2023-2025人教B版高三一模数学汇编：集合

2023-2025北京高三一模数学汇编

集合（人教B版）

一、单选题

1.（2025北京通州高三一模）已知全集为R,集合A={x|-l〈xV2},B={x|x>0）,贝i]（4A）cB=

（）

A.1x|x<-l|B.{x|x>2}C.{A:|-1<x<O}D.{尤[0<尤42}

2.（2025北京石景山高三一模）已知全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={xe4无?<2},则即A=（

A.{-1,0,1}B.{-2,2,3}C.{-2,1,2）D.{-2,0,3）

3.（2025北京顺义高三一模）已知集合。=k归+320},集合A={R-2<x<2},则为A=（）

A.[―3,—2）u（2,+oo）B.[—3,2）

C.[-3,-2]U[2,+«）D.[-2,3）

4.（2025北京朝阳高三一模）已知集合4={尤料<2},集合8={x|04尤42},则4口8=（）

A.{x|0Wx<2}B,30VxV2}C.{x|-2<x<2}D.{x[0<xW2}

5.（2025北京平谷高三一模）已知集合4=口|—1<X<1},B={X|0VXW2},则AU3=（）

A.{x|-l<x<2}B,^x|0<x<2}

C.{x|O<x<l}D.{x|-l<x<2}

6.（2024北京房山高三一模）已知全集。={-2,—l,0,l,2},集合A={1,2京则”=（）

A.{-2,—1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1}

7.（2024北京延庆高三一模）已知集合4={才％<3},B={1,2,3},则AU3=（）

A.（-oo,3）B.y，3]

C.{1,2}D.{1,2,3}

8.（2024北京朝阳高三一模）已知全集。={123,4},A={x&U\x<2},则gA=（）

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

9.（2024北京海淀高三一模）已知全集。={*|-24》42},集合4={司-1Wx<2},则乐4=（）

A.（-2,-1）B.[-2,-1]C.（-2,-l）U{2}D.[-2,-1）U{2}

10.（2024北京西城高三一模）已知全集0=11,集合A={x|x<3},3={x|-2<x<2},则41^8=

（）

A.（2,3）B.（―,一2）"2,3）C.[2,3）D.（一叫-2]口[2,3）

11.（2024北京东城高三一模）如图所示，U是全集，是U的子集，则阴影部分所表示的集合是

u

AB

A.AnBB.A\JBC.g（Ac3）D.

12.（2024北京门头沟高三一模）已知集合A={0,l,2,3},集合B={xl<x<4},贝I]Ar\B=（）

A.{2,3}B.{0,1,2}

C.{1,2}D.{1,2,3）

13.（2023北京顺义高三一模）己知集合4={尤卜2Vx<2},B={x|0<%<3）,则AU^=（）

A.{x|-2<x<3jB.{x[0<x<2}C.{x|-2<x<0}D.{x[2<x<3}

14.（2023北京海淀高三一模）已知集合A={X|1<X<3},8={0,1,2},则4口3=（）

A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2）

15.（2023北京房山高三一模）已知集合4={娟-1<尤<1）,2={X|0WXW3},则AU8=（）

A.[0,1）B.[0,1]C.（-1,3]D.（-1.3）

16.（2023北京丰台高三一模）已知集合人={》|-IVxWl},8={尤|0<xW2},则AU3=（）

A.{x|-l<x<l}B.{x|0<x<l}C.{x|0<x<2}D.{x|-l<x<2}

17.（2023北京平谷高三一模）已知集合4={尤]-2<无<l},B={x|x>0},则AU3=（）

A.（-2,0）B.（0,1）C.（-2,+oo）D.（0,+oo）

二、填空题

18.（2024北京朝阳高三一模）设A,B为两个非空有限集合，定义〃A,8）=1-工0商其中间表示集合S

的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业

水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为H，S2,S3,

S4.已知，={物理，化学，生物},S?={地理，物理，化学},$3={思想政治，历史，地理},给出下列四

个结论：

①若_/区,$4）=1,则邑={思想政治，历史，生物};

②若J（H，Sj=J（H，S4）,则邑={地理，物理，化学};

③若邑={思想政治，物理，生物},则J（E，S4）<J（S2，S4）=J（S3，S4）；

④若⑸,Sj=J（S3，S4）,则'={思想政治，地理，化学}.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

19.（2024北京丰台高三一模）己知集合此={xeN*|xV24（neN,»>4）,若存在数阵

①a”}U他也，…也}=M,；

@ak-bk=k(k=\,2,---,n).

则称集合M”为“好集合”，并称数阵T为M”的一个“好数阵”.

xyz6

⑴已知数阵7=’,c是加4的一个“好数阵”，试写出X,九Z,W的值；

7w12

(2)若集合叫为“好集合”，证明：集合加“的“好数阵”必有偶数个；

(3)判断此(〃=5,6)是否为“好集合”.若是，求出满足条件“e{4令…，见}的所有“好数阵”；若不是，说

明理由.

20.(2023北京顺义高三一模)已知实数集4={<71，%/-必}("23),定义°(A)={q%除吗eA"w/}.

⑴若A={-2,0,1,2},求°(A)；

⑵若0(A)={0,-6,-8,-12,12,18,24},求集合A；

(3)若A中的元素个数为9,求夕(A)的元素个数的最小值.

21.(2023北京门头沟高三一模)己知集合/={±1,±2,±3,…,±7z}(〃>3).若对于集合M的任意左元子集A,

A中必有4个元素的和为-1,则称这样的正整数上为“好数”，所有“好数”的最小值记作g(M).

⑴当〃=3,即集合—={-3,—2,—1,1,2,3}.

(i)写出〃的一个子集8,且8中存在4个元素的和为T；

(ii)写出M的一个5元子集C,使得C中任意4个元素的和大于-1；

⑵证明：g(M)>7z+2；

⑶证明：g(M)=n+3.

22.(2023北京西城高三一模)给定正整数〃22,设集合Af={a|<z=(32，L区),友e{0,1},左=1,2,L对于

集合M中的任意元素夕=(占,X2,L,三)和y=(w%，L,%),记。y=匕y+L+%%.设A=且集合

A={a;|«,.=(Z;1,f,.2,L,tin),i=t2,L,n},对于A中任意元素%，%,若a,q/?”'则称A具有性质T(〃，P).

⑴判断集合A={(U，0)，(L0,1),(。」/)}是否具有性质7(3,2)?说明理由；

(2)判断是否存在具有性质r(4,p)的集合A,并加以证明；

(3)若集合A具有性质T(〃,P),证明：3+%+L+%=p(j=l,2,L,力).

参考答案

1.B

【分析】由补集及交集运算即可求解.

【详解】由4=卜|-"%42},可得"A={x[x<-l或x>2},

所以(4A)c3={x|x>2},

故选：B

2.B

【分析】利用集合的补集运算求解.

【详解】因为全集。={-2,-1,0』,2,3},集合A={T,O,1},

所以街A={-2,2,3},

故选：B

3.C

【分析】先确定集合U,再根据补集的定义运算即可.

【详解】因为。={小+320}=[-3,+8),A=(x|-2<%<2]=(-2,2).

所以必4=[一3,—2]。[2,+“).

故选：C

4.A

【分析】求出集合4然后根据交集运算求解即可.

【详解】A={x\\x\<2}={x\-2<x<2},

所以AcB={x[0<x<2},

故选：A.

5.D

【分析】根据并集的定义即可求.

【详解】AUB={x|-l<x<2},

故选：D

6.B

【分析】根据补集的定义即可得解.

【详解】因为全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={1,2},

所以备4={一2-1,0}.

故选：B.

7.B

【分析】根据题意，由并集的运算，即可得到结果.

【详解】因为A={无,<3},3={1,2,3},则AU8=(F，3].

故选：B

8.D

【分析】求出集合4再利用补集的定义求解即得.

【详解】全集U={L2,3,4},则4={1},

所以34={2,3,4}.

故选：D

9.D

【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.

【详解】全集U={x|-2WxW2},集合A={R-l<x<2},

所以ea=[—2,—DU{2}.

故选：D

10.B

【分析】利用补集和交集运算求解即可.

【详解】因为集合3={x|-2Wx<2},所以23={x[x<-2或x>2},

又集合A={x|x<3},所以AI电8={#<-2或2cx<3}=(-e,-2)"2,3).

故选：B

11.D

【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得

解.

【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是6(AU3).

故选：D.

12.A

【分析】求AcB,判断选项.

【详解】根据题意可得，Ac3={2,3},

故选：A

13.A

【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案.

【详解】根据并集的运算可知，AuB={x|-2<%<2)u{x|0<x<3}={%|-2<x<3].

故选：A.

14.A

【分析】求交集可得答案.

【详解】因为集合4={加1口<3},3={0,1,2},所以4「3={2}.

故选：A.

15.C

【分析】直接求并集得到答案.

【详解】集合4=｛川一1<尤<1｝,8=｛XIOVXV3｝,则4口3=｛引―1<"43｝.

故选：C

16.D

【分析】根据并集运算求解.

【详解】因为集合4=｛彳|-1<尤VI｝,B=｛x|0<x^2｝,

所以&U3=｛X|-1VXV2｝,

故选:D.

17.C

【分析】由并集的定义求解即可.

【详解】因为集合A=3—2<X<1｝,2=｛X|X>0｝,

所以AUB=（-2,+a））.

故选：C.

18.①③

【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到lEUSl必为偶数，讨论

|SiUS/=6和|S]USj=4两种情况下的求解即可；对于④：通过举例邑=｛物理，地理，历史｝来说明.

【详解】对于①：j（凡,sj=l-暂兽=1,

所以|s2ns/=o,所以邑nj=0.

又邑=｛地理，物理，化学｝,所以S4=｛思想政治，历史，生物｝,①正确;

snswns/j」

对于②：J（&S2）=J（S”S4）,即总号

U、2

所以21sms所以5us/必为偶数,又34|HUS4H6,

当|5、5|=6时,|5^54|=|0|=0,不符合21sms41THUS/,

所以国US/=4,且|\nS4|=2,此时用情况较多，比如$4=｛物理，地理，生物｝,②错误;

对于③：若邑=｛思想政治，物理，生物｝,则

211414

J（51,S4）=l--=-,J（S2,S4）=l--=-,J（53,S4）=l--=-,

I//JJ

所以,（席邑卜/⑸㈤卜/⑸㈤），③正确;

对于④：当邑=｛物理，地理，历史｝时,

J（51,S4）=l-1=^,J（52,54）=l-|=1,J（S3,54）=l-|=p

满足/⑸.”/⑸•人/区.），但不是邑=｛思想政治，地理，化学｝,④错误.

故选：①③

【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时

候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.

19.（l）x=8,y=5,z=4,w=3

（2）证明见解析

⑶M是“好集合”，满足55}的“好数阵”有n.

20/14

■41095T「9541071

。C；加6不是“好集合”，证明见解析

_3861

【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；

（2）可构造恰当的映射，以证明结论；

（3）第三问可通过分类讨论求解问题.

【详解】⑴由“好数阵”的定义，知％—7=1,y—w=2,z—1=3,{x,y,z,w}={3,4,5,8},故％=8,

z=4,y-w=2,{y,z}={3,5},进一步得到y=5,w=3.

从而尤=8,y=5,z=4,w=3.

CLa、•••

2

（2）如果；7J是一个“好数阵”,则{%,2,.•也}u体也，…，〃}=此，

国b2…2」

以-4=%(%=1，2,・・・,〃).

{2〃+1—4,2〃+1—4,..•,2〃+1—}D{2〃+1—%,2〃+1—,,,,,2〃+1—%}=M葭,

(2几+1—4)—(2九+1—%)=左(左=1,2,•••,,

2n+l—b2Tl+1—b?2n+l-b

Xn也是一个“好数阵”.

2〃+1—%2〃+1—%2n+1—an

由于〃2+a=22+2是偶数，故生+2。2〃+1,从而%w2〃+l—d.

相九+

d-y•••d21-42n+l—b22n+l—bn

这就说明两数阵的第1行第2列的数不相等,

bb

i2…队2n+l-a12〃+1—%2n+\-an

从而是不同的数阵.

设全体“好数阵”构成的集合为S,并定义映射尸:SfS如下:

%***c12n+l—b2n+1—Z?•••2n+1—b

对7=fl,规定士（7）=x2n

4b2•••b„2n+1—62n+1—%***2n+1—

因为由M“中的元素构成的2x〃数阵只有不超过（2〃户种，故S是有限集合.

2〃+1—(2〃+1—6)2〃+1—(2〃+1—。2)***2〃+1—(2〃+1—2)

而尸仍（T））=

2〃+1-(2〃+1-bj2〃+1-(2〃+1-Z?2),••2〃+1-(2〃+1-2)

q%***an

4b2…bn

这就表明尸（尸（T））=T,从而尸是满射，由S是有限集，知产也是单射，从而P是一一对应.

aaaa2〃+1—2M+1—Z?2…+1

对“好数阵”42„，已证两数阵42n是不

bbbb〃〃

&2…n42•­-„2+1—%2+1—a?...2n+l-an

同的数阵，故网T）wT.

同时，对两个“好数阵”小T2,如果（="［）,则尸伍）=尸仍口））=小如果7；=尸（4），则

F（7；）=F（F（^））=7；.所以（=歹（北）当且仅当工=歹（4）.

最后，对TeS,由尸（T）W7,称2元集合｛Tj（T）｝为一个“好对”.对"eS,若丸属于某个“好对”

｛r,F（T）｝,则7或/（T）=",即7="或7=/（4）.

由于｛%网幻卜忸（幻*俨（3）｝,故无论是7=勾还是7=/（幻，都有｛71（7）｝=忆,尸（幻｝.

这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有

偶数个.

(3)若，J"是"好数阵"，贝。有1+2+3+...+2〃=(4+%+...+4,)+(4+/72+”.+〃)

&b2…bnJ

—((4+1)+(4+2)+…+(bn+"))+伯+/+...+"〃)=2(4+/?2+.••+〃)+(1+2+...+〃),

所以2色+%+…+2)=5+1)+5+2)+…+2〃=""+2")="(3,),这表明吗+1)一定是偶数.

若〃=5,设收?是，，好数阵，，，则23+4+...+仇)=仆+1)=40,从而

4a…仇_1v572

"i+"2+"3+"4+"5=20,

e+%+/+包+。5=("i+1)+("2+2)+…+(么+5)=4+Z?2+.••+&+1+2+...+5=20+15—35.

由于424+122(4=1,2,...,5),故le他也，…也},同理10€{%,%,...,外}.

若,设以=2,贝1]2=4=4+左Nl+左，故左=1,从而q=2.

进一步有4=1,而喙地+223+2=5(1=2,...,5),故3,4e{a也也,々}.

假设5e{%,%,%，/},设即=5,则3＜鬣=%-左'=5-〃，故〃=2,贝1]。2=5,b2=3.

由于与《。5-545,{%,外,伪也}={1,2,3,5},故々=4,%=9.此时{%,%，%为}={6,7,8,10},从而

。4=10,"=6,但此时生=8-7=1,矛盾；

所以5e也也也,&},故3,4,5e他也，如&}，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数

「296810]「2610981

阵”有，♦

1734514753,

若2e｛4也,…也｝,则1,2©｛4也从而4Kl.

若3e｛%生，…，%｝，则％=3或%=3.若%=3,贝岫=2,若他也,4｝,分别尝试3种可能,知符合条

310796381059

件的“好数阵”有

2845126714

若%=3,则d=1,2G｛Z?3,Z?4,/?5｝,若6£｛4%…,。5｝，则4=6,或仇=2且〃4=6,分别尝试所有可

937610

能，知符合条件的“好数阵”有

81425

若6e他也…,々｝,贝|2,6e他也也，&｝，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有

835109

71264

若3©｛4也,…也｝,则l,2,3e他也，…,々｝，假设4e他也,一一.,伉｝，由于伪+%+%+&+。=20,

10£{q,…,故20=4+J+4+%+々41+2+3+4+9=19,矛盾,所以4£{4,％,

104876107468

对1,2,3£俗也，…力5｝尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有

9253195123

410957954107

3861283162

296810261098310796381059

综上,全部的“好数阵”有］

7345147532845126714

937610835109104876107468410957

8142571264925319512338612

954107

83162

381059835109410957

其中,满足5£也,外,…,应｝的有

267147126438612

954107

83162

381059835109

综上,M是“好集合”,满足5£｛oM2，…,为｝的“好数阵”有

12671471264

410957954107

3861283162

若"=6,由于此时吗』

57不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而知6不是“好集合”.

【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.

20.⑴夕(A)={-4,-2,0,2}

(2)A={0,-2,3,4,可或者A={0,2,-3,-4,-6}.

⑶13

【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可;

（2）根据°（A）=｛0,-6,-8,-12,12,18,24｝可得。£人，然后分A中4个非零元素，符号为一负三正或者一正

三负进行讨论即可;

（3）分A中没有负数和A中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.

【详解】(1)。⑷={*2,0,2}；

(2)首先,OeA；

其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.

，己A={0,<7,4c,d},不妨设a<O<b<c<d或者a<%<c<O<d—

①当a<O<Z?<c<d时，{ab,ac,ad]={-6,-8,-12},[bc,bd,cd}={12,18,24},

相乘可矢口6cd=72,a'bcd--576,从而/=一8=。=一2,

从而抄,c,d}={3,4,6},所以A={0,-2,3,4,6}；

②当"6<c<0<d时，与上面类似的方法可以得到"3=8nd=2

进而物,c,力={-3,-4,-6},从而A={。,2,—3,-4,-6}

所以A={0,-2,3,4,6}或者A={0,2,-3,Y,-6}.

(3)估值+构造需要分类讨论A中非负元素个数.

先证明|夕(A)]>13.考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，

集合0(4)不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：

情况一：A中没有负数.

不妨设0<%<%<,••<”9，贝<。2〃3<〃2。4<,,,<^2^9<。3a9<…。8a9

上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是0(4)的元素，这表明W(A)t14.

情况二：A中至少有一个负数.

设可也，…也是A中的全部负元素，…，9是A中的全部非负元素.

不妨设4<bs_l<---<bi<0<cl<c2<---<ct

其中sj为正整数，s+t=9,s<4,t>5.

于是有0>刎>btc2>--->btct>b2ct>■■■>bsct

以上是O(A)中的S+f-l=8个非正数元素：另外，注意至IJ<C2c4<叩5<C3c5<C4c5

它们是9(A)中的5个正数.这表明|矶姆213.

综上可知，总有M(A)上13.一

另一方面，当4={0,±1,±2,±22,士23}时，夕⑷={0,-1,±2,±22,±23,±24,1,-26}中恰有13个元素.综上所

述，0(4)中元素个数的最小值为13.

21.(1)(i)B=^—3,—1,1,21；(ii)C={—2,—1,1,2,31

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)取3={-3,-1,1,2},C={—2,—1,1,2,3}验证得到答案.

(2)若g(M)=aW，，+2,a>4,oeN*,从大到小取。个元素，得到A中任意4个元素之和20,得到证

明.

(3)集合M的元素按和为T分组，和把集合M的元素按和为0分组，确定几L%中必有一个与X.没有

公共元素，设x.nz=0,X“UZ的4个元素满足条件，得到左=〃+3时成立，得到证明.

【详解】(1)取8={-3,-1,1,2},则_3+(—1)+1+2=-1,满足条件；

IRC={-2,-1,1,2,3},贝1]一1+1+2+3=5>-1；-2+1+2+3=4>-1；

-2+(-1)+2+3=2>-1；-2+(-1)+1+3=1>-1；-2+(-1)+1+2=0>-1；

满足条件.

(2)若g(M)=a<"+2,a>4,aeN*,从大到小取。个元素，

A={n,n-l,--；n-a+l\,a<n,A=[n,n-1,■■■,!,a},n<a<n+2,

则A中任意4个元素之和2—1-2+1+2=0,不成立，故g(M)>"+2.

(3)当人=〃+3时，把集合M的元素按和为-1分组，得：

M-{士1,±2,±3,•••,土〃}={—n,n—1}u{—ri+1,〃—2}u{—n+2,〃—3}D..{—2,1}u{—1,〃},

易得，A中至少有2个二元子集满足X0=伍,-a-1},Xb={b,-b-l}(-n<a<b<-2).

若把集合”的元素按和为0分组，得：

M={±1,±2,±3,…,±n}=(-n,n}\J{-n+2,n-2]-：U{-1,1).

易得，A中至少有3个二元子集满足口={c,-c}，L={4-1},匕={e,-e}.

而集合匕LX两两互不相交，X〃与LLX中每一个至多有一个公共元素，

所以，匕小匕中必有一个与X.没有公共元素，不妨设X.n%=0,

则4U匕的4个元素就是A的4个互异元素，而这4个元素的和为-1.

又g(M)>〃+2,所以g(M)=〃+3.

【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能

力，其中，将集合按照和为-1与和为0分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.

22.(1)具有，理由见解析

(2)不存在，证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据集合具有性质T(〃，P)的特征，即可根据集合A中的元素进行检验求解，

(2)假设集合A具有性质T(4,p),分别考虑p=l,2,3,4时，集合A中的元素，即可根据T(〃，P)的定义求解.

(3)根据假设存在了使得勺》。+1,考虑当时以及P+lWq<〃时，分量为1的个数即可讨论求解.

【详解】(1)因为(1』,0>(1,1,0)印xl+lxl+0x0=2,同理(1,0,1>(1,0,1)=(0,1,1>(0,14)=2.

Xah0).(l,0,l)=lxl+lx0+0xl=l,同理(1,1,0>(0,1,1)=(1,0,1>(0,=1.

所以集合4={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}具有性质7(3