2025届高考数学强化练习：椭圆及其性质

2025届高考数学第一轮专项复习—椭圆及其性质

目录

01考情透视•目标导航....................................................................2

02知识导图•思维引航....................................................................3

03考点突破•题型探究....................................................................4

知识点1：椭圆的定义...................................................................4

知识点2：椭圆的方程、图形与性质.......................................................4

解题方法总结...........................................................................6

题型一：椭圆的定义与标准方程...........................................................6

题型二：椭圆方程的充要条件.............................................................7

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题.........................................8

题型四：椭圆上两点距离的最值问题.......................................................9

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题....................................................10

题型六：离心率的值及取值范围..........................................................11

方向1：利用椭圆定义去转换.............................................................11

方向2：利用。与c建立一次二次方程不等式...............................................12

方向3：利用最大顶角。满足singWeVl..................................................................................................12

方向4：坐标法.........................................................................13

方向5：找几何关系，利用余弦定理......................................................13

方向6：找几何关系，利用正弦定理......................................................14

方向7：利用基本不等式.................................................................14

方向8：利用焦半径的取值范围为[a—c,a+c]........................................................................................15

方向9：利用椭圆第三定义...............................................................15

题型七：椭圆的简单几何性质问题........................................................16

题型八：利用第一定义求解轨迹..........................................................18

题型九：椭圆的实际应用................................................................19

04真题试卷练习•命题洞见...............................................................22

05课本典例•高考素材...................................................................23

06易错分析•答题模板...................................................................24

易错点：椭圆焦点位置考虑不周全........................................................24

答题模板：求椭圆的标准方程............................................................25

1/25

考点要求考题统计考情分析

2024年H卷第5题，5分

椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主

2023年甲卷（理）第20题，12分

（1）椭圆的定义及其标要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法

2023年I卷H卷第5题，5分

准方程以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心

2023年北京卷第19题,15分

（2）椭圆的几何性质率的求解，更是高考的热点问题，因方法

2023年甲卷（理）第12题，5分

多，试题灵活，在各种题型中均有体现.

2022年甲卷（理）第10题，5分

复习目标：

（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.

（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

（3）掌握椭圆的简单应用.

2/25

匐2

椭圆及其性质

3/25

老占室硒・廊相再宙\

知识点1:椭圆的定义

平面内与两个定点耳，月的距离之和等于常数2a(2a>|^|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫

做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表示为：

{P\\PFl\+\PF21=2a(2a>|g|=2c>0)}

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

【诊断自测】已知点/(TO),5(1,0),动点尸(x,y)满足|尸/|+|尸B|=l,则动点尸的轨迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.不存在

知识点2：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示.

焦点的位

焦点在X轴上焦点在〉轴上

置

图形4VOAA

W

fV2

标准方程%+/l(a>b>0)

统一方程mx2+ny2=l(m>0,n>0,加w〃)

\x=acos6、，..」、[x=acos0、，/、

参数方程,6为参M数z(。£[0,2刈)，。为参数(。£[0,2口)

[y=bsin0[y=bsin6

第一定义到两定点的距离之和等于常数2。，即|町|+1%|=2a(2a>|耳玛|)

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

A1(-a,0)、A2(a,0)A/0,-a)、A2(0,6!)

顶点

B](O,-6)、B2(O,6)B"—"0)、B2(6,0)

轴长长轴长=2Q,短轴长=26长轴长=2Q,短轴长=2b

4/25

对称性关于X轴、了轴对称，关于原点中心对称

焦点耳（-G。）、鸟（c,0）片(O,-c)、月(O,c)

焦距闺阊=2c(c2=i2-b2)

J22

_C_la-b

离心率eaYa2N(0<e<l)

a2\

准线方程

c

>1［外>11外

点和椭圆2222

-X-。-J--o-=10点(%,%)在椭圆上-%--J---。=10点（小,%）在椭圆,上

的关系a2b2a1b2

<1［内<1［内

%-=1（（%,%）为切点）驾+=1（（/Jo）为切点）

了"b2ab

切线方程

对于过椭圆上一点（x0,%）的切线方程，只需将椭圆方程中V换为/换为

为了可得

切点弦所

在的直线警+券=1（点际%）在椭圆外）誓+邛=1（点（％,%）在椭圆外）

abab

方程

①cos8=（5为短轴的端点）

1•八726

②S"g二2外弓sm〃=btan—=<

J

J

焦点三角O

形面积

、［当尸点2

在长轴端点时，（rr2)min=b

2

当尸点在短轴端点时，。r2)max=tz

考点三角）衫中一般要用到的关系是

WJ+IMF2\=2a（2a>2c）

，尸产工|sin//

<SAP广百=年2)

2

PFJ+\PF2\-2|PFX\\尸月|ccs/月尸片

上焦半径：MF^=a-ey0

左焦半径：\MFt\=a-i-气

焦半径

下焦半径：MFt\=a+ey0

又焦半径：\MFt\=a-9。

5/25

焦半径最大值a+c,最小值a-c

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长工（最短的过焦点的弦）

通径=2

a

设直线与椭圆的两个交点为力（国,必），B（x2,y2）,kAB=k,

则弦长4同=J1+左?W_即=J1+左之_%）2-4x^2

弦长公式

=_%）2=']+左2^^

（其中Q是消V后关于X的一元二次方程的X2的系数，A是判别式）

【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是片（-3,0）,7^（3,0）,椭圆上的点P到两焦点的距离之和等

于8,则该椭圆的标准方程为（）

A-22

B.乙+2=1C—TD

6428167169-

解题方法总结

（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为生.

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.

（2）椭圆的切线

22

①椭圆J+与=1（a>6>0）上一点尸（七,%）处的切线方程是誓+岑=1；

abab

22

②过椭圆「+5=1（a>6>0）外一点尸（x0,%）,所引两条切线的切点弦方程是岑+浮=1；

abab

22

③椭圆三+多=1（。>6>0）与直线及+sy+c=o相切的条件是/2/+炉/=,2.

ab

题型一：椭圆的定义与标准方程

【典例1-1】（2024•全国•预测）过四点（0,1）,D,/1-fj中的三点的一个椭圆标准方

程可以是—，这样的椭圆方程有一个.

【典例1-2】已知与，£是椭圆C的两个焦点，尸是C上的一点，若PFJPF2,且|尸闻尸口=2:5,

则C的长轴长与焦距的比值为（）

V29「7729

729

6/25

【方法技巧】

（1）定义法：根据椭圆定义，确定。2万的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在X轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列

出°,仇c的方程组，解出力,/,从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为加+犷=1（/>0,8>0,/*8）.

2222

②与椭圆—+—=1共焦点的椭圆可设为X+^--=1（左>-m,k>-n,mw〃）.

mnm+kn+k

2222

③与椭圆5+2=l（a>b>0）有相同离心率的椭圆，可设为斗+斗=左（/>0,焦点在x轴上）或

abab

fv2

）+4=左2（耳>Q,焦点在y轴上）.

ab

【变式1-1】方程J（x-3）2+j?+J（X+3）2+7=10表示的曲线是,其标准方程是.

【变式1-2］已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过/（-6,-2）和3（-2百,1）两点，则椭圆。的标准方

程为—.

【变式1-3］已知椭圆C?+方=1（°>6>0）的左、右焦点为片（-1,0）,8（1,0）,且过点尸［1,则椭圆

标准方程为.

22

【变式1-4］（2024•高三•广东揭阳•期末）已知椭圆E：三+看=1（°>6>0）,尸是£的左焦点，过

ab

E的上顶点工作/E的垂线交E于点A若直线的斜率为一百，A/B尸的面积为噂，则£的标准方

程为—.

【变式1-5］过点（右,-G）,且与椭圆］+：=1有相同的焦点的椭圆标准方程是—.

【变式1-6］（2024•山西太原•三模）已知点可，匕分别是椭圆C的左、右焦点，尸（4,3）是C上一点，

△购片的内切圆的圆心为/（见1）,则椭圆C的标准方程是（）

27222222

A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.——+—=1

2427282152136412

题型二：椭圆方程的充要条件

【典例2-1】（2024•山西吕梁•二模）若函数了=log〃（尤-2）+1伍>0,且"1）的图象所过定点恰好在椭

22

圆土+匕=1（加>0,〃>0）上，则机+〃的最小值为（）

mn

A.6B.12C.16D.18

22

【典例2-2】方程^+二」=1表示椭圆的充要条件是（）

4+m2-m

A.-4<w<-1B.m>-\

7/25

C.-4<m<2D.-4<切<一1或一1（沈<2

【方法技巧】

22

土+匕=1表示小t圆的充要条件为：m>O,n>O,mw几；

mn

二+2=1表示双曲线方程的充要条件为：加〃<0；

mn

22

土+匕=1表示圆方程的充要条件为.加=〃>0

mn

【变式2-1］（2024•全国•预测）命题“实数pe（l,3）”是命题“曲线（3-0/+5-1）/=（3-05-1）表

示椭圆”的一个（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-2］（2024•高三•辽宁大连•期末）已知曲线“。：（四”2024）/+（108〃2024）/=1表示焦点在？轴

上的椭圆”的一个充分非必要条件是（）

A.0<a<bB.\<a<b

3

C.—<a<bD.\<b<a

2

【变式2-3】对于方程/+小出夕=1|«€一封］表示的曲线c,下列说法正确的是（）

A.曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线B.若a为负角，则曲线C为双曲线

C.若c为正角，则曲线C为椭圆D.若C为椭圆，则其焦点在x轴上

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

【典例3-1】已知双曲线Cj/一%=］仅>0）与椭圆。2：亍+/=1（。>⑹有公共的焦点与，F2,

且G与G在第一象限的交点为〃，若△町工的面积为1,则4的值为一.

22

【典例3-2】（2024•广东惠州•预测）已知椭圆的方程为二+乙=1,过椭圆中心的直线交椭圆于/、B

94

两点，月是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（）

A.8B.6+273C.10D.8+2行

【方法技巧】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题

常用定义，即|P£|+|%|=2a.

22

【变式3-1］（2024•高三•广东深圳•期中）已知耳匕分别为椭圆上+2=1的左、右焦点，P为椭圆上

1810

一点且|尸片|二2|尸闾，贝IJ△坨月的面积为.

8/25

22

【变式3-2】该椭圆C：土+匕=1的左右焦点为公名，点尸是。上一点，满足/々P尸,=90。，则

369

△G时的面积为.

【变式3-3］（2024•云南昆明•昆明市第三中学校考预测）已知椭圆。:［+，=1（0<6<3）的左、右焦

点分别为用月,P为椭圆上一点，且NEP工=60。，若耳关于4尸月平分线的对称点在椭圆。上，则

△片耳；的面积为（）

A.673B.3gC.273D.V3

【变式3-4］（2024•河北唐山・统考三模）已知椭圆c：］+「=l的两个焦点分别为耳此，点M为。上

异于长轴端点的任意一点，/耳/叫的角平分线交线段片与于点N,则因=（）

1B.叵

A.-Lr.-4-1-

552

22

【变式3-5］（2024•高三•河北秦皇岛•开学考试）已知椭圆。:二+匕=1的上顶点为A,左焦点为片,

43

线段的中垂线与C交于两点，贝曙/MN的周长为

【变式3-6】设耳月分别是离心率为日的椭圆的左、右焦点,过点耳的直线

交椭圆C于48两点，且机团=3国用,则cos/4/^S=()

AB.2D

-150I-I

题型四：椭圆上两点距离的最值问题

【典例】（•陕西安康•预测）已知为椭圆。:=+

4-12024Pg=l（Q〉b>0）上一点，若C的右焦点尸的

a

坐标为（3,0）,点M满足|可可=1,PM.FM^O,若|巨叫|的最小值为20,则椭圆。的方程为（）

A."=122

B.-土------+1-->-------11

49403627

——22

cD.土+匕=1

1672516

【典例5已知s是椭圆9十八1的上顶点,点/是椭圆上的任意一点，则|九圆的最大值为（）

3后

A.2B.272C.D-1

【方法技巧】

利用几何意义进行转化.

9/25

【变式4-1】如果点尸是椭圆］+［=1上一个动点，片是椭圆的左焦点，那么|尸耳|的最大值是_,

最小值是—.

【变式4-21已知动点尸（x,y）在椭圆：+，=1上，过点尸作圆（x+3y+/=；的切线，切点为〃，

则|尸M的最小值是—.

【变式4-3］（2024•山东潍坊•二模）如图，菱形架/BCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆

用钱链首尾连接而成.已知4C可在带滑槽的直杆/上滑动；另一根带滑槽的直杆。〃长度为4,且

一端记为另一端用钱链连接在。处，上述两根带滑槽直杆的交点尸处有一栓子（可在带滑槽的

直杆上滑动）.若将3固定在桌面上，且两点之间距离为2,转动杆如，则点P到点3距离的最

大值为_____.

【变式4-41点P在圆Y+（y-2）2=；上移动，点。在椭圆，+4y=4上移动，则线段|尸口的最大值

为一

【变式4-5】已知点出0,4）,尸是椭圆£：片+工=1上的动点，贝小尸”的最大值是—.

22

【变式4-6】:（x+5）+/=1,C2:（x-5）+/=225，动圆C满足与G外切且。2与内切，

若M为q上的动点，且西•可？=0，则|两|的最大值为（）

A.2亚B.3>/7D-2A/42

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题

【典例5-21已知椭圆£=1的右焦点为尸，点£（0,2）,点尸是C上的动点，则附|+阀的

最小值为（）

B.10-275D.10+2百

【方法技巧】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中,

如果发现动点尸在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.

【变式5-1】设椭圆。：片+匕=1的右焦点为尸，动点尸在椭圆C上，点A是直线4x-5y-12=0上的

43

动点，则IFT和的最小值为（）

A16741„16741「16V4?.口，16741

41414141

【变式5-2】已知椭圆方程[+]=1,尸是其左焦点，点/。,1）是椭圆内一点，点尸是椭圆上任意一

点，割尸a+归口的最大值为4M最小值为二，那么。max+4in=（）

A.4百B.4C.8D.873

【变式5-3]设M是椭圆，+：=1上一点，p,。分别是两圆（》+3丫+/=1和（X-3）2+V=I上的点,

则叼+|阿的最小值、最大值分别为（）

A.8,11B.8,12C.6,10D.6,11

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用椭圆定义去转换

22

【典例6-1】（2024•高三•江苏南京•开学考试）已知尸是椭圆C：W+3=15>6>0）上一点，片，6是

C的两个焦点，西•银=0,点。在4尸月的平分线上，。为原点，OQ//PF,,且1001=26.则C

的离心率为（）

A.—B.-C.—D.-

6633

22

【典例6-2】椭圆G：二+彳=1（。>6>0）与双曲线G有公共的焦点与、月，G与q在第一象限内交

ab

35

于点”，△9g是以线段九名为底边的等腰三角形，若椭圆G的离心率的范围是7，-，则双曲

线。2的离心率取值范围是（）

「3」「3J「48]「31

A.-,5B.-,5C.D.2，+C0J

丫21,2L

【变式6-1】椭圆C：一+七=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳、与，直线/:3bx+y+加=0过片

ab

且与椭圆交于/、8两点（/在8左侧），若（即+五瓦）•亚=0,则C的离心率为（）

2323

A.-B.-C.-D.一

5577

22

【变式6-2】已知。为坐标原点，尸为椭圆C：1r+方=1（。>6>0）的右焦点，若C上存在一点尸，

使得△尸OP为等边三角形，则椭圆C的离心率为—.

11/25

方向2：利用。与c建立一次二次方程不等式

22

【典例7-11（2024・高三・河北承德•开学考试）已知椭圆T：j=1（。>6>0）的左、右焦点分别为

ab

G，E，T上一点A满足瑞|=26,若N/"则T的离心率为（）

A.1B.-C.—D.—

3233

【典例7-2】（2024•陕西铜川・预测）已知&月是椭圆E:[+J=l（a>6>0）的左、右焦点，若E上

存在不同的两点48,使得冗2=6率,则£的离心率的取值范围为（）

A.（0,V2-l）B.（0,V2-l]C.（3-2A/2,1）D.[3-272,1）

22

【变式7-1】已知直线/过椭圆C：3+a=l（a>6>0）的一个焦点与。交于MN两点，若当/垂直于x

轴时Ww|=£,则C的离心率为（）

22

【变式7-2】已知片，月分别是椭圆£0+方=1（°>6>0）的左、右焦点，。是坐标原点，尸是椭圆

£上一点，2片与>轴交于点M.若|0尸|=|0曰，|阿|=9,则椭圆E的离心率为（）

0

5T5B.g或巫351

A.g或&C.

34

方向3：利用最大顶角。满足sing<e<l

【典例8-1】（2024•四川成者B・高三树德中学校考开学考试）已知耳、匕是椭圆的两个焦点，满足

砥・研=0的点/总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.0,--B.[0,-C.（0,1）D.-^-,1

IJ'」LJ

22_________.

【典例8-2】设耳、鸟是椭圆会+方=1（。>6>0）的左、右焦点，若椭圆外存在点尸使得丽•用=0,

则椭圆的离心率的取值范围.

【变式8-1】已知耳，匕分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点尸使得/片Pg=2。

JT

（0<0<j,e是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是.

【变式8-2]（2024•广东・广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆鼻+2=1（°>6>0）的左、右焦点

ab

12/25

2

分别为耳，F2,若椭圆上存在一点尸使得/片”=；兀，则该椭圆离心率的取值范围是

方向4：坐标法

7Q

【典例9-1】焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是-b2,-b2,则椭圆离心率的范围是

()

V34V69

〒，丁

22

【典例9-2】（2024•陕西安康•预测）已知椭圆C:=+与=1（°>6>0）的左、右焦点分别为耳，匕，以巴

ab

为圆心的圆交>轴正半轴于点。，交x轴于4N两点，线段。片与C交于点若△耳"N的面积为

氐2（c为椭圆的半焦距），则C的离心率为（）

A.V2-1B.2-V2C.V3-1D.2-73

22

【变式9-1］（2024•乌鲁木齐三模）设跖N,尸是椭圆,芯=1伍>6>0）上的三个点，O为坐标

原点，且四边形为正方形，则椭圆的离心率为—；

22

【变式9-2］（2024•山东泰安•预测）已知椭圆C：下方=1伍>6>0）的左，右焦点分别为月㈠⑼，

___2

B（c,0）,点/,N在C上，且满足月M〃gN且乎/=2£N,若带而+\_=店外「，则。的离心

率为.

方向5：找几何关系，利用余弦定理

22

【典例10-1］（2024•湖南•三模）已知仁心是椭圆C$+4=l（a>6>0）的左、右焦点，。是坐标原

点，过耳作直线与C交于48两点，若M名|=|/切，且△。盟的面积为也从，则椭圆C的离心率

6

为（）

口C

AV3R百「百

A.♦JJ•I_/♦\_）・

12632

22

【典例10-21（2024•河南洛阳•预测）已知尸为椭圆C:①4=l（a>6>0）上一点,耳、耳分别为其左、

ab

右焦点，。为坐标原点，|尸且卢耳卜|尸四=32,则C的离心率为《）

A.—B.|C.—D.-

4422

22

【变式10-1】（2024•江苏泰州•预测）已知与，鸟分别是椭圆C：a+}=1（。>6>0）的左、右焦点，

13/25

过月的直线与C交于点A,与y轴交于点B,9祈=0,瓯=4可，则C的离心率为（）

A.巫B.®C.2D.3

52055

方向6：找几何关系，利用正弦定理

22

【典例11-1】已知耳，B分别为椭圆E5+方=1（。>6>0）的两个焦点，P是椭圆£上的点，

PFJPE，且sinB"《=3sinD刊笆，则椭圆E的离心率为（）

AV10V10「石小V5

A,-----DR,-----C.D.

2424

22

【典例11-2】已知椭圆与+a=l（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,且RF2|=2C,若椭圆上存

在点M使得△孙与中，些也退=任幺超透则该椭圆离心率的取值范围为（

ac)

A.(0,V2-1)B.c.D.(72-1,1)

22

【变式11-1】过椭圆§+方=1（。>6>0）的左、右焦点耳，耳作倾斜角分别为2和（的两条直线4,

4.若两条直线的交点尸恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（）

A.—B.V3-1

2

CV3—1D#-1

•2•2

【变式11-2]（2024•江苏连云港•预测）已知椭圆的左、右焦点分别为耳，耳，其右顶点为4若椭

圆上一点尸，使得/尸片B=15。，/PF2A=75。,则椭圆的离心率为（）

A.-B.—C.—D.—

2233

方向7：利用基本不等式

22

【典例12-1】（2024•安徽马鞍山•预测）已知耳耳是椭圆C:1y+%=l（a>b>0）的两个焦点，点M在

C上,且|阿卜|”剧49,16],则椭圆C的离心率是（）

A.|B.—C.—D.-

4444

22

【典例12-2】设椭圆C:=+}=l（a>6>0）的右焦点为尸，椭圆。上的两点A,3关于原点对你，且

ab

满足⑸.丽=0，阀4附工西阳，则椭圆。的离心率的取值范围为（）

14/25

A.[制B.悍Bl]C.p-1,1）D.惇？

22

【变式12-1】设耳、耳分别是椭圆E：会+方=1（。>6>0）的左、右焦点，M是椭圆E准线上一点,

ZFJ明的最大值为60。，则椭圆E的离心率为（）

AV12R6rV2「而

2222

22

【变式12-2】（2024・山西运城•高三期末（理））已知点A为椭圆>为=1（°>6>0）的左顶点，。为

坐标原点，过椭圆的右焦点尸作垂直于x轴的直线/,若直线/上存在点尸满足//尸。=30。，则椭圆

离心率的最大值.

方向8：利用焦半径的取值范围为[a-c,a+c]

22

【典例13-1】在平面直角坐标系xS中，椭圆〉方=1（°>6>0）上存在点尸，使得阿|=3飓|,

其中耳、耳分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是.

22

【典例13-2】（2024•广西南宁•二模（理））已知椭圆会+=/。%〉。）的左、右焦点分别为不尸"

若椭圆上存在一点产使|3|=e|尸用，则该椭圆的离心率e的取值范围是.

22

【变式13-1】已知尸为椭圆[+当=1（°>6>0）上一点，耳