2025届青海省西宁市高考二模数学试卷（解析）

2025年普通高等学校招生全国统一考试

西宁市高三年级复习检测（二）

数学试卷

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座

位号填写在本试卷上.

2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.

3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知aeH,若z=（储T）—（aT）z0为虚数单位）为纯虚数，则（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的分类和性质可得答案.

【详解】若2=（片—1）—（a—1），。为虚数单位）为纯虚数，

,/一1=0

则〈，得a=—1,

。一1H0

故选：C.

【点睛】本题考查复数的分类和性质，属于基础题.

2.已知数集A,3满足：AB={1,2},AB={1,2,3,4},若则一定有（）

A.4eAB.4^AC.3e5D.3B

【答案】C

【解析】

【分析】由交集与并集的结果，则可得L2,3与集合的关系，可得答案.

【详解】因AnB=[1,2}，AJB={1,2,3,4},

所以4£人且4@5或4^5且4eA,二者皆有可能，所以A,B错误;

由3eA,所以365,所以C正确，D错误.

故选：C.

3.若命题p:仁），sinx>x,则命题为（）

B.Vx€f0,—

A.Vx^l0,—I,sinx>xsinx<x

c.3x00,y1,

sinx0<x0D.3x0Gsinx0<x0

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题否定的规则，将全称量词变为存在量词，并否定原命题的结论，从而得到命题

7

【详解】X/x的否定为却，>的否定为4,所以命题T为,sinx0<x0.

故选：D.

4.已知向量a=（—1,2）,Z>=（1,1）,则a在6上的投影向量为（）

A.(2,-1)B.(-1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量的定义，把。在6上的投影向量化简n为•h^代入坐标计算即得.

闻2

【详解】。在b上的投影向量为同cos®/〉]=言6=1（1,1）=仕g]

故选：D.

5.将两个1,两个3,一个5排成一行，则不同的排法种数为（）

A.6B.30C.36D.120

【答案】B

【解析】

【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可.

【详解】第一步选2个空给两个1有C；种选法，

第二步选剩下的3个空给两个3有C；种选法，

最后剩一个空排5即可，

根据分步乘法计数原理有C；C；=30种排法，

故选：B.

6.等比数列｛a.｝的前w项和为5.，且4+。4=4,4+%=8，则$6=（）

A.24B.28C.36D.48

【答案】B

【解析】

【分析】求出公比，得到阳+3=16,从而得到其.

【详解】设公比为4,则9=’~-=2,

ax+&

所以生+〃6=（6+。4）夕2=4义4=16,

所以$6=6/1+。4+。2+%+43+。6=4+8+16=28.

故选：B

7.已知分别为曲线y=e'+x+l和直线y=2x—3上的点，则|A3|的最小值为（）

A,也B.C.-D,&

555

【答案】A

【解析】

【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0,若不存在，则当曲线在切点处的斜率

为2时，切点到直线的距离最短.

【详解】令/（工）=（6*+X+1）—（2x—3）=©*-％+4,

因e*»x+1，则/（x）=e'—x+4Nx+l—x+4=5,

故曲线y=ev+x+l和直线y=2x-3无交点，

y=ex+x+l,贝Uy=e*+l,令丁=e*+l=2,解得了=0,

5l

则曲线上的点（0,2）到直线y=2x—3的距离二=.5,

则IA3]的最小值为石.

故选：A

8.定义在R上的函数/(可满足：①对任意xeR都有“X—2)+/(x)=0；②”3)=3；③函数

y=/(x+2)的图象关于点(一2,0)对称；④对任意的%,9e(0,1),石片马，都有

%)+%2/(%)<%/(玉)+//(%)，则下列结论正确的是()

A.7(2025)-/(2024)=3

B.”可是偶函数

D./(尤)的图象关于直线x=2对称

【答案】C

【解析】

【分析】先根据③分析得到函数了(%)为奇函数，从而判断B；利用①计算出函数/(%)的周期，结合

/(3)=3,即可判断A；根据④可得函数了(%)在(0,1)上单调递增，再利用函数周期性即可判断C；结

合函数的周期性、单调性、对称轴，可判断函数八%)在(1,3)上单调递减，由此即可判断D.

【详解】由③函数y=〃x+2)的图象关于点(—2,0)对称得“外的图象关于原点(0,0)对称，

又〃％)的定义域为R,

所以"%)是奇函数，/(0)=0,故B错误；

①中用％+2代替x,则有〃x)+〃x+2)=0,所以/(x-2)=/(x+2),

再用尤+2代替x,则有/(x)=/(x+4),所以是以4为周期的函数，

所以“2025)_42024)=/⑴_〃0)=/(_3)_〃0)=_〃3)_〃0)=_3,

故A错误；

由④得：王/(石)一石/(%)+//(々)一9/(七)=(七一无2)[/(七)一/(%2)]>°，

所以函数“X)在(0,1)上单调递增，因为/(X—2)+/(尤)=0,

所以:

88

33

因为］＜g,所以故C正确,

又因为函数"％)为奇函数，所以/(r)=—“X)，

又根据©/(x-2)+/(x)=0,有/(X—2)=—/(%)

所以/(x-2)=/(-%),所以函数〃尤)的对称轴为x=—1,

因为函数/(%)在(0,1)上单调递增，且函数/(%)为奇函数，

所以函数了(%)在(—1,1)上单调递增，因为函数/(%)的对称轴为x=—1,

所以函数/(%)在(-3,-1)上单调递减，因为函数/(%)是以4为周期的函数,

所以函数八%)在(1,3)上单调递减,

因为2e(l,3),所以x=2不是函数/'(%)的对称轴，故D错误.

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能

测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论

中正确的是()

A.图中a的值为0.015；

B.估计样本数据的75%分位数为88；

C.同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；

D.由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异(80分及以上)的人数约为5000人.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据频率和为1,计算。的值判断A；根据百分位数公式，判断B；根据平均数公式，判断C；计

算体测成绩在［80,100］内的频率，再结合总人数，即可判断D.

【详解】对于A,由频率分布直方图可知，10x(0.005+。+0.02+0.04+0.02)=1,

得：a=0.015,故A正确；

对于B,设75%百分位数为一易得xe［80,90),

则10x0.005+10x0.015+10x0.02+(x-80)x0.04=0.75,

解得：x=88.75,故B错误；

对于C,(55X0.005+65X0.015+75X0.02+85x0.04+95x0.02)x10=80.5,故C正确；

对于D,则体测成绩在［80,100］的频率为10x0.04+10x0.02=0.6，

估计全市高一学生体测成绩优异(80分及以上)的人数约为12000x0.6=7200人，故D错误.

故选：AC.

10.已知数列｛3"一%"｝的前〃项和为〃.3",贝I()

A.%=2〃+1

B.数列｛4｝的前〃项和为2〃2+“

C.数列｛%-10｝的前〃项和的最小值为-16

D.数列」一的前〃项和小于工

［44+iJ6

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据前〃项和与通项公式的关系，结合等差数列的前〃项和公式、等差数列的性质、裂项相消法逐

一判断即可.

【详解】因为｛3"%｝的前〃项和为〃.3"，

n1n

所以有3°q+31a2+3z%++3-alt=n-3,显然q=3,

显然当“22,eN*时，有3°/+3%2+32/++3”-24T=(«-!)•3”。

两个式子相减，得3"为“=〃/3"—5—1>3"\

化简，得4=2〃+1,显然。1=3适合该通项公式，因此选项A正确；

因为矶-%=2,所以数列｛4｝为等差数列，

于是数列｛4｝的前n项和为(3+2"+1)"=/+2”，所以选项B不正确;

令6a=4-10=2"-9,由々N0n〃N4.5,从第五项起，该数列每一项为正数,

因此数列一1。｝的前〃项和的最小值为4+&+4+%=—7+(-5)+(—3)+(—1)=-16,因此选项C

正确;

11一1（1_______

（2n+l）（2n+3）212〃+12n+3）

4%

所以数列<----->的前〃项和为彳(彳一=+1-三+

[44+]J213557+白一占]<1

因此选项D正确,

故选：ACD

11.已知椭圆C：±+W=l(0〈匕<6)的两个焦点分别为£(o,—C),鸟(o,c)(其中C>O),点P在椭

3b

圆C上，点。是圆££+3—4)2=1上任意一点，|PQ|+|P闾的最小值为2,则下列说明正确的是()

A.椭圆的焦距为1

B.圆E过点尸2的切线斜率为±2万

C.若4B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点尸的两点，则直线以与尸3的斜率之积为

D.|PQ|—归6|的最小值为4—2J8

【答案】BD

【解析】

【分析】由圆的性质结合给定的最小值求出c判断A；设出切线方程结合点到直线的距离计算判断B：利用

斜率坐标公式结合椭圆方程计算判断C；利用圆的性质及椭圆的定义计算判断D作答.

【详解】对于A,圆石:V+(y—4『=1圆心E(0,4),半径厂=1，圆E与椭圆C相离，而点尸在椭圆C

上,

点Q在圆E上，贝|归。|+卢6|引PE|—厂+归耳|N|E片|—1=4—c—1=3—c,

当且仅当P,。分别是线段石工与椭圆C、圆E的交点时取等号，因此3—c=2,

22

解得c=l,则椭圆C的焦距为2,且椭圆c的方程为匕+土=1,A错误;

32

3

对于B,过B(O，1)的圆E切线的斜率存在，设此切线方程为丁=丘+1，于是用乒=1，解得

k-i2^/2，B正确；

对于C,设有6(—4—%),且；・即乂一寸二小一片)，

3玉+2%=62

直线PAP5的斜率分别为七A，七B，因此即#依=生=•比土豆=恶二与=—3,C错误；

x0-x1%+玉%。一石2

对于D,|P0—|%|>|PE|-r-(273-1母；|HPE|+|7¥；|—1—2百目烤|—1—2百

=4-(-C)-1-2A/3=4-273,当且仅当R。分别是线段后耳与椭圆C、圆E的交点时取等号，D正

确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(x—2y)5的展开式中Yy3的系数是.(用数字作答)

【答案】-80

【解析】

【分析】由二项式定理可得(x-2y)5的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案.

【详解】(x—2方的展开式的通项公式为=]=C#5-(—2y)「=(—2)’项产「V，

令r=3可得(一2丫C"2y3=—80%2y3

所以(x—2y)5的展开式中x2y3的系数是-80

故答案为：-80

13.函数/(%)=24卜08%|-龙的零点个数为.

【答案】4

【解析】

【分析】由〃X)=0可得尤=0或21cos%|=«,对于21cos%|=«的零点个数，考虑将其转化成两函数

y1=2|cos%|,%=«的交点个数，通过作图即得.

【详解】令/(X)=0,得％=0或21cos尤|=«.

设％=2|cos%|,为=6,在平面直角坐标系中先画出y=2cosx的图象，

保留x轴上方的部分图象并把x轴下方的图象向上翻折即得％=2|cos%|的图象，

再作出%=«的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点.

综上所述，函数/(力共有4个零点.

故答案为：4.

14.如图，某香包挂件是正三棱锥形状，其底面边长和侧棱长均为4cm,若将此棱锥放在一球形容器内可任

意转动，则该球形容器表面积的最小值为.

【答案】247r

【解析】

【分析】先求出正三棱锥底面中心到顶点的距离，然后根据外接球的性质建立等式求出半径；最后代入球的

表面积公式计算.

【详解】如图，设该香包挂件的直观图为正三棱锥P-A3C,其底面的中心为“，

则PH为正三棱锥尸-A3C的高，

由题可知在正三角形ABC中，AB=AC=BC=4,所以CD=J42—2?=，

CH=-CD=-^3,

33

因为尸C=4,所以PH=(PC2-CH?=

由题可知正三棱锥P-ABC的外接球即为所求，易知正三棱锥P-A3C外接球的球心Q在直线PH上,

设其外接球的半径为厂，则PQ=CQ=「，QH=^—r，

在直角△QCH中，由勾股定理，得QH?+CH2=QC?,

prjf476)J4612铲彳曰[7

即------r+------=r,角牛得厂=、/6.

33

故外接球的表面积为S=4兀/=4兀x(病)=24兀，

该球形容器表面积的最小值为2471.

故答案为：2471.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15已知函数/(x)=xlnx.

(1)求/(%)的最小值;

(2)若对所有121都有7(x)2依-1,求实数。的取值范围;

【答案】(1)--

e

⑵(一00,1］

【解析】

【分析】(1)利用导数分析函数/(幻的单调性，求解最小值即可；

(2)对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，分离参数转化为利用导数求函数的最小问题即可求解.

【小问1详解】

/(%)的定义域是(0,+8),((x)=lnx+l,

令/''(x)>。，解得x〉!，令/'(x)<0,解得0<x<L,

ee

故/(x)在(0,-)上单调递减，在d,+8)上单调递增，

ee

【小问2详解】

Vf(x)=xinxf当时，/(幻之女一1恒成立，

等价于%InxN^-l在时恒成立，

等价于QVIn%+—在［1,-+w)时恒成立，

x

令g(x)=lnx+—,X>1,则gQOmin即可；

X

11Y-1

・・・g'(x)=——,='，工当X之1时,g'Cx)20恒成立,

XXX

・•・g(x)在［1,十句上单调递增，・♦.g(%)min=取1)=1，

：.a<l,即实数〃的取值范围为(—8』］.

7T

16.如图1在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=1,AD=2，E是的中点,

2

。是AC与8E的交点，将,ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥4—3CDE.

4(4)

D

(1)证明：CD，平面A。。；

(2)当平面ABE，平面3CDE,求平面A/C与平面4s夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵迈

3

【解析】

【分析】(1)由ABCE为正方向可知EO±\O,EO±CO,根据线面垂直判定定理证明班，平面A。。，

然后由CD/ABE可证；

(2)以。为原点，03。。,。号的方向分别为苍％z轴的正方向建立空间直角坐标系，

求出平面ABC与平面ACD的法向量，然后由向量夹角公式可得.

【小问1详解】

171

AE=—AD=1,AD〃BC/BAD=—,

22

所以ABCE为正方形,所以AC，BE,/.EO±A。,E0±CO,

又AOcco=o,4。。0匚平面4。。，二£3,平面4。。，

又BCIIED,且5C=上。，故四边形BCDE为平行四边形，

:.CDIIBE,..CD，平面A。。.

【小问2详解】

因为平面ABE，平面3CDE,平面ABEc平面5。。E=瓦；,

AOL5E,4。＜=平面ABE,所以4。，平面3cDE,

又OCu平面5cDE,所以AO'OC,又由（1）知：EO1^0,£01CO,

以。为原点，03,00,0^的方向分别为x，%z轴的正方向建立空间直角坐标系,

刀"，字。〕乃(/、

由题意知，A°，。，一,0,0,c04,0,

2

7\2J〔7

则电”字-?、

AB=,CD=（-

7

设平面\CD的法向量为/=(石,y”zj,平面\BC的法向量为巧=(x2,y2,z2),

.AC-忘_Q

勺・.万%—三一，令%=],则王故勺:（）

则444=i,;0,0,1,1

勺•CD=—A/2X1=0

抗X行2.0

n2-AXB-----x?--------Z?—U

则《:2,令％=1，则Z2=1,%=1,故巧=（1,1,1）,

n2,A^C=—y2-—z2=0

设平面\CD与平面\BC的夹角为0,

A/\鼠％|2巫

17.某公路自行车比赛赛道平面示意图为如图的五边形ABCDE.根据自行车比赛的需要，需预留出AC,

2冗7T

AD两条服务车道(不考虑宽度)，DC,CB,BA，AE，ED为赛道,NABC=NAED=——,ZBAC=-

34

BC=2V6（km）,CD=8（km）.注：km为千米.

A/\K

//

、£

3

（1）若cosNC4D=g,求服务通道AD的长;

（2）在（1）的条件下，求折线赛道AE。的最长值（即AE+即最大）.（结果保留根号）

【答案】（1）10千米

（2）迎I千米

3

【解析】

【分析】（1）在VA3C中，利用正弦定理求出AC,再在ACD中，由余弦定理得建立等式求解;

（2）利用余弦定理结合基本不等式进行求最值.

【小问1详解】

ACBC

在VA3C中，由正弦定理得

sinZABCsinZBAC

已知NABC=g,ZBAC=^,BC=2V6（km）

AC2462^6x

贝解得萨一萨'AC二『—=6（km）；

34T

122

在4ACD中,由余弦定理得CD=AD+AC-2AC-ADcosZCAD，

已知cosNC4D=5，CD=8（km）,

36

则64=4。29+36—百皿

整理得5AE>2—36AZ>—140=0，解得AO=10（km）（负值舍去）.

所以服务通道AD的长为10千米.

【小问2详解】

在NADE中，由余弦定理得AD2=AE2+ED--2AE-ED-cosZAED，

2冗

由⑴知AD=10（km）,又已知44瓦）=々-

则100=AE2+ED2+AE-AD，所以100=（AE+ED）2—AEAD,

因为+,所以|■（AE+即）2V100，

44

则（AE+ED）24誓,所以AE+EDW生叵，当且仅当AE=AD=坦叵时取"="

33

所以折线赛道AED的最长值为处叵千米.

3

18.已知抛物线E的顶点为坐标原点。，焦点为(1,0),过点加(2,0)的直线与E交于A,B两点，且点A

在第一象限，过点2作y轴的垂线与直线Q4相交于点P.

(1)求E的方程；

(2)证明：点尸在定直线/上；

(3)延长80交(2)中的直线/于点。，若四边形ABPQ的面积S为16及，求点A坐标.

【答案】(1)>2=4%

(2)证明见解析(3)(2,2行)

【解析】

【分析】(1)设抛物线E的标准方程为V=2px,结合交点坐标求出P即可；

(2)设直线A3的方程为％=町+2,设点4(%,乂)，6(々,%)，联立｛a」；％消元，利用韦达定理

、yx

可得%+%=4m，乂%=-8,表示出直线3P,04的方程，联立方程得

x=-2,即可判断；

(3)得出P(—2,%)，进一步得出直线08的方程为丁=一%,联立直线。8与直线/的方程，得出丁=%,

为

点0(—2,%),则AQ，/,且|AQ|=%+2,IBP\=x2+2,表示出S=g(|AQM3尸+回一上|

3zx3

=-^+―,因为点A在第一象限，四边形A3PQ的面积s为16/，建立等式』=1672,

8%8(yJ

解得乂=2挺，代入丁M以，得々=2,即可得到坐标.

【小问1详解】

由题意，设抛物线£的标准方程为y?=2px,

则T=l，可得P=2,

故抛物线E的标准方程为V=4x.

【小问2详解】

若直线AB与x轴重合，

则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意,

设直线AB的方程为％=冲+2,设点B(%2,y2),

[x=my+2_

联立<2A可得y-4切-8=0,_=16/+32>0,

〔y=4x

由韦达定理可得%+%=4加，乂％=-8,

由题意可知，直线8P的方程为y=%,

V」Y—%Y—4丫

V-----犬------A-......A

直线Q4的方程为％yx%

4

丁二%4

联立直线5尸，Q4的方程得〈4可得%二丁2,

y=1九%

%

所以X=^^=—2.

4

因此，点尸在定直线/:%=—2上.

【小问3详解】

由(2)知尸(-2,%)，

"V———Y~..-V-....jr

直线QB的方程为x2y2，

由（2）%%=-8,所以y=%,

故点。（—2,%）,则A。，/,

且|=jq+2,|BP|=X2+2,

所以S=；（|AQ|+忸即.回_%|

=1(X+X+4)-8

12%+一

M

/22

8

&+及+4也+一

2144I%

片+£+48

也+一

24弁.I%

/

10648

Y+16+—•+一

8XyJ%

3

18

=-X+—，

1

8必-

因为点A在第一象限，四边形A3PQ的面积S为16后，

［（八38

所以一口+—=16y/2,则M+—=4A/2,

8（yj/

解得乂=2逝，代入丁二以，得士=2,

所以点A坐标为（2,2拒）.

19.某无人机公司新研发了一款无人机，在大型活动中使用时需要提前进行演练.该公司从生产的一批无人

机中抽取了左（左25,左eN*）个，分别编号为1、2、3、L、左，不同的编号可以组成不同的演练模型.

现从中选取〃（〃=2,3,…,k）个无人机组合为一种演练模型，则一共可以组合成m（meN*）种演练模型，

其中/（左）=--—取最大值时，该模型为最佳模型.

m+k+1

（1）当左为何值时，模型最佳？并求出此时/（左）的值；

（