s个

数中最小的数.

⑴判断A：2,4,6,7,10是否为国数列，说明理由；

(2)右A：4,。2,…,“6是线数列，且,。2,生成等比数列，求。6；

(3)证明：对任意4,数列A：a„a2,-,a„(«>2),存在实数彳，使得怎=[版”=1,2,(国表示不超过

x的最大整数)

12.(2024北京海淀高三一模)已知：。/("亚2,%eN*)为有穷正整数数列，其最大项的值为加，

且当上=0,1,…,小一1时，均有出^HabfaWic/wm殁dnO,对于，e{0,l,…，机一1},定义

bl+l=min[n\n>b,,an>t],其中，minM表示数集M中最小的数.

⑴若。31,2,2,1,3,1,2,3,写出可,&的值;

(2)若存在。满足：4+4+4=11，求小的最小值；

⑶当小=2024时，证明：对所有。也023420240.

13.(2024北京门头沟高三一模)已知数列，数列{4}：可也，…也，其中M>2,且

q,b,e{l,2「..,M},i=.记{%},{，}的前n项和分别为Sn,Tn,规定So=To=O.记

S=[Sj-Si\i=W,-,M-j=\,2,-,M,且i</},T=忆一加=0,l,2「..,W;/=l,2「.,M,且i<j}.

⑴若{。“}:2,1,3,{“}：1,3,3,写出S,T.

(2)若$={2,3,5,6,8},写出所有满足条件的数列{/},并说明理由；

⑶若<aI+1,/j,.<6,.+1(z=l,2,---,M-l),a2>b2,且S=T.证明：3i,使得bi^aM-ai.

14.(2023北京海淀高三一模)已知数列{%}.给出两个性质：

①对于{叫中任意两项％吗(此力在{叫中都存在一项以，使得做=。巧；

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②对于｛%｝中任意连续三项。”，an+l,an+2,均有(氏-。向-。”+2J=0・

(1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：

(i)有穷数列｛%｝：为=2"T(〃=L2,3)；

(ii)无穷数列也｝:bn=2w-l(w=l,2,3,--).

(2)若有穷数列｛氏｝满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数加的最大值；

(3)若数列｛%｝满足性质①和性质②，且。1>0,出<-1,%=2,求｛%｝的通项公式.

15.(2023北京朝阳高三一模)已知有穷数列/：%,电，…,aw(NeN*,NN3)满足qe｛-l,0,l｝«=l,2,…,N).给

定正整数小，若存在正整数s,(swt),使得对任意的左e｛01,2,…,〃-1｝,都有4+上=。》,则称数列/是

m-连续等项数列.

(1)判断数列是否为3-连续等项数列？是否为4-连续等项数列？说明理由；

(2)若项数为N的任意数列/都是2-连续等项数列，求N的最小值；

⑶若数列4生,。2,…,心不是4-连续等项数列，而数列4：%,。2,…MN，T，数列4-al,a2,---,aN,0与数列

4：%,出，…,都是4-连续等项数列，且%=0，求)的值•

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参考答案

1.D

【分析】A利用4,%是2个不同的正整数，可得&，组不可能相等；B求〃为偶数时数列｛凡｝的通项公式,

n2

取羯您为2025个不同的偶数；C取%=/,6“=-/+〃利用性质4的定义证明；D取

为奇数+1〃为奇数

卜+1,〃为偶数“％〃为偶数’再利用性质与的定义证明•

【详解】因应=〃2,贝由于％，%是2个不同的正整数,

n

因此生=%,£="2不可能相等’故数列｛%｝不具有性质6,故A正确;

B,a„=n-l+cos(/OT),故当〃为偶数时，,此时%=1,

n

故取勺内,…,内必为2025个不同的偶数，止匕时%="=-=&=1,

n\n2n2025

则数列｛%｝具有性质舄025，故B正确；

2

取°“="2,由A选项可知，数列｛%｝不具有性质鸟；^Lbn=-n+n,

贝=+由于%，%是2个不同的正整数，因止匕，=-"1+1,二=-%+1不可能相等,

nnxn2

故数列M｝不具有性质6；a“+b“=n,则五垃=1,

n

故任取多,“2，…，«2025为2025个不同的正整数，

+>0+a+b.、

有/_曳=」一_皿=1,则数列｛与+4｝具有性质当25,故C正确;

n\〃24025

%〃为奇数；；牖数则当"为奇数时,

b“=

〃+1,〃为偶数'

故取巧,%,%侬为2025个不同的奇数,此时&=曳=…=&皿=1,

"1〃2〃2025

故数列｛aj具有性质鸟。25；当〃为偶数时，4=1，故取心丐，…,内。25为2025个不同的偶数,

此时组=%=...=工=1,故数列也｝具有性质&25；a„+b„=2n+l,

“1"2〃2025

则冬母=2+工，由于…,%。25为2025个不同的正整数，

nn

a+b1a+b1a+bi

贝_^L=2+—,」__^=2+—,L,q~~^=2+——不可能相等,

"1"1"2“2“2025n2025

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此时数列｛%+bn｝不具有性质乙侬，故D错误.

故选：D

2.D

【分析】直接构造反例即可说明A和B错误；然后证明引理：当0<%<1时，对任意的正整数N。，都存在

n>N。,使得.“一最后由该引理推出C错误，D正确.

【详解】当为=-<时，%=&?=：,%=?=：<，=%，所以此时｛4｝不是递增数列，A错误；

2242X4

当％=；时，出=审=1,。3=与=%="=?>!■=%，所以此时｛%｝不是递减数列，B错误；

2242o216o

我们证明以下引理：当0<生<1时，对任意的正整数N。，都存在〃〉N。，使得。“-g2+.

若该引理成立，则它有两个直接的推论：

①存在0<q<l,使得对任意的正整数N。，都存在〃〉乂，使得%-；2击；

②当0</<1时，对任意的正整数N。，都存在〃>N。，使得对一；>嬴.

然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确.

最后，我们来证明引理：

当0<%<1时，对任意确定的正整数N。：

111]1>1----

如果任100,2+100,则0%+「5

,100'

111]aCl

aM+1N(j+\+1

如果N+i£,则ajV+2-或a

0I02Wo+22

+

此时若限2=0,则〃_^+1<2100_1,1_111Ip1)<11;

2Wo+222420024200214200210(

若明2=^^，则。「…]F1PQ+：3]JJ]JO1.

2%+22242002420021420(J210(

无论哪种情况,都有0%+2击，/+］，从而

这说明叫焉或叫+2-；之焉，所以可以选取〃｛乂+1,£+2｝,使得a,-；2m.这就说明存

乙JLV/vz乙X\J\J乙X\J\J

11

在n>N。,使得a——>——

〃n2100

这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确.

故选：D.

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【点睛】最关键的地方在于引理：当0<%<1时，对任意的正整数N。，都存在使得a“-32击.这

一引理可以帮助我们判断出较难判断的C和D选项.

3.D

【分析】由数列递推公式依次计算。2，。3,%，。5,即可得答案.

【详解】由题意可得，。2=%+4=2,/=%+%=2+1=3,

。4=。3+〃1=3+1=4,〃5=〃4+〃1=4+1=5.

故选：D

4.B

【分析】根据对任意的内〃EN*,Waman=am+n,且w=3,求得为，%的值，即可得〃io的值.

【详解】对任意的九〃EN*,都有%A=。加+〃，且4=3,所以。2〃2=9=%,

则=4；=81=。8，所以％0=。2“8=3x81=3,.

故选：B.

5.①③④

【分析】先根据=。用+2%("=1,2,3,…)构造新数列｛。用+%｝是首相为出+1,公比为2的等比数列，

得出。用+%=(%+l)2i,再构造新数列］。“-Tx2"j是首相为空，公比为-1的等比数列，从而求

出数列｛4｝的通项公式；对于①，利用作差法即可判断；对于②，取的=T即可判断错误；对于③，求解

不等式%〉利用放缩法找到正整数N。即可；对于④，求解不等式利用放缩法找到正整数N。即

可.

【详解】因为。“+2=。“+1+2«.(〃=1,2,3「一)且4=1,所以a“+2+a,+］=为用+为“=20"+i+a”),

所以｛。的+%｝是首相为。2+1，公比为2的等比数列，所以％包+。"=(%+l)2"T，

+1

即«„+1=-%+(。2+1)2-',所以%+「电^x2"=-k-^-x2“，又ax梦=丁，

oI6)o3

所以［。“一修x2”是首相为”，公比为一1的等比数列，所以a"-"x2"="(T)i,

L0J363

1

即an=x2"+(-1F,

63

对于①，若。240,+<»),当"23时，

%/=］Mx2%甘(./卜1「］=92"+牛也卜<1门，

+>

当〃23且为奇数时,a〃+i-a”=4：x2〃=+^\a2~~~~；

63163J63

a+12-a(2n2、2n4

当“23且为偶数数时，«„-«„=^—x2"+—^x2=---«+-+->0

+I63163263;

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综上an+l-an>0,即4+i>an,故①正确;

对于②，若出«-2,0),取。2=7,则。,,=修x2"+?(-1尸=(-1广，故②错误;

63

对于③,若生£(-1，。)，贝U2+1>。，

对任意正数M,由%>M得%=上乂2"+"红(-1)"T>M,

63

所以2.-

当才>Vil"十三”】时上式一定成立，即n>log^-^^M+U

故存在正整数N0=当〃〉N0时，an>M故③正确;

对于④，若出£(一8，-1)，贝1」。2+1<°，2-。2>°，

对任意负数M,由见</得。“=友里、2"+"&(-1产<”,

63

所以2">：,_丁(_1)「，又f

^2+1\3)&+1(3)tz2+1\3)

当2〃>六〜一十｝—成立,即〃〉噫］六回丁：,

故存在正整数N0=当〃〉乂时，an<M,故④正确;

故答案为：①③④

6.①②④

—,0<tz«1

【分析】由已知得%=%,若%=3,分别对%,为分类讨论即可判断；②若加=拒-1，求得

%-1,%>1

%,%，。4即可判断您当加=3时，计算可判断；@%=左+。,0^,0<〃41,进而可得°=士也士6(0,1］，

可判断.

—0<Y<1—,0<a“W1

【详解】①〃X)=，x',所以%+1=<。”,若%=3,

xT,x>l[an-l,an>\

当的〉1时，出—1=。3=3,解得々2=4.

当q=加>1时，则〃1一1=g=4,解得q=5,当％=加<1时，则(=出=4,解得％=；；

1114

当生<1时，一=。3=3,解得a=-,当/=加>1时，则4一1二?=一，解得力=—,当％=加<1时，则

。22333

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一=。2=三，解得%=3(舍去)；

ax3

14

综上可得：机可以取3个不同的值：5,因此①正确.

②若机=收一1<1，则。2=丁=亚_]=收+1,a3=a2-1=V2,aA=a3-1=V2-1,...可得

a"3=a”(〃eN*).数列是周期为3的数列，故②正确.

③当加=3时，々=％一1=2,a3=tz2-1=1,%=7=1,

所以不存在正整数T,。“+7N*),故③正确.

④先考虑数列｛%｝的周期性，

对于％=左+〃,左EN*,0<Q<1,则出=。1_1=左_1+。，a3=a2-l=k-2+af

......，ak+l=a,喙=：，要使｛%｝是周期数列，

则有二女+。，解得0=士#三e(0,1]，

a2

从而存在机=左+。，使得数列｛%｝是周期数列，周期为上+1,

从而要使周期为乙只需7=左+1,即左=7-1即可，故④正确.

故答案为：①②④.

7.②③④

【分析】①直接取找矛盾；②通过。用=-。；+。"=」一一'=4>1，利用累加法求明的范围;

3an+lan\-an

③假设%VI找矛盾；④取。=2,根据函数单调性来确定其成立.

【详解】对于①：若则4=ca；+/=c+l,

171

当。二-3时，a2=~»与矛盾，①错误；

对于②：若。=一1,则。〃+i=-%+%〉o，所以。<%<1,

又〃2=-。：+%,若一片+%=一(〃]—J],该不等式恒成立，即0<出<；，

211111111

由%=~a+%=>=—T-=-F-------N=

n4+1an[l~an)4+1an1一%。的〃〃1n

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------->1

anan-l

所以------->1,所以"23时，<，累力口得------>n-2,

a

%%n。2

--->1

所以一>n-2+一>〃—2+3=〃+1,所以Q

综合得册<-----(«>2),②正确;

对于③：若c=l,a">〃(〃22),a„+1=a；+an,

假设0<%Wl,则42,与%>2矛盾，故4>1,③正确；

对于④：当q=1时，若c=2,则4用=2a；+4,此时。2=2。；+%=3>2,

若>“(”22)成立，

根据二次函数y=2d+x可得其在(0,+力)上单调递增，

可得。“+1=2。；+。“>2n2+n>n+l,

故在出>2的情况下，必成立，即存在实数，，使得。22),④正确，

故答案为：②③④.

【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.

8.(1)4：I,2,2,1；S⑷=6；

【分析】(1)根据变换的定义写出数列，再计算得S(4)；

(2)(i)分析得4的所有项中至多有两个1和两个2,则得到其最值；

(ii)分若〃=3后，〃=3左+1和〃=3左+2讨论即可.

【详解】(1)由题意，4：min{1,3},min{3,2},min{2,4},min{4,1},即1,2,2,1.

所以S(4)=l+2+2+l=6.

(2)(i)由题意知，4中元素两两互异，故4中的任一元素，

如/,在4中至多在min{%,4}和minmS+J中出现两次(规定g=。“，an+l=al),

且若出现两次则这两个数处于邻位(«.和a„也视为邻位).

所以4的所有项中至多有两个1和两个2.所以S(4)W2xl+2x2+3=9.

当4为1，4,2,5,3时等号能取到，所以S(/J的最小值为9.

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（ii）同（i）可知，4中的任一元素若在4中仅出现一次，则在4中至多出现两次;

若在4中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在4中至多出现三次.

①若"=3左，贝|5（4）2311+2+…+=

当4满足{4，%，…，叽2}=,2…,4时等号能取到.

/CTTn.i〃—IA〃+2Tl^+377+2

②右n=3k+l,贝！jS（42）23]I+2H---1-----H------------------.

I3）36

当4满足{%，&，・••，""}=，，2,…,F，牛j时等号能取到.

(3)^*n=3k+2,贝US()231l+2-i—H--—J+2x---=--------

n—2H+ll

当4满足{%,&，…吗*n}=|l，2,

3，-T-J时等号能取到.

n2+3〃

,n=3左,

6

综上，5（上濡=

川+3〃+2

,n=3k+1或〃=3k+2

6

9.(1)4:一I,I,一I；4：—1,—1,1

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）由题意，直接写出答案；

（2）利用反正法，假设存在常数列，并建立方程，可证矛盾；另法：分情况写出常数列的结果反推前一种

变换的数列，可得矛盾；

（3）首先证明，若其中加eN*,s»2,seN+,则存在〃项的数列4,使得对任意的正整数上,4

都不是常数列.其次证明：若〃=2%其中加eN*,对任意4,都存在正整数上,4是常数列.

【详解】（1）由题意可得4：-U,T;4：T，T，L

（2）证明：设"=2”1,其中feN*.

假设存在正整数左，使得4是常数列，由4不是常数列，

不妨设4,4,…，4T不为常数列且4为常数列，

记4-1:瓦力2,…,b2l_2>b"\,则4：也°3>'">^21-2^21-1，%-14.

令%=4，%+1=8

当i=1,2,…,2/-1时，因为b.bM=bi+lbj+2,且bM,所以。=bl+2.

故4=4=b5=---=b2t_l=b2=b4=---=b2t_2.

此时4-为常数列，矛盾.

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另法：

①右4：1,1,…,1,则。2=4,4=°2'…,%-1=勿-2，b[=b"i,

有6]=瓦=...=1)3

此时4T为常数列，矛盾.

②若4：T，-L…，T，则她=b2b3=…=b2n_2b2n_}=b2n_^=-1,

有(~1严=8也)(b2b3)…也”2b2i)也川卜b；b；…b"=1,

矛盾.

综上，对于任意正整数左，4都不是常数列.

(3)首先证明，若〃=2%(2s-l),其中加eN*,sN2,seN+,

则存在〃项的数列4，使得对任意的正整数左，4都不是常数列.

证明：构造2s—l项的数列。0…,。2S—1，其中)=。2=-=6一2=1，。21=T，

构造〃项的数列_Z4Q.CJ,(?2,...,GsT,C[,C],..•,。2$一1，，，，，，。2，，•，,，2sT

2"组C],。2，…。2$-1

对任意的正整数左，设G：4〃,…,&一，则4.区，…，4'—，4，4，……，―…&式

由于Q不是常数列，故4不是常数列.

其次证明：若〃=2皿，其中meN*,对任意4,都存在正整数上,4是常数列.

证明：假设存在“=2%其中皿eN*,使得存在数列4，

使得对任意的正整数人,4都不是常数列，不妨设用的最小值为外.

情形一：加0=1,贝U刀=2,记4：。1，。2，则4口的，。1。2为常数列，矛盾.

情形二：m0>2,对任意的数列4：%，%%，…,%则

CI3,^^2^^4，^^3^^5，•♦・，-2'

记4:。1，A，。2，，…,%,B〃,

22

定义数列召。:%，%，…,％，4:4，夕2,…，与，其中N=2环一丁.

22八2

观\E[:a&，a2a3，,,；a产1，F[:/3[仇，0203,…，0/1，A?:a&,/3102，a2a3,0203,…，a凸，B也

222~2~

则依此类推，对任意正整数左，记纥：…，〜，及：匕，％，…，0，4左：〃…，忆'4_•

、‘''一2~222

存在正整数3左2,使得凡「以为常数列，记/=max%,左2*则数列/.，纭均为常数列，

没…,a,B,则&。”的各项均为姐.即左=2自+1时，4是常数列，矛盾.

综上，当且仅当〃=2"®eN*)时，对任意4,都存在正整数左，使得4为常数列.

10.(1)数列2是连续可归零数列，数列。2不是连续可归零数列，理由见解析

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（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析X1）判断数列是否为连续可归零数列，关键看能否找到s,e｛-1,1｝,使连续项++•••+>%=0.

对于。-找到一组心,邑，邑使等式成立，所以是连续可归零数列；对于2，分亿力的三种情况讨论，根据s,

取值及式子奇偶性判断都不为0,所以不是.

（2）先根据v（"）的值求出数列Q各项.再依据+sMai+l+•••+Sj%与at+aM+---+aj奇偶性相同,分

芯4</或，<44）时，因为为奇数其余为偶数，和为奇数；再结合亿力取特定值时由第一题结论也不为0,

得出数列。不是连续可归零数列.

（3）先定义数列也｝,目标是证对任意，，-左+用反证法，假设存在/使々超出范围，分々-VO和

6T>0两种情况，推出矛盾，证明该结论成立.

分情况讨论也｝：若有与=0,能找到一组数使式子为0,此时数列。是连续可归零数列.若4都不为0,因

为-左+1到左间非零整数有限，当〃>2时，色｝中存在两项相等，进而能找到一组数使式子为0,此时数列。

也是连续可归零数列.

【详解】（1）数列2是连续可归零数列，理由如下：

取心=1,52=-1,53=1,则S]q+s2a2+s3a3=1x1+（-1）x3+1x2=0,

所以数列a是连续可归零数列.

数列Q不是连续可归零数列，理由如下：

当（。/）=（1,3）时,S1%+s2a2+s3a3=4跖+2s2+453=2（2电+s2+253）,

因为S，S2,S3e｛-1,1｝是奇数，故2S]+S2+2$3是奇数，所以2（2S]+S2+2S3）NO.

当（i"）=（1,2）时，5必+s2a2=4sl+2s2=2（2s,+52）,

因为[应"-1」｝是奇数，故2J+S2是奇数，所以2（2S1+S2）NO.

当（0/）=（2,3）时,s2a2+s3a3=2s2+4s§-2（s2+2三）,

因为$2,$3©｛-1,1｝是奇数，故$2+2邑是奇数，所以2（%+2S3）』0.

所以数列Q2不是连续可归零数列.

（2）因为1,3,5,7是奇数，故O=v（3）=v（5）=v⑺=0,

所以％=%=%=%=2~0=4.

因为"⑵:丫⑹口，所以《=《=227=2.

因为v（4）=2,所以%=2?一2=1.

所以数列。：4,2,4,1,4,2,4.

因为s”s,+”…,S/</47）,

所以+sMaM+-••+Sj%与a,.+aM+…+%.奇偶性相同.

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当i<4</或i<44/时，因为《，生+i，…,5中,应为奇数，其余各项均为偶数,

所以%,+为+1+…+与为奇数.

所以s,a,+sMaM+…+Sj%*0.

当亿/）取（1,2）,（1,3）,（2,3）,（5,6）,（5,7）,（6,7）时,

由(1)可知s,a,+sMaM+-••+s产上丰0,

综上，数列。不是连续可归零数列.

（3）设4=%也]

-0、

则如&…也是整数数列.

下面证明对任意於{1,2,…均有-上+14%Wk.

显然4=%满足~k+\<bx<k.

假设结论不成立，则存在出{2,3,…㈤,使得后或〃<一后+1,

且当」V时都有-后+1W6产后.

G)若b,〉k,当心40时,以=瓦一％,

因为《后，所以6T=4-a,>左-a,20,矛盾；

当〃_]>0时，*-bx+at,

因为q>0,所以6T=々+%>左+%>左，矛盾.

(ii)若4V—左+1,当坛1«。时,6—1=6]—%,

因为q>0,所以bt_x=bx—ar<—k+\—at<-k+\,矛盾;

当〃T>0时，bj=b\+ci\,

因a,Mk,b”[=b]+a[<—k+1+a,4—k+1+左=1,

又々T是整数，所以b“vo,矛盾.

综上，对任意ie{l,2,…均有一4左.

若存在%{2,3,…使得%=0,

则存在。⑺且4,%…,3)e{-1,1},使得4%+s2a2+…+s/Zj=0,

此时数列。是连续可归零数列.

若任意，e{l,2,…,〃},6户0,

因为-4+1,-k+2,…，-1,0,1,…,左中共2人-1个非零整数，

当“22左时，数列乙也，…也中存在p,qe{l,2,…且p<q,使得&=%,

从而存在Sp+”s〃+2…,3e{-l,l},使得s?+w?+1+Sp+2ap+2Sqaq=4-=0，

此时数列Q是连续可归零数列.

综上，当“22上时，数列。是连续可归零数列.

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11.（1）不是，理由见解析

⑵4=8

（3）证明见解析

【分析】（1）直接根据其数列的定义验证；

（2）根据纥数列的定义先列式求出％,出，生，进而可求出%，%，&；

（3）先说明与数列满足结论，然后假设存在自然数。2,存在3,数列使得结论不成立，设这样的/的最小

值为f。，即存在纥数列N：%,%，…,气对任意实数2,存在左e{1,2,…J。},使得右式以],通过打数列的定

义退出矛盾，进而达到证明结论的目的.

【详解】（1）A：2,4,6,7,10不是风数列，理由如下：

因为+%=8,=8,

所以max{%+Q3M2+%}=8,

但。4=7<8,所以A不满足性质①，故不是反数列；

（2）根据A：…'。6是1数列可得A：…,〃6满足：

%=%+%或出=%++1，％+。2或。3=%+。2+1，

2

①若。2=。1+。1，因为外,〃2，生成等比数列，所以的二-^二.],

Q]

又用W0,所以%。4+%，所以〃3=%+。2+1=+1=刈1，得％=1，

②若%=为+%+i,因为可，出，的成等比数列，所以,=£=（冽+1），

%ax

当%=%+电时，%=3%+]=（2%+1）,解得6=二±^1,与%为自然数矛盾，舍去；

ax2

当％=%+4+1时，/=3%+2=C%+l）,解得％=-1,与％为自然数矛盾，舍去；

ax

所以%=1,〃2=2,%=4,

由4+%=5,牝+&=4以及max{4+a3,a2+a^<a4<min{q+a3M2+%}+1，

得5<4<5,所以4=5,

由/+%=6,a2+%=6以及max{q+a4,a2+a^<a5<min^^+%,%+%}+l,

得6W/W7,

由7W%+%W8,4+%=7,%+%=8以及max{〃[+%,%+Q4M3+%}«64min{6+〃5，出+%,%+/}+l，

可知8<46<8,所以4=8；

（3）当〃=2时，根据为数列的定义，可知出=24或%=2%+1,

若々2=2%,取4=〃1+0.1〉0,则%=[4必=[24，结论成立，

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若%=2%+1,取2=%+0.5>0,则％=[矶的=[2刃,结论成立，

假设存在自然数/>2,存在g数列使得结论不成立，设这样的t的最小值为办，

即存在线数列N：%,出，对任意实数A，存在左e{1,2,…％,使得ak小团,

根据假设，数列A的前％-1项%，出，…，。”组成的数列是一个线-数列，

从而存在实数使得为=%例，4=1,2,…八一1,

BPak<k/3<ak+\[k=1,2,--■,t0—\),-y-M/3<■—(k=1,2,•••,Z0—1),

KK

令£=max]q,^kt/=min<q+l”,…受耳]则人〃<U,

2/0-1J

令£*=max]=min]+11,贝lj£W£*,U*W。，

①若2*=组，根据。的定义，存在〃e{12…儿-1},使得u=4色

/0U

y-V!L<£<C/=S±l

t^—uu

贝I]/=%4%一“+。”+1%一“+(4+1)<%+1二？且[*=%%+1

t。%(才0-〃)+〃U%%

所以力<。*,

②若2*=八根据工的定义，存在％{1,2,…八