2024年高考数学一轮复习讲义：等式与不等式的性质（解析版）

专题03等式与不等式的性质

【命题方向目录】

命题方向一：不等式性质的应用

命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

命题方向四：不等式的综合问题

命题方向五：糖水不等式

[2024年高考预测】

2024年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法,

基本不等式多在解析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题.

【知识点总结】

1、两个实数比较大小的方法

a-b>0<^a>b,

作差法<a—6=0=。三"（a,beR））

a-b<0<^a<b.

2、等式的性质

性质1对称性：如果a=6,那么Z?=a；

性质2传递性：如果a==c,那a=c；

性质3可加（咸）性：如果a=Z?,那么a±c=）土c；

性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc-,

性质5可除性：如果a=b,c/0,那0=2.

CC

3、不等式的性质

性质1对称性：a>b=b<a：

性质2传递性：a>b,b>c=>a>c；

性质3可力口性：a>b<^a+c>b+c；

性质4可乘性：a>b,c>0=ac>bc；a>b,cac<bc

性质5同向可加性：a>b,c>dna+c>b+d；

性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>dac>bd；

性质7同正可乘方性：a>b>O=>an>b'\n^N,n..2）.

【方法技巧与总结】

1、右cih〉0,且a>b—<一

ab

c什,八b-b+mb+m

2、^a>b>0M,m>0n---------------------；

aa

,,八八bb+m

右Z7?>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例题】

命题方向一：不等式性质的应用

【通性通解总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2、充分利用基本初等函数性质进行判断.

3、小题可以用特殊值法做快速判断.

例1.（2023・北京・人大附中校考模拟预测）若实数〃、b满足">从>0,则下列不等式中

成立的是（）

A.a>bB.T>2*

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

【答案】D

【解析】由题意，a2>b2>0,所以log2a2>log?〃，故D正确；

当。=一2,匕=-1时，〃>/>0,但a<6,2"<2"，。<同，故A,B,C错误.

故选：D.

例2.（2023•山东枣庄•统考模拟预测）若。，b,ceR,且。>>，则下列不等式一定成立

的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz—Z?）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【解析】若。=2,b=l,c=-2,满足但a+c=0,b-c=3,。+。>/?一。不成

立，A选项错误；

a>b,c2>0,则有4/2^2,即（，一勾H之。，B选项正确；

a>b,当cWO时，不成立，C选项错误；

当＜?=0时,------=0,则D选项错误.

a-b

故选：B

例3.(2023・江西•统考模拟预测)已知log5a>bg5"则下列不等式一定成立的是()

A.4a<4bB.log5(a-Z?)>0

C.D.aobc

【答案】C

【解析】由logsOAlogsb可知a>b>Q,所以夜>扬，所以A错误；

因为"b>0,但无法判定a-6与1的大小，所以B错误；

当cWO时，ac<bc,故D错误；

因为。一6>0,所以5f>5°=1,故C正确.

故选：C.

变式1.(2023・全国•高三专题练习)两两不同的不，々，工，%，%，为满足：

占+%=%+%=毛+%且满足芯<%，%<%，毛<%,占%+毛为=2%%>°.则下列一定

成立的是()

X

A.xl+x3>2X2B.jq+x3<2X2C.%龙3>；D.xtx3<x；

【答案】A

【解析】方法1：设条件①:网+%=々+%=%,+%，

②：不<%,马<%,W<%,

③%％+x3y3=2x2y2>0,

由题设石+X=%+%=毛+%=%，

f^x)=x[k-x)=-x2+kx,

则再%=%("占)=/(%),

同理4%=/(/)，3％=/($)，

条件③转化为了叫/⑷=/(%),

考虑到函数/'(X)为开口向下的二次函数，如图所示：

它在定义域内整体为上凸函数,

因此〃xJ；〃X3)=〃xJ.

由条件①可得，%1<A±A=|(/=1,2,3),

且函数/(x)在卜8,g］上单调递增,

因此/(%2)<%2<%；W，

即2X2<再+/恒成立，

故选：A.

方法2：由题设％1+>1=兄2+%=芯3+%=9,并令石=1,%=2,冗3=4,

则％=8,%=7,%=5,满足条件,

则选项A,B,玉+%>2/Ol+4>2x2,故A正确，B不正确；

此时玉七>无；01x4=2?,故C,D均不正确，

故选：A.

变式2.(2023・湖北武汉・统考模拟预测)下列不等式正确的是()

A.若QC220c2,则。之。

B.若£>，，则

ab

C.若〃+b>0,c-b>Q,贝！J"C

...1a+ma

D.右〃>0,Z?>0,m>0,且a<b,则----->—

b+mb

【答案】D

【解析】对于A,当c=0,a=-l,b=2时满足a/2人廿，但所以A错误;

对于B,当c=—1,a=—2,b=—3时，满足一>7,但a>b,所以B错误;

ab

3

对于C,由不等式的基本性质易知a+。>0,当〃=-1,b=3,c=2时满足a+Z?>0,

。一/?〉0,但。<。，所以C错误;

^a+m)b-a(b+m)(b-a)m

,—a+ma所以/7+产m>aF，故D正确.

对于D‘初一马>0,

(b+m)b[b+m)bb+mb

故选：D.

变式3.(2023•北京朝阳•统考一模)若〃>0>人则()

A.o'>b3B.\^\>\b\c-D.ln(tz-Z?)>0

【答案】A

【解析】・.,a>0>人，/.a3>0,b3<0,即偏〉//,故A正确;

取。=1]=-2,则时>网不成立，故B错误;

取4=1/=-2,则不成立，故C错误；

ab

取4=；,6=-1,则ln（a—Z?）=lnl=0,故D错误.

故选：A

命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

【通性通解总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利

用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与。的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是累或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

bbb

若贝！J—>1。人>4；—<\<=>b<a；—=lo/7=i；

aaa

bbb

若av0,Z?v0,则一一—=1<^>b=a.

aaa

例4.（2023•全国•高三专题练习）若0<。<"。+8=1,则将〃也；,2曲〃2+/?2从小到大排列

为.

【答案】a<2ab<-^<a2+b2<b

1?

【解析】•・・0vav》M+b=l,不妨令

则有4=§5,

.,.有Z?>+62>A>2ab>a,

22

艮Q<lab<^<a+b<b.

故答案为：a<2ab<^<a2+b2<b.

例5.（2023・全国•高三专题练习）设/=。+乃，s=a+b2+1,则s与f的大小关系是

【答案】s>t

【解析】,：s—t=a+b2+1-（。+2b）="-26+1=（b-l）22。，

:.s>t.

故答案为：s>t.

例6.（2023•全国•高三专题练习）已知M=3x,N=-3尤2+尤-3,则以，N的大小关系

是.

【答案】M>N

【解析】因为M=/—3x,N=—3f+x—3

所以M—N=（尤2_3x）_（_3尤2+x_3）=4f_4尤+3=4[尤+2>0

所以M>N.

故答案为：M>N.

变式4.（2023•全国高三专题练习）若“=殍，b=?，则。b（填">■“<”）.

【答案】<

【解析】易知a,b都是正数，-=—=^4=—=log89>l,所以。>a

故答案为：v

ba

变式5.（2023・高三课时练习）（1）已知a>6>0,c<d<0,求证：——<——；

a-co-d

（2）设龙，yeR,比较（尤2_y2）2与孙（尤-y）2的大小.

【解析】（1）由cVdVO,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,从而得

八11

0<----<-----.

a-cb—d

hn

又a>b>0,所以——<-~

ci—cb—d

（2）因为-/J_近%一,）2=%4+,4_13,一盯3=%3（%一,）+,3（/一%）

332222

=（x-y^x-y）=（x-y）（x+xy+y）=（x-y）"5]+|/2当且仅当x=y时等

号成立，

所以当了=>时，（X2_y2）2=孙（X_,）2；

当尤wy时，(12—y2)2>盯(1_,)2.

变式6.(2023•全国•高三专题练习)(1)试比较(尤+1)(兄+5)与(％+3『的大小;

(2)已知a>b,—<T»求证：ab>0.

ab

【解析】⑴由题意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

—炉+6x+5—%2-6x-9——4<0,

所以(x+l)(x+5)<(%+3)2.

(2)证明：因为上<1，所以工一：<0,即号<0,

ababab

而a>b,所以b-Q<0,则〃匕>0.得证.

命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【通性通解总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每

个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

例7.(2023・全国•高三专题练习)已知YVa—cV—1,-1<4(7-C<5,9a-c的取值范围

是_______________

【答案】[T,20]

【解析】设9o-c=租(a-c)+a(4a-c),gp9a-c=(m+4n)a-(m+n)c,

5

m=-

\m+4n=93

解得

+n=lo

9a-c=-§(q-c)+§(4。-c)

55/、20…

-4<a—c<—l,.—c)<—Q,

88,“、40^

V-l<4a-c<5,A--<-(4a-c)<—(2),

①+②，得—l〈9“-cW20,即9a-c的取值范围[一1,20].

故答案为：[-1,20].

例8.(2023・四川成都・高三成都七中校考阶段练习)若实数x、y满足-IVx+yWl,

l<x+2y<3,则x+3y的取值范围是.

【答案】[1,7]

[m+n=l[m=—V.

【解析】设尤+3y="(x+y)+〃(x+2y),则解得所以

\m+2n=3〃=2

[-li!k+y1麴J-(尤+y)1

x+3y=—(x+y)+2(无+2y),由<遨L.〈所以啜J-(x+y)+2(x+2y)7,

[掇!k+2y3[2取必(x+2y)6

即啜女+3y7.

故x+3y的取值范围是[1,7].

故答案为：[1,7].

例9.(2023・上海•高三专题练习)x-y<0,x+y-l>0,贝！jz=x+2y的最小值是

3

【答案】1/1.5

jYi-1-72-1

【解析】设x+2y=〃z(x+y)+“(x-y)=(m+n)x+(m-〃)y,贝必解得

\m—n=Z

一3

m=­

<2

1,

n=——

[2

313

所以，z=x+2y=—(.r+y)-——,

3

因此，z=x+2y的最小值是万.

3

故答案为：—■

变式7.(2023•全国•高三专题练习)已知实数x、了满足-2<x+2y<3,-2<2x-y<0,

则3x-4y的取值范围为.

【答案】[-7,2]

fm+2n=3{m-—1

【解析】设3x-4y=皿尤+2y)+〃(2x-y),贝IJ“，解得

\2m—n=—4[n—2

所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),

因为—2Wx+2y<3,—2<2x—y<0,

所以一34—(x+2y)42,-4<2(2%-y)<0,

所以-743尤-4y<2,

故答案为：[-7,2].

变式8.(2023•全国•高三专题练习)已知有理数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,

那么£的取值范围是.

a

【答案】-

a2

【解析】由于且a+b+c=0,

以a>0,c<0,b——ci—c,—a—c<a,2a>—c,—>一2,

a

_c1

—a—c>c,—ci>2G—<—,

a2

c1

所以一2v一<一不

a2

故答案为：-2<£<-：

a2

变式9.（2023・全国•高三专题练习）已知0<e<g,贝的取值范围是

【•答案心】匕兀，制5兀1

7T

【解析】因为0<&<彳，所以0<2戊<兀,

因为1<尸<兀，所以

2336

所以-g<2a-4咚,

336

,,,।71571।

故答案为：

变式10.（2023・全国•高三专题练习）已知-2<。<3,2<b<3,则/的取值范围为

b

3

【答案】（-1,3

【解析】因为2<6<3,所以:<：<2，因为—2<“<3,

3b2

当一2vav0时，0v—av2,所以0<----<1,所以一1<—<0;

bb

当〃=0时，，=0;

b

a3

当0vav3时，0<一<一；

b2

综上可得一1v?<I,即:

b2b\2）

故答案为：

变式1L（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=〃%2一人满足

-4</(I)<-l,-l</(2)<5,贝l]/(3)的取值范围是.

【答案】[T,20]

【解析】由题意得

f(2)=4a-b,

Cl一,

解得43

所以〃3)=9a_6=_3〃l)+§〃2),

因为

所以

因为一”/（2）<5,

所以-|«|〃2）理.

两式相力口得一LW/（3）W20,

故/⑶的取值范围是[T20].

,X

变式12.（2023•全国•高三专题练习）设x,y为实数，满足3V孙2V8,4<<9,则不

y

的最小值是.

【答案】1

【解析】设・=（孙

y

即孙-3=1•y2m-"

m+2n=1m=­l

所以解得

n=l

所以j=(孙2)1

y

Y2

因为3(孙2<8,4<—<9,

y

1

所以孙2y<-

3

由不等式性质可知（孙2；<3

y

即:当且仅当,时取等号，解得二

y

综上可知，W的最小值为;.

y2

故答案为：y-

变式13.（2023•全国•高三专题练习）已知三个实数a、b、c,当c>0时，匕V2a+3c且

bc=a2,则^的取值范围是.

b

【答案】（-8（

【解析】当c>0时满足：瓦2。+3c且人c=[2,

•0•—„+3c,BPa1—2ac—3c2<0,进而（乌了一2.9-3,,0,解得一掇f3.

cCCC

所以£c之：1或£C4-1,

a3a

a-2cac-2c2cJcYc

=----2—=一一2-=/（一）'

baa\a）a

令上=t,tei+00|u（-oo-l],

al_3J

f（t）=-2t2+t=-2^t-^+|>

由于

车乐

所以〃。在t?（?，1]单调递增，在'？筋？字单调递减，

当‘4时弓‘当f=T时，〃T）=B

所以/⑴色

幺1

，u

故答案为：导?-9u

命题方向四：不等式的综合问题

例10.（2023・全国•高三专题练习）若实数a,4c满足3。+3&=3-J3a+3&+3。=3°血,,则

c的最大值为.

4

【答案】log3-

【解析】由基本不等式得：3"+3”22件行=2斤当且仅当3"=3J即时，等

号成立，

所以3"+匕2律或解得：y+b>4>

又因为3"+3"+3。=3a+b+c,所以3"+"+3。=3a+b+c=3a+b•3。，

化简得：：=1一），

因为3""24,所以4,所以,即I'1,

所以3屋11,：,所以010,1叫1,

4

故。的最大值是1”3§.

4

故答案为：10g3§.

例11.（多选题）（2023•山东•校联考二模）已知实数〃也。满足〃>3>c,且a+b+c=0,

则下列说法正确的是（）

A.--—>—--B.a—c>2bC.a2>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

【答案】BC

【解析】对于A,-：a>b>c,.\a-c>b-c>0,,A错误；

a-cb-c

对于B,\-a>b>c,Q+Z?+C=0,:.a>0,c<0,:.b+c=-a<0,a-b>0,

:.a-b>b+c,a—c>2b,B正确；

对于C,\-a-b>o,a-\-b=-c>0,.,.a2—b2=^a+b）^a-b）>Q,即c正确；

对于D,ab+bc=b^a+c）=-b1<0,D错误.

故选：BC.

例12.（多选题）（2023•广东惠州•统考一模）若6。=2,6、3,则（）

人匕1-71

A.—>1B.ab<—

a4

11

C.Q9+b9<—D.b—a>一

25

【答案】ABD

【解析】因为6、3,6。=2,所以b=log63M=k）g62,则〃+。=1,

选项A,^=12g6|=iog23>log22=l,故A正确；

alog62

选项B,因为。+b=log63+log62=log66=l,且a>O,b>O,awb,所以"<("口2=；故

24

B正确；

选项C,因为Q?+Z?2=(Q+Z?)2—2ab=1—2〃/?>1—2x—=—,故C错误；

42

3lo243

选项D,H5(Z?-6?)=51og6-=g6>log66=1,故D正确，

故选：ABD.

变式14.（多选题）（2023•山东潍坊•统考二模）已知实数3>6>0,则（）

人bb+2-11八〃

A.-<------B.a+->b7+-C.ab>ba

aa+2ba

D],，+>:lg〃+lg>

g22

【答案】ABD

bb+2_2(b-a)b+2

【解析】A：正确;

aa+2a(a+2)。+2

B：ci-\b—=（Q—b）H-------=（Q—b）（ld）>0,则—>b~\—,正确；

baababba

ba

C：当a=4,Z?=2时，a=bJ错误；

D：由手〉疝（注意等号取不到），则坨?>坨疑=坨.；-6,正确.

故选：ABD

变式15.（多选题）（2023•广东深圳•深圳中学统考模拟预测）已知a,b都是正实数，则下

列不等式中恒成立的是（）

A.（a+46）f9B.（a+《〉力*

【答案】AC

【解析】A选项，因为a,人都是正实数，故

4ba

当且仅当丝=?,即a=26时，等号成立，A正确；

ab

B选项，因为a,b者E是正实数，ft（o+Z?）f-+-^=l+-+-+l>2+2p^=4,

当且仅当f=2,即a=6时，等号成立，B错误;

ba

C选项，a2-3a+-=（a-^]+->->0,故恒成立，C正确；

2I2）44八

al

D选项，。是正实数，故迷_.+广二T其中a+工2l\a=2,

QH---a\a

a

____。___=____I___<___I_=111

故1--1~，当且仅当。=—,即。=1时，等号成立，D错误.

a+——12a

a

故选：AC

变式16.（多选题）（2023•福建•统考模拟预测）已知"+1N/2“4>0,则下列结论正

b

确的是（）

A.b>2B.a>2C.ab>2D./+〃的最小值为

6

【答案】AC

4

【解析】A：^>-=>Z?2>4,因为b>0,所以622故A正确；

b

B：6=2,。=1显然满足条件，故B错误；

4

C：2a>-^ab>2,故C正确；

b

D：a2+b2>b2+b-l,由于+匕-1在[2,y）上为增函数，

故最小值为『（2）=5,D错误.

故选AC.

变式17.（2023•全国,高三专题练习）已知实数a,b,c满足a+6+c=0,cr+b2+c2=1,则a

的最大值是

【答案】亚

3

222

【解析】Va+b+c=0fa+b-^-c=l,

b-^-c--a,b2-3t-c2=\-a2,

be=—•（2bc）=—[3+c）2-（b1+c2）]=a2--

222

:・b、。是方程：；=0的两个实数根，

A>0

«2-4（tz2-1）>0

即a2<-

3

即a的最大值为逅

3

故答案为：逅.

3

变式18.(2023・全国•高三专题练习)若x,yeR,设M=炉_2.+3/-丈+y,则M的最

小值为一.

【答案】-；/-0.25

4

【解析】因为加=九2-(2丁+1卜+3/+>=九2_(2>+1卜+9+>+；+3y2+y_y2_y_；

当且仅当y=o,x=g时取等号.

所以Af的最小值为一：.

4

故答案为：-T.

4

变式19.(多选题)(2023•辽宁•校联考二模)已知正数x,y满足V=y3<i,则下列结论

正确的是()

A.OvxvyvlB.0<y<x<l

C.|^-x|<—D.|^2-x2|<—

11271127

【答案】ACD

【解析】因为f=y3<i,x>0,y>0

所以0<y=f<l，0<fvl，

22/1A

所以)_%=九3_尤=%3]_%3〉0

\7

所以。<%vyvl,A正确，B错误；

22-1

令g(%)=|y—x|=y-%=xs—%，贝U=—i，

Q

当0<x<2时，g，(x)>0,g(x)单调递增，

Q

当X>刀时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以gOjg即*,C正确；

令/l（x）=卜2一%2|=y2一%2=f一%2,则/一2%,

可知当0＜尤＜堂时,〃（x）＞0,网力单调递增，

当X＞平时，〃（x）＜0,Mx）单调递减，

所以"（天心匚彳半）=：，D正确，

故选：ACD.

命题方向五：糖水不等式

【通性通解总结】

糖水不等式：若a＞b＞0,m＞Q,则一定有或者”二＜w.

a+mab+mb

例13.（2023•全国•高三专题练习）已知如糖水中含有ag糖。＞。＞0）,若再添加，"g糖完

全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，下列不等式

中一定成立的是（）

aa+m°a+ma+2m

A.->-------B.-------<---------

bb+mb+mb+2m

21

C.^a+2mj[b+mj<^a+ni)(b+2m)D.------->------7

3"-1

【答案】B

a/7+w

【解析】对于A选项，由题意可知：＜产，A选项错误;

bb+m

对于B选项，作出函数y=2*与y=x的图象如下图所示:

由图可知，当兀>0时，2">x,TAn〉。，贝机〉加,

a+2m4+m_(。+2利)仅+相)一(。+间仅+2利)(。叫(…)”。

所以,

b+2mb+m仅+2机)伍+间(b+2m)(b+m)

即竺%<£±二，B选项正确；

b+mb+2m

对于C选项,(6Z+2m)(&+m)-(d!+m)(Z2+2m)=m(Z2-6Z)>0,

所以，(tz+2m)(b+m)>(tz+m)(Z?+2m),C选项错误；

21I

对于D选项，取〃=1,b=2,则不-=-<l=—Y,D选项错误.

3—143

故选:B.

例14.(2023・四川凉山・统考一模)。克糖水中含有匕克糖，糖的质量与糖水的质量比为

b

这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜,

a

h+h

对应的不等式为----->—(a>b>0,根>0).若=log?2,x=log10,

a+ma215

%3=log4520,贝!J

A.xx<x2<x3B.芭v毛v%

C.x3<x1<x2D.x3<x2<xx

【答案】B

【解析】因为无i=bg32,x2=log1510,x3=log4520

陪上IglO一Ig2+lg5=21g2+lg5

'■lg3'2lgl5Ig3+lg5'321g3+lg5

h+ni,h

根据题意当a>6>0,机>0时"丝>2成立，

a+ma

Xlg3>lg2>0,lg5>0,

Ig2+lg5lg221g2+lg521g2

“八坨3+坨5lg321g3+lg521g3

即：了2>玉，工3>玉，

_x=Ig2+lg521g2+lg5=Ig5(lg3-lg2)>0

乂%飞-电3+坨521g3+lg5-(lg3+lg5)(21g3+lg5)

所以%>三,

所以不<&<三，

故选：B.

例15.(2023・山西•统考一模)我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话

bb+m

用数学符号可表示为：—<2—,其中。>。，且a,b,meR+.据此可以判断两个分数

aa+m

854366239854366236

的大小关系，比如（填“>，，，，<”）.

998763421998763418

【答案】>

【解析】令a=854366236,贝I」a+3=854366239,

令6=998763418,贝lJb+3=998763421,

匚854366239。+3854366236a

所以----------=-----,-----------=—

998763421b+3998763418b

854366236a〃+3854366239

根据题设知:-------------——<------

998763418bb+3998763421

故答案为：>

变式20.（2023・福建•高三校联考阶段练习）若。克不饱和糖水中含有8克糖，则糖的质量

b

分数为2,这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活经验告诉

a

我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式空二>?（a>b>0,加>0）数学中常称其为糖水

a+ma

不等式.依据糖水不等式可得出10g32log]510（用或“〉”填空）；并写出上述

结论所对应的一个糖水不等式____________.

In2+ln5In2

【答案】<------------>-----

In3+ln5In3

【解析】空1：因为0<1吗2<1,所以可得:

1-,-八In2In10In2+ln5In2+In5In2

空2：由空1可得:log2<log10^—<------=-----即n-n------------>——.

315In15In3+ln5In3+ln5In3

In2+ln5In2

故答案为：<；------------>-----

In3+ln5In3

【过关测试】

一、单选题

1.（2023・天津•统考一模）设〃>0,b>0,则“。>8”是“工<4”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为—皿由3国得则j>°，即

因此若a>0,&>0,则“。>人”是“5〈尹的充要条件.

故选：C.

2.(2023•江苏南通•模拟预测)已知则4.-2。的取值范围是

()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【解析】设4a—2Z>=〃z(a-b)+”(a+6)=(〃?+〃)a-(〃L〃)b,

[m+n=4fm=3

所以c，解得,，

\m-n=2[n=l

所以4〃-2b=3(.-/?)+(〃+/?),

又〃-/?£[0,1],4+/?£[2,4],

所以3(a-6)£[0,3],4a-2bw[2,7],故A,C,D错误.

故选：B.

3.(2023・湖南•模拟预测)已知正实数x,y满足尤<V,设。=疣，+),b=yey+x,

c=yex+x(其中e为自然对数：ee2.71828…)，则〃，b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因为a=xe*+y,b=yey+x,c=ye1+x,所以6-c=y(e>,-e*)

又y>尤>0,e>l,所以e,Ae*,所以6>c；

Xc-a=(%-y)+(y-x)ex=(%-y)(l-eT),

A

又y>尤>。，e>1,所以c>a.

综上，a<c<b.

故选：A.

4.(2023•全国•高三专题练习)“x>>”的一个充分条件可以是()

A.2x~y>-B,x2>/

2

C.->1D.xt2>yt2

y-

【答案】D

【解析】由x>y,即无一y>0,所以

对选项A,2f>:n2">2'^x-y>-l,

所以x-y>-1不一定有无-y>0,故A不正确，

选项B,由贝gd-y?>0=(x+y)(x-y)>。,

(无+y>0或pr+y<0

则，故B项不正确,

［龙一y>0_［尤_y<0

选项C,二>1=3-1>0=2R>0=y(x-y)>0,

yyy

fy>0fy<0

则八或八，故c不正确，

［兀-y>0［%_y<0

选项D,由靖〉山2矢口户>o,

所以无>y,成立，故D正确，

故选：D.

5.(2023・全国•高三专题练习)若实数〃，b,c满足。则下列结论一定成立的是

()

A.aob1B.ab1>cb1

C.4——>/?H—D.------>-------

abb-ca-c

【答案】D

【解析】对于A,若。=1*=0,c=-l,则团<从，故A错误;

对于B,若。=11=0,c=—l,贝1」〃/=仍2,故B错误；

对于C,b=0时不能做分母，故C错误；

对于D,因为所以a-C>0M-。>0,所以

11a-c-(b-c\a-b11

}-------------=Ti―w—(=7]-w―T>0'所以=>一，故D正确.

b-ca-c\b-c)ya-c)yb-c)ya-c)b-ca-c

故选：D.

6.(20