2025届中考数学专项复习：几何选填压轴之一题多解与一题多变（ 原卷版）

2025届中考复习专题：

几何选填压轴之一题多解与题多变

一、宿迁中考真题：瓜豆最值问题的3类处理策略........................................2

【变式1】直线型瓜豆最值...................................................2

【变式2】圆弧型瓜豆最值问题...............................................3

【变式3】路径问题..........................................................3

【变式4】瓜豆+将军饮马.....................................................4

【变式5】瓜豆+胡不归.......................................................4

二、广州市2022中考真题：加权线段和最值问题・7种解法................................6

【变式1】阿氏圆问题（3类）................................................6

【变式2】加权费马点问题...................................................7

【变式3]胡不归问题（3类）..................................................8

【变式4】加权逆等线问题...................................................8

【变式5】瓜豆加权线段和问题...............................................9

【变式6】2024•四川泸州•中考真题...........................................10

【变式7】2024•四川凉山•中考真题...........................................10

三、成都・2024四川师大附中九年级B卷压轴：相似构造•一题10解......................10

【变式1】2024深圳坪山区中考一模..........................................11

【变式2】2023武汉中考几何压轴............................................11

【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴.............................12

【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴...................................12

四、深圳・2024中考真题填空压轴：结合相似求比值一题5解............................13

【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴......................................13

【变式2】线段比转化为相似比..............................................13

【变式3】求线段比.........................................................14

五、深圳市宝安中学九年级联考压轴：旋转六法构造手拉手共8种解法.....................15

【变式1】2022深圳中考填空压轴............................................15

【变式2]2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴........................15

【变式3】湖北襄阳•中考真题................................................16

【变式4】2020武汉市中考几何压轴..........................................16

六、深圳市二模压轴：1234模型，45°与线段比构造相似一题6解........................16

【变式1】12345模型.......................................................17

【变式2】线段比构造相似..................................................18

【变式3】利用特殊角度解三角形............................................18

一、宿迁中考真题：瓜豆最值问题的3类处理策略

如图，正方形48co的边长为4,£为2C上一点，且5E=1,尸为48边上的一个动点，连接斯,

以所为边向右侧作等边连接CG,则CG的最小值为.

【变式1】直线型瓜豆最值

【练1-1】如图，正方形4BCC的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为4B边上的一个动点,

连接EF,以E尸为底向右侧作等腰直角连接CG,则CG的最小值为.

【练1-1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点，连接DP,将直线DP绕点P顺

时针旋转，使Nl=/2,且过点D作DGLPG,连接CG.则CG最小值为

AD

【变式2】圆弧型瓜豆最值问题

【练2-1】如图，AB=4,。为N8的中点，。。的半径为1,点尸是。。上一动点，以尸8为直角

边的等腰直角三角形必C（点尸、8、C按逆时针方向排列），则线段4C的长的取值范围为

【练2-2】如图，在△4BC中，AB=8,AC=373，将C3绕点C逆时针旋转90。得到CD,连接

AD,则/。的最大值是.

【变式3】路径问题

【练3-1】如图，在矩形48co中，4B=2,AD=4,动点E从点/运动到点。，以CE为边在CE

的右侧构造正方形CEFG,连接NR则/尸的最小值为，点厂运动的路径长为.

F

【练3-2】如图，在正方形越CD中，/5=8,点E在边4。上，且=点尸为边45上的

FF

动点，连接PE,过点E作EF工PE,交射线3C于点R则==_____,若点M是线段E尸的中点,

PE

则当点尸从点A运动到点B时，点〃运动的路径长为.

【变式4】瓜豆+将军饮马

【练4-1】如图1,对于平面内的点/、P,如果将线段以绕点P逆时针旋转90。得到线段PB,就称

点8是点/关于点尸的“放垂点如图2,已知点4(4,0),点P是〉轴上一点，点2是点/关于点

P的“放垂点”，连接/B、OB,则02+/B的最小值是()

图1图2

A.4B.4A/5C.8D.875

【练4-2】如图，在矩形N8CO中，AB=4,BC=9,M为8c上一点，连接将线段绕点M

顺时针90。得到线段儿W,连接CMDN,则CN+ZW的最小值为.

【变式5】瓜豆+胡不归

【练5-1］如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2),点C的坐标是(0,-2).点8(x,0)是x轴上的

动点，点8在x轴上移动时，始终保持△48?是等边三角形(点P不在第二象限)，连接PC,求得

4?+!产。的最小值为()

2

A.4V3B.4C.2V3D.2

【练5-2】综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最值”为主题的探究活动.

图1图2

【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1,在矩形中，AB=6,BC=12,P为AD边上

的一动点，以尸C为边向右作等边APCE,连接3E,如何求BE的最小值?

【探究发现】小亮发现:如图4所示，以8C为边向下构造一个等边ABCM,便可得到△尸

进而将BE的最小值转化为尸河的最小值的问题.

(1)按照小明的想法，求证：APCM沿AECB；并求出8E的最小值.

【拓展应用】

（2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2,若将图1当中构造的等边三角形，改为以PC

为边向右构造正方形PCFG,在运动过程中，求出的最小值.

（3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3,若将图2当中构造的正方形

改为以尸C为边向右构造菱形尸C"/,使NC尸/=120。，请求得8/的最小值；再请你直接写出

BI+超BH的最小值_______.

（4）第二天徐老师对同学们说：我看到了大家在解决复杂问题时所展现出来的创造力和逻辑思维能

力，这正是我们学习数学的意义所在，并又提出了新的问题：求@8/-工夫/的最大值.

32

二、广州市2022中考真题：加权线段和最值问题・7种解法

如图，在菱形N2CD中，/BAD=120°,AB=6,连接2。.

（1）求AD的长；

⑵点E为线段上一动点（不与点2,。重合），点尸在边/D上，且BEfDF,当四边形48所

的面积取得最小值时，CE+百CF的值是否也最小？如果是，求CE+百CF的最小值；如果不是，

请说明理由.

【变式1】阿氏圆问题（3类）

【练1-1】如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点尸为圆上一

动点，连接NP,BP.

求①+尸；®2AP+BP；®^AP+BP-④4P+38P的最小值.

【练1-2】如图，在。。中，点/、点3在。。上，乙103=90。，。4=6,点C在。4上，且

0c=2/C,点。是05的中点，点M是劣弧42上的动点，则CW+2DM的最小值为

【变式2】加权费马点问题

【练2-1】在等边三角形力BC中，边长为4,P为三角形力BC内部一点，求4P+8P+、/2PC的最小值

【练2-2】如图，在AABC中，ZACB=60。,BC=3,NC=4,在AABC内部有一点P,连接

PA,PB,PC,则(1)工尸幺+立尸8+尸。的最小值为；(2)立尸么+工尸8+尸。的

2222

最小值为

A

【变式3］胡不归问题（3美）

【练3-1】如图，。。是等边三角形/3C的外接圆，其半径为4.过点2作巫_L/C于点£,点P

为线段BE上一动点（点尸不与瓦£重合），则+的最小值为.

【练3-2】如图，二次函数了="2+2办-3a与x轴交于点/,B,对称轴为直线/,顶点C到x轴的

距离为2vL点尸为直线/上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿C尸运动到

点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿产区运动到点/停止，则时间最短为秒.

【练3-3】如图，在长方形48。中，AB=2,AD=2也,点E在8。上，连接DE,在点E的运动

过程中，+的最小值为.

【变式4】加权逆等线问题

【练4-1】如图，在RtA45c中，ZBAC=9Q°,AB=\,AC=2.D,E分别是边NB,NC上的

动点，且CE=2M,则3E+2co的最小值为.

【练4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线片-$2+$+4与x轴交于两点/（-3,0）,现4,0）,与

y轴交于点。（0,4）.若点D,£分别是线段/C,43上的动点，且/E=2C。，求CE+23O的最小

值.

【变式5】瓜豆加权线段和问题

【练5-1】（原创题）已知点/（2,0）,点B是直线y=-2上一个动点，将线段Z5绕点B逆时针旋

转90°得到线段BC.

（1）求OC的最小值；

（2）求加C+OC的最小值；

（3）记。（0,2）,①求DC+O8的最小值；②求行03+0C的最小值

【练5-2】如图，在矩形ABCD中，48=2,AD=2百，点E为边40上一动点，以CE为边向右作

直角三角形CE尸，使NCE尸=90。，NCFE=30°,连接BE,BF,求厂的最小值.

2

【变式6】2024•四川泸州•中考真题

【练6-1】如图，在边长为6的正方形N8C。中，点E,尸分别是边上的动点，且满足

AE=BF,/月与交于点。，点河是刀下的中点，G是边上的点，AG=2GB,则。W+；/G

的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【变式7】2024•四川凉山•中考真题

【练7-1】如图，在菱形中，^ABC=60°,AB=2,E是BC边上一个动点,连接,AE

的垂直平分线"N交/£于点M,交BD于点、N.连接EN,CN.

AD

⑴求证：EN=CN；(2)求2EN+8N的最小值.

三、成都・2024四川师大附中九年级B卷压轴：相似构造•一题10解

如图，在菱形48。中，NB=120。，点£是8c上一点，连接4E,将NE绕点E顺时针旋转120。至

FE,连接4尸与CD交于点G,若当=，，则券=

CG4CE

【变式1】2024深圳坪山区中考一模

【练1-1】如图，E是菱形边2C上一点，N48C=120。，把/£绕点E顺时针旋转120。得到

FE、AF交CD于点G,BE=1,EC=2,则。G=.

【变式2】2023武汉中考几何压轴

【练2-1】问题提出：如图(1),E是菱形48co边8C上一点，△/所是等腰三角形，AE=EF,

4EF=ZABC=a(a>90。),/尸交CD于点、G,探究ZGCF与a的数量关系.

问题探究:

(1)先将问题特殊化，如图(2),当a=90。时，直接写出NGC斤的大小;

(2)再探究一般情形，如图(1),求NGC尸与a的数量关系.

问题拓展:

(3)将图(1)特殊化，如图(3),当a=120。时，若丝=:，求普的值.

CG2CE

【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴

【练3-1】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理

问题的重要手段.

（1）【问题情景］如图（1）,正方形/3CD中，点E是线段8C上一点（不与点8、C重合），连接

EA.将瓦4绕点E顺时针旋转90。得到跖，连接C尸，求NFCD的度数.

以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，

①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；

②小明：在42上截取使得=BE；

请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

图⑴

（2）【类比探究】：如图（2）点E是菱形4BCD边8C上一点（不与点3、C重合），ZABC=a,

将瓦4绕点E顺时针旋转a得到环，使得==a（a290°）,则NFCD的度数为

（用含。的代数式表示）

（3）【学以致用】：如图（3）,在（2）的条件下，连结N尸，与CD相交于点G,当。=120。时，若

DG1—BE,,..

—求的值.

CG2CA

【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴

【练4-1】如图，在菱形4BCD中，48=6,E是边BC上一点、,在/E的右侧作跖=4E,且

ZAEF=ZABC=\W,连接CF,连接4尸交C。于点G.若G为边CD的三等分点，则BE的长

为.

四、深圳•2024中考真题填空压轴：结合相似求比值・一题5解

如图，在△48C中，AB=BC,tanZB=^,D为BC上一点、,且满足署=|,过。作

CF

交/C延长线于点£,则工=.

【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴

【练1-1】如图，在“BC中，AB=BC,tanZB=^~,D为BC上一点,若满足过。

128

CE

作。£1交NC延长线于点E,则7?；=______.

【变式2】线段比转化为相似比

【练2-1】如图，在RA42C中，ZABC=90°,C（0,-3）,CD=3/。，点A在了="上，且V轴平分

X

角力CB,求左=

【练2-2】如图，在Rta4BC中，ZC=90°,AD是ZUBC的一条角平分线，E为AD中点，连接

BE.若BE=BC,CD=4,则2。=.

C

【练2-3】在锐角。BC中，AD,AE分别为A/2C的中线和角平分线，AD=BE,且则

AC

~BC^------

A

【变式3】求线段比

3

【练3-1】（深圳中考）如图，在A4BC中，AB=AC,tan8=：,点。为8C上一动点，连接4D,

4

S一

将^ABD沿AD翻折得到交/C于点G,G£<OG,且/G:CG=3:1,则三角形"侬=_______.

3三角形4DG

A

【练3-2】（深圳中考）如图，已知四边形4BCD,NC与2。相交于点。，ZABC=ZDAC=90°,

V

tanZACB=-,—=-,则口"BD

2OD3QKBD

五、深圳市宝安中学九年级联考压轴：旋转六法构造手拉手共8种解法

已知：如图，在四边形4BCD中，/B4D=90。，N2CD=45。，CD=2及，连接若乙4AD=60。,

AC=屈，则8c的长为.

【变式1】2022深圳中考填空压轴

【练1-1】已知△48。是直角三角形，/JB=90。,4B=3,3C=5,4E=2石,连接CE以CE为底作直角

三角形CDE且CD=DE,F是AE边上的一点，连接BD和BF,BD且ZFBD=45°,则AF长为.

A

F

【变式2】2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴

【练2-1】如图，四边形/BCD中，^ABC=AADC=60°,ABAD>90°,AC1BC,若

4B=2,AD=41，则AD的长为.

【变式3】湖北襄阳•中考真题

【练3-1】如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C,点。在上,

CF

/BAC=NDEC=30°,/C与。E交于点尸，连接若BD=1,AD=5,则-=.

【变式4】2020武汉市中考几何压轴

【练4-1】如图，。是△A8C内一点，ABAD=ACBD=30°,NBDC=90。,AB=4,AC=2^,

则AD的长为.

A

六、深圳市二模压轴：1234模型，45°与线段比构造相似•一题6解

如图，在等腰Rt^ABC中，ZB=90°,BA=BC,D为BC上一点，且&）=3,E为AD

上点，连接CE,ZCED=45°,CE=41AE，则C£的长.

【变式1】12345模型

【练1-1】在应AABC中，ZC=90°,平分/C4B,BE平济/4BC,40、3E相交于点尸，且

AF=4,EF=也,贝lJ/C=.

【练1-2】（广东省中考）如图，已知正方形A